萬(wàn)良琪, 陳洪轉(zhuǎn), 歐陽(yáng)林寒, 張 笛, 李亞平

(1. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 南京林業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 210037)

0 引 言

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品是一種以新型柔順機(jī)構(gòu)為重要組成部分的高技術(shù)密集型產(chǎn)品,廣泛應(yīng)用于武器系統(tǒng)、航空航天、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等高尖端領(lǐng)域[1-2]。在實(shí)際復(fù)雜工況背景下,由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多個(gè)質(zhì)量特性穩(wěn)健可靠性往往受到來(lái)自?xún)?nèi)部可控因子與外部噪聲因子的雙重不確定性影響,造成柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動(dòng)工程難題。根據(jù)工程實(shí)踐可知,可控因子結(jié)構(gòu)參數(shù)加工容差擾動(dòng)而產(chǎn)生的不確定性是影響產(chǎn)品多質(zhì)量特性的關(guān)鍵因素。因此,迫切開(kāi)展不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)研究工作是保障高尖端領(lǐng)域這類(lèi)產(chǎn)品穩(wěn)健可靠運(yùn)行的前提。

復(fù)雜裝備產(chǎn)品多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是通過(guò)早期設(shè)計(jì)階段消解多質(zhì)量特性沖突來(lái)降低下產(chǎn)品質(zhì)量波動(dòng)的有效手段。因此,從源頭上提高產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量來(lái)增強(qiáng)產(chǎn)品質(zhì)量特性的抗干擾性,其有效性已在航空航天、車(chē)輛工程等復(fù)雜裝備領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用驗(yàn)證?，F(xiàn)有相關(guān)復(fù)雜裝備研究主要體現(xiàn)在多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)、多目標(biāo)可靠性?xún)?yōu)化及結(jié)構(gòu)可靠設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[3-4]對(duì)于汽車(chē)車(chē)身與汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)采用了多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì),解決了傳統(tǒng)單目標(biāo)優(yōu)化的局限性和多目標(biāo)沖突權(quán)衡問(wèn)題;文獻(xiàn)[5]構(gòu)建了一種多目標(biāo)響應(yīng)加權(quán)灰靶可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)模型,有效地解決了復(fù)雜裝備產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化與算法難題;文獻(xiàn)[6]針對(duì)支架多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)潛在沖突難題,構(gòu)建了基于Kriging代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化模型,解決了多目標(biāo)潛在沖突問(wèn)題;文獻(xiàn)[7]基于雙重Krigng代理模型、Topsis方法與灰色關(guān)聯(lián)方法相結(jié)合對(duì)卡車(chē)駕駛室疲勞壽命進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì),取得了良好的效果;文獻(xiàn)[8]建立了混合不確定性情形下的泡沫填充薄壁結(jié)構(gòu)耐撞性多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì),并驗(yàn)證了模型的有效性?？偨Y(jié)歸納上述文獻(xiàn)可知,在不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的文獻(xiàn)報(bào)道還偏少。其根源在于剛?cè)峄旌媳尘跋碌男滦腿犴槒?fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性之間的相互矛盾、相互沖突相比傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)復(fù)雜裝備更為復(fù)雜;同時(shí),各質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量之間的非線(xiàn)性隱式關(guān)系相比傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)的復(fù)雜裝備產(chǎn)品更加難于通過(guò)現(xiàn)有理論推導(dǎo)獲取。代理模型往往是解決這一難題的有效途徑。但在構(gòu)建代理模型過(guò)程中需要進(jìn)行大量模擬仿真獲取多質(zhì)量特性響應(yīng)值;同時(shí),在多質(zhì)量特性沖突下的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中還需要考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性分析,更增加了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突工程難題的復(fù)雜性。

