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        對一道中考壓軸選擇題解法及變式的探析

        2018-02-08 15:56:04四川省巴中市巴州區(qū)大和初中

        四川省巴中市巴州區(qū)大和初中

        李發(fā)勇 (郵編:636031)

        近年來,各地中考數(shù)學(xué)中不斷涌現(xiàn)了一批立意好,創(chuàng)新佳的客觀性試題,具有壓軸題的功能,讓人耳目一新.通常解答很具有挑戰(zhàn)性,對考生靈活思維提出了較高要求.下面對一道中考壓軸選擇題開展解法和變式探究.

        題目(2012年重慶中考)甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取4張或(4-k)張,乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù),0

        此題屬于應(yīng)用類問題,設(shè)計(jì)了數(shù)的整除、一次函數(shù)的增減性及最值的求法,綜合性較強(qiáng),此題對考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力有很好的體現(xiàn),題目具有創(chuàng)新性,是一道立意優(yōu)秀的好試題.但對很多考生來講,抽象難懂,加之問題中一個(gè)“或”字了得,更是愁煞了許多學(xué)生.

        1 問題提出

        參考答案:設(shè)甲a次取(4-k)張,乙b次取(6-k)張,則甲(15-a)次取4張,乙(17-b)次取6張,則甲取牌(60-ak)張,乙取牌(102-kb)張.

        則總共取牌:N=a(4-k)+4(15-a)+b(6-k)+6(17-b)=-k(a+b)+162,

        從而要使牌最少,則可使N最小,因?yàn)閗為正數(shù),函數(shù)為減函數(shù),則可使(a+b)盡可能的大,由題意得,a≤15,b≤16,

        又最終兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等,

        故k(b-a)=42,而0

        則由整除的知識(shí),可得k可為1,2,3,

        ①當(dāng)k=1時(shí),b-a=42,因?yàn)閍≤15,b≤16,所以這種情況舍去;

        ②當(dāng)k=2時(shí),b-a=21,因?yàn)閍≤15,b≤16,所以這種情況舍去;

        ③當(dāng)k=3時(shí),b-a=14,此時(shí)可以符合題意.

        綜上可得:要保證a≤15,b≤16,b-a=14,(a+b)值最大,

        則可使b=16,a=2;b=15,a=1;b=14,a=0;

        當(dāng)b=16,a=2時(shí),a+b最大,a+b=18,

        繼而可確定k=3,a+b=18,

        所以N=-3×18+162=108張.

        利用分類討論和方程思想,雖答案正確,但過程繁復(fù),估計(jì)選擇這樣解法的學(xué)生鳳毛麟角,同時(shí),教師這樣講解也不利于學(xué)生理解和學(xué)習(xí).有沒有簡便一些的解法呢?

        2 問題解決

        2.1 利用關(guān)鍵條件“乙至少取了一次6張牌”

        解法1構(gòu)造不等式

        設(shè)甲取了x次4張牌,取了(15-x)次(4-k)張牌,乙取y次6張牌,取了(17-y)次(6-k)張牌.依題意得:4x+(4-k)(15-x)=6y+(6-k)(17-y),化簡得k(x-y)=42-2k,因0

        故當(dāng)k=1時(shí),x-y=40>15,不合題意;

        當(dāng)k=2時(shí),x-y=19>15,不合題意;

        當(dāng)k=3時(shí),x-y=12<15,又y≥1,即y=x-12≥1,故x≥13.

        共取牌總張數(shù)M=3(x+y)+66,當(dāng)x=13,y=1,M最小為108.

        故紙牌最少有108張.

        解法2利用一次函數(shù)性質(zhì):設(shè)甲4張取a次、(4-k)張取(15-a)次,乙6張取b次、(6-k)張取(17-b)次,滿足0

        由0

        (1)當(dāng)k=1時(shí),甲取牌4a+3(15-a)=a+45張,乙取牌6b+5(17-b)=b+85張,

        則a+45=b+85,所以a-b=40,不可能,舍去.

        (2)當(dāng)k=2時(shí),甲取牌4a+2(15-a)=2a+30張,乙取牌6b+4(17-b)=2b+68張,

        則2a+30=2b+68,所以a-b=19,不可能,舍去.

        (3)當(dāng)k=3時(shí),甲取牌4a+1(15-a)=3a+15張,乙取牌6b+3(17-b)=3b+51張,

        則3a+15=3b+51,所以a=b+12.

        則取牌總張數(shù)為W=3(a+b)+66,即W=6b+102.W是b的一次函數(shù),當(dāng)b最小時(shí),取牌張數(shù)最小.當(dāng)b=1時(shí),a=13,W最小=108.

        綜上,所求最小值為108張.

        思考1還有沒有更簡單一些的解法呢?

        2.2 充分利用隱含條件

        根據(jù)甲乙取牌數(shù)相等且總數(shù)最小,可得只需乙最小即可,進(jìn)而要求k最大,同時(shí)讓乙的最大牌數(shù)次數(shù)最少,這樣解答,簡單、直白.

        解法3數(shù)學(xué)直觀 因?yàn)橐夜踩×?7次,并且乙至少取了一次6張牌,所以要使乙的張數(shù)最少,他就只能取一次6張牌,并且6-k最小,只能k最大,由題意當(dāng)k=3時(shí),6-k=3,即3張牌取16次,乙最少共取54張.甲對應(yīng)取4×13+1×2=54張,甲乙一樣多,所以兩人共108張.

        解法4列舉法 因乙取6張至少一次,要使乙的張數(shù)最少,乙取6張牌的次數(shù)越少越小.當(dāng)6張取1次,則6-k張應(yīng)取16次.下面分類討論:由題意得,當(dāng)k=1,2時(shí),乙取牌為6+(6-1)×16=86和6+(6-2)×16=70,而甲最多能取4×15=60張牌,甲乙不可能相等,舍去.當(dāng)k=3時(shí),有6+(6-3)×16=54張,這時(shí)甲取4×13+2×(4-3)=54,甲乙一樣多,故最少為108張.

        解法5構(gòu)造一次函數(shù)

        (1)設(shè)甲取4張x次,則取(4-k)張(15-x)次.由于乙最多取6張1次,于是(6-k)張取16次.則甲所取的紙牌張數(shù)M=4x+(4-k)(15-x),乙所取的紙牌張數(shù)N=6+16(6-k)=-16k+102.則N是關(guān)于k的一次減函數(shù).

        (2)因?yàn)?

        (3)又因?yàn)樽罱K兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等,所以3x+15=54時(shí),x=13,即甲取4張13次,取1張2次,那么可以使其張數(shù)為54.

        (4)那么紙牌最少有54×2=108(張).

        思考2k取最大值3和乙至少取了一次6張牌,誰具有一般規(guī)律呢?下面通過變式探索,尋找數(shù)學(xué)本質(zhì).

        3 變式

        變式1只改變甲的條件為“甲每次取5張或(5-k)張”,其余不變.

        甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取5張或(5-k)張,乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù),0

        解設(shè)甲取5張a次、取(5-k)張(15-a)次,乙取6張b次、取(6-k)張(17-b)次, (0

        當(dāng)k=4時(shí),甲共取5a+1(15-a)=4a+15,乙共取6b+2(17-b)=4b+34,

        由題意,得4a+15=4b+34,所以4(a-b)=19,無解,舍去.

        同理,當(dāng)k=1、2、4時(shí),都無解.

        當(dāng)k=3時(shí),甲共取5a+2(15-a)=3a+30,乙共取6b+3(17-b)=3b+51,由題意,得3a+30=3b+51,所以a=b+7.

        設(shè)取牌總張數(shù)為P,則P=3(a+b)+81即P=6b+102.P是b的一次函數(shù),當(dāng)b最小時(shí),取牌張數(shù)最小.取b=1,a=8,得P最小=108.

        綜上,所求最小值為108張.

        變式2修改甲、乙取的次數(shù),譬如“甲共取了13次,乙共取了16次”,其余條件不變,將結(jié)果改為存在性問題.

        甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取4張或(4-k)張,乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù),0

        略解不存在.理由:設(shè)甲取4張a次、取(4-k)張(13-a)次,乙取6張b次、取(6-k)張(16-b)次,(0

        (1)當(dāng)k=1時(shí),甲共取4a+3(13-a)=a+39,乙共取6b+5(16-b)=b+80,由題意,得a+39=b+80,所以a=b+41,因0

        (2)當(dāng)k=2時(shí),甲共取4a+2(13-a)=2a+26,乙共取6b+4(16-b)=2b+64,由題意,得2a+26=2b+64,所以a=b+19,因0

        (3)當(dāng)k=3時(shí),甲共取4a+1(13-a)=3a+13,乙共取6b+3(16-b)=3b+48,由題意,得3a+13=3b+48,所以3(a-b)=35,無解,舍去.

        綜上,所求最小值不存在.