構(gòu)建RBF[9-10]徑向基模型、SVR[11]支持向量機(jī)模型、Kriging[12-13]模型與RSM[14]響應(yīng)曲面模型是處理多質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量之間非線(xiàn)性隱式關(guān)系,同時(shí)降低優(yōu)化過(guò)程中大量數(shù)值模擬計(jì)算難題,是實(shí)現(xiàn)多質(zhì)量特性沖突下穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效途徑。根據(jù)文獻(xiàn)[15-17]可知,Kriging模型、RBF徑向基函數(shù)模型與SVR支持向量機(jī)回歸模型能夠較好地處理輸入與輸出之間高維、非線(xiàn)性等工程問(wèn)題,然而,RSM響應(yīng)曲面模型卻不適用于高維、高度非線(xiàn)性情況;文獻(xiàn)[18]從試驗(yàn)樣本和預(yù)測(cè)精度角度,分析對(duì)比了Kriging模型、RBF模型、SVR模型和RSM模型,其指出了在試驗(yàn)樣本較小情形下,RBF模型預(yù)測(cè)精度高于其他模型,SVR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)更穩(wěn)健,Kriging模型在應(yīng)用過(guò)程中,難于判斷其基函數(shù)系數(shù)取值大小對(duì)不確定性設(shè)計(jì)變量的影響程度。

根據(jù)上述現(xiàn)有代理模型的文獻(xiàn)分析和柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的分析可知,現(xiàn)有代理模型針對(duì)隨機(jī)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備產(chǎn)品適用性并不強(qiáng)。然而,關(guān)于多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展(polynomial chaos expansion, PCE)代理模型在處理隨機(jī)不確定性建模方面,則具有一定的優(yōu)勢(shì)[19]。由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性與隨機(jī)不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)之間存在非線(xiàn)性隱式關(guān)系,且微納機(jī)構(gòu)多質(zhì)量特性對(duì)隨機(jī)不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)較為敏感;另一方面現(xiàn)有針對(duì)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突權(quán)衡的報(bào)道還尚少。據(jù)此,本文提出一種不確定性設(shè)計(jì)變量情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法。將PCE代理模型和接近度灰色關(guān)聯(lián)分析引入穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法中,以解決多質(zhì)量特性波動(dòng)及沖突的工程難題。本文方法與現(xiàn)有代理模型穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比,該方法具有良好的處理不確定性能力、消解多質(zhì)量特性沖突能力與穩(wěn)健抗干擾能力。

1 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動(dòng)分析

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品作為一種依靠新型柔順機(jī)構(gòu)自身的彈性形變來(lái)轉(zhuǎn)換與傳遞運(yùn)動(dòng)及能量的技術(shù)密集型機(jī)械產(chǎn)品[20]。該產(chǎn)品在國(guó)防、醫(yī)療與航空航天等尖端領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)。其主要作用:一是通過(guò)柔性形變來(lái)實(shí)現(xiàn)微位移的放大功能;二是通過(guò)固有頻率實(shí)現(xiàn)其自身的快速響應(yīng)功能。如圖1所示,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)工作原理,其通過(guò)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器在機(jī)構(gòu)內(nèi)側(cè)兩輸入端施加輸入位移載荷,來(lái)實(shí)現(xiàn)放大機(jī)構(gòu)外側(cè)輸出端產(chǎn)生輸出微位移。

圖1 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)受力示意圖Fig.1 Sophisticated equipment products of compliant mechanism structural force diagram

鑒于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性,因此,對(duì)其四分之一的機(jī)構(gòu)來(lái)研究其放大特性原理。當(dāng)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器對(duì)機(jī)構(gòu)作用,產(chǎn)生一個(gè)水平方向上的輸入位移載荷Δx時(shí),其垂直方向會(huì)相應(yīng)產(chǎn)生一對(duì)輸出微位移Δy,此時(shí),柔性桿CB的傾斜角度從α減小到α′,其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)如圖2所示。

圖2 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Sophisticated equipment products of compliant mechanism structural movement diagram

根據(jù)上述柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位移關(guān)系分析可得到

(1)

式中,C′點(diǎn)到B′點(diǎn)的垂直距離為y2;C點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離為lx;C點(diǎn)到B點(diǎn)的垂直距離為y1;柔順桿件CB的距離長(zhǎng)度為l。

令x=0得到

(2)

根據(jù)式(1)、式(2)可推導(dǎo)出柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大倍數(shù)關(guān)系式為

(3)