        變式3條件修改為“甲共取了17次,乙共取了15次”,其余不變.

        甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取4張或(4-k)張,乙每次取6張或(6-k)張(k是常數(shù),0

        解設(shè)甲取4張a次、取(4-k)張(17-a)次,取乙6張b次、取(6-k)張(15-b)次, (0

        (1)當(dāng)k=1時(shí),甲共取4a+3(17-a)=a+51,乙共取6b+5(15-b)=b+75,

        由題意,得a+51=b+75,所以a-b=24,不可能,舍去.

        (2)當(dāng)k=2時(shí),甲共取4a+2(17-a)=2a+34,乙共取6b+4(15-b)=2b+60,

        由題意,得2a+34=2b+60,所以a=b+13.

        設(shè)取牌總張數(shù)為P,則P=2(a+b)+94即P=4b+120.P是b的一次函數(shù),當(dāng)b最小時(shí),取牌張數(shù)最小.取b=1,a=14,得P最小=124.

        (3)當(dāng)k=3時(shí),甲共取4a+1(17-a)=3a+17,乙共取6b+3(15-b)=3b+45,

        由題意,得3a+17=3b+45,所以3(a-b)=28,不可能,舍去.

        綜上,所求最小值為124張.

        變式4修改甲乙條件,改變乙的必取張數(shù),問題不變.

        甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取6張或(6-k)張,乙每次取5張或(5-k)張(k是常數(shù),0

        解設(shè)甲取6張a次、取(6-k)張(13-a)次,取乙5張b次、取(5-k)張(19-b)次, (0

        (1)當(dāng)k=1時(shí),甲共取6a+5(13-a)=a+65,乙共取5b+4(19-b)=b+76,

        由題意,得a+65=b+76,所以a-b=11.

        設(shè)總張數(shù)為P,則P=a+b+141即P=2b+152.P是b的一次函數(shù),當(dāng)b最小時(shí),取牌張數(shù)最小.取b=1,a=12,得P最小=154.

        (2)當(dāng)k=2時(shí),甲共取6a+4(13-a)=2a+52,乙共取5b+3(19-b)=2b+57,

        由題意,得2a+52=2b+57,所以2(a-b)=5.不可能,舍去.

        (3)當(dāng)k=3時(shí),甲共取6a+3(13-a)=3a+39,乙共取5b+2(19-b)=3b+38,

        由題意,得3a+39=3b+38,所以3(b-a)=1,不可能,舍去.

        (4)當(dāng)k=4時(shí),甲共取6a+2(13-a)=4a+26,乙共取5b+(19-b)=4b+19,

        由題意,得4a+26=4b+19,所以4(b-a)=7,不可能,舍去.

        綜上,所求最小值為152張.

        通過上述探究,你有什么發(fā)現(xiàn)呢?發(fā)現(xiàn):①k取最大值既不是特例,也不具有一般規(guī)律,而是原題條件下的巧合.②在甲乙取法中,乙的最大張數(shù)至少取1次,具有一般規(guī)律性.這些都是命題和講解時(shí)需要注意的問題.因此,上述解法中,參考答案、解法1和解法2具有普遍性.

        思考3如果假定甲的最大張數(shù)至少取1次,可以不?答案是肯定的.

        4 一般化

        甲、乙兩人玩紙牌游戲,從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法,甲每次取A張或(A-k)張,乙每次取B張或(B-k)張(k是常數(shù),0

        設(shè)甲取A張a次、取(A-k)張(M-a)次,乙取B張b次、取(B-k)張(N-b)次,

        0

        由于最終甲乙一樣多,則Aa+(A-k)(M-a)=Bb+(B-k)(N-b).

        整理,得

        k(a-b)=(B-k)N-(A-k)M(*)

        由于0

        若(*)式無解,則紙牌沒有最小張數(shù);

        若(*)式有解,總數(shù)P=AM+BN+k(a+b-M-N),取其最小者為所求.

        5 對命題的反思

        客觀題的功能主要在于考查“四基”,若為增加區(qū)分度,在客觀題中命制一道壓軸題是可取的措施,但要控制難度,把控效度,這對命題老師提出了較高要求.倘若這類試題難度過大,超過應(yīng)有的限度,不僅會(huì)降低本題的信度,而且可能影響整套題的效度,就得不償失了,這是值得命題人重視和改進(jìn)的.讓數(shù)學(xué)中考客觀性壓軸題多一些啟迪,少一些糾結(jié),這是大家所期盼的.

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