由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品在實(shí)際復(fù)雜工況下,受到加工誤差、外界載荷、疲勞退化等因素的影響,其結(jié)構(gòu)參數(shù)稍有波動(dòng),可能導(dǎo)致放大倍數(shù)和固有頻率兩個(gè)質(zhì)量特性產(chǎn)生顯著性波動(dòng)。進(jìn)而影響其在國(guó)防科技、生物醫(yī)學(xué)與航空航天等尖端領(lǐng)域功能穩(wěn)健可靠運(yùn)行。柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的不僅要使各質(zhì)量特性的實(shí)際值盡可能達(dá)到目標(biāo)期望值,而且還要降低產(chǎn)品質(zhì)量特性波動(dòng)。

隨著實(shí)際工程問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜,傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)現(xiàn)已難以獲得柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健可靠性設(shè)計(jì)方案。根據(jù)參考文獻(xiàn)[21]，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)與確定性?xún)?yōu)化對(duì)比如圖3所示,當(dāng)復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品受到外界不確定性影響情形下,設(shè)計(jì)變量(結(jié)構(gòu)參數(shù))x發(fā)生±Δx容差波動(dòng)時(shí),柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性放大倍數(shù)和固有頻率的確定性?xún)?yōu)化解①的波動(dòng)幅度為Δf1(較大),然而穩(wěn)健優(yōu)化解②的波動(dòng)幅度為Δf2(較小)。表明穩(wěn)健優(yōu)化解相比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化解更具有較強(qiáng)的抗干擾能力。因此,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性(放大倍數(shù)和固有頻率)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品功能穩(wěn)健有著重要意義。

圖3 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)與確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)比Fig.3 Comparison of robust optimization design and deterministicoptimization design

2 構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型

PCE代理模型是一種通過(guò)正交多項(xiàng)式的線(xiàn)性組合來(lái)有效描述和構(gòu)建不確定性設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)響應(yīng)之間關(guān)系的新型通用表達(dá)式[22-25]。由于剛?cè)峄旌媳尘跋碌娜犴槒?fù)雜裝備精密產(chǎn)品主要依靠柔性形變來(lái)傳遞運(yùn)動(dòng)與傳統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)不同,其傳遞運(yùn)動(dòng)過(guò)程更為復(fù)雜,通過(guò)理論推導(dǎo)來(lái)獲得多質(zhì)量特性和設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系往往難于實(shí)現(xiàn)。因此,本文采用PCE代理模型來(lái)解決多質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)變量之間的復(fù)雜非線(xiàn)性隱式函數(shù)關(guān)系這一難題。

根據(jù)上文不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大倍數(shù)與固有頻率多質(zhì)量特性波動(dòng)分析,作出以下假設(shè):

(1) 根據(jù)參考文獻(xiàn)和工程實(shí)踐可知,機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)通常符合正態(tài)分布,據(jù)此本文假設(shè)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]在設(shè)計(jì)空間內(nèi)服從正態(tài)分布;

(2) 各結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]之間相互獨(dú)立。

根據(jù)多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展模型假設(shè),同時(shí),考慮柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品實(shí)際工程復(fù)雜度,進(jìn)行不高于P階的多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展進(jìn)行截?cái)?構(gòu)建PCE代理模型如下:

(4)

在上述模型假設(shè)的基礎(chǔ)上,本文構(gòu)建和檢驗(yàn)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型主要步驟如下:

(1) 不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)線(xiàn)性變換

描述柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)多質(zhì)量特性波動(dòng)不確定性影響,可根據(jù)式(5)將結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的不確定性設(shè)計(jì)變量。

(5)

式中,μxi表示結(jié)構(gòu)參數(shù)xi均值;σ(xi)表示結(jié)構(gòu)參數(shù)xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

(2) PCE正交多項(xiàng)式基底選擇

根據(jù)設(shè)計(jì)變量不同分布類(lèi)型,其正交多項(xiàng)式基底也不同。本文依據(jù)PCE代理模型假設(shè)與結(jié)構(gòu)參數(shù)服從正態(tài)分布,選擇Hermite多項(xiàng)式作為PCE代理模型基底。在實(shí)際工程問(wèn)題中,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品往往存在多維不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)影響。因此,多維Hermite多項(xiàng)式:

(6)

將多維Hermite多項(xiàng)式(6)代入PCE代理模型式(4),則柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型展開(kāi)如下:

(7)

(3) PCE系數(shù)求解

通常,求解PCE系數(shù)主要有兩類(lèi)方法[25-27],即嵌入式方法和非嵌入式方法。嵌入式方法在PCE系數(shù)的計(jì)算過(guò)程中,需要對(duì)原始模型進(jìn)行改進(jìn)和調(diào)整,但這一過(guò)程增加了系數(shù)求解的復(fù)雜度;非嵌入式方法則不需要這一過(guò)程。據(jù)此,本文采用非嵌入式方法來(lái)求解PCE系數(shù)。

(4) PCE代理模型精度檢驗(yàn)

(8)

3 基于多質(zhì)量特性的Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 建立柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品在早期設(shè)計(jì)階段,由于忽略不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的多質(zhì)量特性之間相互沖突和矛盾,且多質(zhì)量特性?xún)?yōu)化過(guò)程只考慮多質(zhì)量特性的均值而未包括方差,而導(dǎo)致復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動(dòng)和沖突。據(jù)此,本文基于PCE代理模型和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)建模思路[28-29],構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型:

(9)

式中,μfi為各質(zhì)量特性的均值模型;σfi為各質(zhì)量特性方差模型;s1i與s2i分別表示各質(zhì)量特性均值和方差歸一化系數(shù);ω1i與ω2i分別表示各質(zhì)量特性均值和方差權(quán)重系數(shù)。其中,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中各質(zhì)量特性均值與方差模型估計(jì)如下:

(10)

(11)

3.2 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突的灰色關(guān)聯(lián)分析

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品往往本身具備多個(gè)質(zhì)量特性功能。在早期設(shè)計(jì)階段,各質(zhì)量特性在功能實(shí)現(xiàn)方面往往存在相互沖突、矛盾現(xiàn)象,一個(gè)質(zhì)量特性的提升可能導(dǎo)致另一個(gè)質(zhì)量特性下降。因此,在早期設(shè)計(jì)階段考慮多質(zhì)量特性之間的權(quán)衡是多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方案評(píng)價(jià)的難點(diǎn)問(wèn)題。接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法是據(jù)序列曲線(xiàn)幾何形狀的相似程度來(lái)判斷比較序列與參考序列的關(guān)系緊密程度,已在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。因此,本文通過(guò)采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計(jì)算各質(zhì)量特性值與期望質(zhì)量特性值之間的關(guān)聯(lián)系數(shù),將多質(zhì)量特性轉(zhuǎn)化為以關(guān)聯(lián)度的綜合質(zhì)量特性評(píng)價(jià)指標(biāo)。據(jù)此,進(jìn)行優(yōu)勢(shì)排序分析,選擇關(guān)聯(lián)度最大值所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案作為最佳穩(wěn)健設(shè)計(jì)方案。

根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)定理,定義穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得出的n個(gè)多質(zhì)量特性解集{yi}作為比較序列{yi}={yi(1),yi(2),…,yi(n)},將各n個(gè)單質(zhì)量特性確定性?xún)?yōu)化解{yj}作為參考序列{yj=yj(1),yj(2),…,yj(n)},其中i=j=1,2,…,n,n為試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合數(shù)。接近關(guān)聯(lián)度主要用于測(cè)度序列折線(xiàn)在空間中的接近程度,將比較序列{yi}和參考序列{yj}對(duì)應(yīng)的折線(xiàn)記為yi和yj。令

(12)

由比較序列yi和參考序列yj長(zhǎng)度相同可得

(13)

根據(jù)比較序列{yi}與參考序列{yj}關(guān)聯(lián)度為

(14)

通過(guò)接近關(guān)聯(lián)度求出每組非劣解與單質(zhì)量特性最優(yōu)解之間的接近關(guān)聯(lián)度,根據(jù)關(guān)聯(lián)度值大小選出關(guān)聯(lián)度最大非劣解對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案作為最終穩(wěn)健設(shè)計(jì)方案。

3.3 構(gòu)造柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品Gray-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

本文基于PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型與接近灰色關(guān)聯(lián)度法相結(jié)合來(lái)解決不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動(dòng)、沖突的難題,其流程如圖4所示,主要分為7個(gè)步驟:

步驟1依據(jù)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性工程設(shè)計(jì)要求及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),確定設(shè)計(jì)變量分布類(lèi)型及取值范圍;

步驟2安排柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品各設(shè)計(jì)變量的試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合,據(jù)此,根據(jù)有限元仿真獲得各試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合的多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力響應(yīng)值;

步驟3依據(jù)PCE代理模型的構(gòu)建思路,構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力的PCE代理模型;

步驟4通過(guò)相對(duì)誤差公式(8)對(duì)構(gòu)建的多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力的PCE代理模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)。模型精度檢驗(yàn)如果未達(dá)到精度要求,則須重新安排試驗(yàn)設(shè)計(jì);

步驟5在上述步驟的基礎(chǔ)上,采用6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)建模思路,構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,并估計(jì)多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力模型的均值與方差;

步驟6采用NSGA-Ⅱ算法對(duì)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行求解,獲取多質(zhì)量特性非劣解集;

步驟7選擇多質(zhì)量特性非劣解集作為目標(biāo)矢量序列,各單質(zhì)量特性最優(yōu)解作為基準(zhǔn)矢量序列,采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法進(jìn)行排序,以關(guān)聯(lián)度值最大的多質(zhì)量特性非劣解所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案作為穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)最佳方案。

圖4 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.4 Flowchart of sophisticated equipment products of compliant mechanism robust design optimization

4 案例研究

4.1 柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性波動(dòng)分析

柔順微操作平臺(tái)[30]作為典型的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品,其三維實(shí)體模型如圖5所示。該平臺(tái)主要有兩個(gè)重要作用,一是通過(guò)柔性形變來(lái)實(shí)現(xiàn)輸入微位移的放大;二是通過(guò)固有頻率實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)。因此,放大倍數(shù)和固有頻率是本文所需穩(wěn)健的兩個(gè)質(zhì)量特性。柔順微操作平臺(tái)依據(jù)差動(dòng)式杠桿放大原理,通過(guò)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器對(duì)放大機(jī)構(gòu)的微位移產(chǎn)生放大作用來(lái)實(shí)現(xiàn)其大行程,設(shè)計(jì)原理如圖6所示。根據(jù)文獻(xiàn)[30]可知,柔順微操作平臺(tái)質(zhì)量特性放大倍數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式:

(15)

式中,t,r分別表示直圓型柔性鉸鏈厚度和半徑;L表示桿件Ⅱ的長(zhǎng)度;LH表示直角柔性鉸鏈H的長(zhǎng)度;yO表示輸入位移;yI表示輸出位移。

圖5 柔順微操作平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Structure of micro-manipulation stage of compliant mechanism

圖6 柔順微操作平臺(tái)工作原理Fig.6 Working principle of micro-manipulation stage of compliant mechanism

根據(jù)柔順微操作平臺(tái)在實(shí)際復(fù)雜工況下,受到環(huán)境溫度、外界載荷、加工誤差、機(jī)械振動(dòng)、材料分布不均勻等外界噪聲因子的影響,致使其結(jié)構(gòu)參數(shù)呈現(xiàn)不確定性狀態(tài),產(chǎn)生多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率波動(dòng)。同時(shí),柔順微操作平臺(tái)操作空間和動(dòng)態(tài)響是相互矛盾和制約的,增加操作空間會(huì)提高放大倍數(shù),往往會(huì)降低平臺(tái)的響應(yīng)速度;反之亦然。為了解決不確定性情形下的放大倍數(shù)及固有頻率兩個(gè)質(zhì)量特性波動(dòng)及沖突的工程難題,本文采用Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法來(lái)解決這一難題。

4.2 構(gòu)建柔順微操作平臺(tái)隨機(jī)響應(yīng)曲面試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合及有限元數(shù)值模擬計(jì)算

依據(jù)柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性的工程設(shè)計(jì)要求與工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),確定平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布類(lèi)型與取值范圍如表1所示。

表1 不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)特性

根據(jù)構(gòu)建PCE代理模型的樣本點(diǎn)來(lái)源于比其高一階的正交多項(xiàng)式之根。為了既滿(mǎn)足模型預(yù)測(cè)精度又降低模型復(fù)雜度的要求,本文選取PCE代理模型階次為二階,可知構(gòu)建柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)、固有頻率及最大等效應(yīng)力PCE代理模型的樣本點(diǎn)來(lái)源于3階Hermite正交多項(xiàng)式之根。因此,可獲得樣本點(diǎn)數(shù)量為34的樣本空間。然而,這一樣本空間的樣本量遠(yuǎn)多于PCE模型展開(kāi)系數(shù)項(xiàng)15項(xiàng)。

從降低有限元數(shù)值模擬仿真成本與保證模型精度所需樣本量角度考慮,選取樣本設(shè)計(jì)空間內(nèi)PCE代理模型展開(kāi)系數(shù)項(xiàng)兩倍的樣本點(diǎn)就能滿(mǎn)足模型精度要求。因此,本文依據(jù)隨機(jī)響應(yīng)面法配點(diǎn)安排30個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案,通過(guò)有限元數(shù)值模擬仿真平臺(tái)Ansys workbench 12.1模擬計(jì)算各試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合的多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率響應(yīng)值,同時(shí),模擬各試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合的最大等效應(yīng)力值?？傻萌犴樜⒉僮髌脚_(tái)各試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合響應(yīng)值如表2所示。

表2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)組合方案

4.3 構(gòu)建柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

0.000 608ξLξr+0.000 04ξLξt+0.003 45ξLHξr+0.001 34ξLHξt+0.001 22ξrξt

(16)

0.003 69ξLξt-0.092 9ξLHξr-0.006 41ξLHξt-0.014 3ξrξt

(17)

0.040 4ξLξt+0.020 6ξLHξr-0.005 3ξLHξ+0.003 59ξrξt

(18)

根據(jù)相對(duì)誤差式(8)對(duì)上述各質(zhì)量特性與最大等效應(yīng)力PCE代理模型式(16)、式(17)和式(18)進(jìn)行模型精度檢驗(yàn)。通過(guò)20組測(cè)試樣本點(diǎn)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)可得各PCE代理模型相對(duì)誤差如圖7所示。由測(cè)試樣本相對(duì)誤差結(jié)果都在10%以?xún)?nèi),據(jù)此,可認(rèn)為柔順微操作平臺(tái)各PCE代理模型滿(mǎn)足精度要求即本文所構(gòu)建的PCE代理模型可替代真實(shí)理論模型。

圖7 PCE代理模型相對(duì)誤差Fig.7 PCE surrogate model relative error

根據(jù)柔順微操作平臺(tái)實(shí)際工程設(shè)計(jì)要求,本文以多質(zhì)量特性放大倍數(shù)、固有頻率設(shè)為目標(biāo)函數(shù),最大等效應(yīng)力為約束函數(shù)。同時(shí),依據(jù)柔順微操作平臺(tái)產(chǎn)生的最大等效應(yīng)力不應(yīng)超過(guò)柔順微操作平臺(tái)材料的屈服極限34 MPa作為約束條件。在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍及分布類(lèi)型,構(gòu)建柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型:

(19)

為了驗(yàn)證本文多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的有效性,同時(shí),本文構(gòu)建確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)模型:

(20)

4.4 基于灰色關(guān)聯(lián)度的多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化方案選擇

根據(jù)上文建立的柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型式(19)與傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)模型式(20),本文基于Isight多學(xué)科優(yōu)化平臺(tái)對(duì)兩類(lèi)模型,采用內(nèi)嵌NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行求解。多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過(guò)程如圖8和圖9所示。

圖8 放大倍數(shù)穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過(guò)程Fig.8 Robust iterative optimization process of the amplification

圖9 固有頻率穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過(guò)程Fig.9 Robust iterative optimization process of the natural frequency

由于在實(shí)際工程中柔順微操作平臺(tái)穩(wěn)健優(yōu)化求解出的多質(zhì)量特性解集難于權(quán)衡決策,設(shè)計(jì)方案選擇過(guò)程往往可能產(chǎn)生多質(zhì)量特性相互沖突、矛盾的現(xiàn)象,導(dǎo)致難以獲得柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性綜合性能最佳的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方案。因此,本文采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法進(jìn)行分析。首先,分別以放大倍數(shù)和固有頻率為目標(biāo)響應(yīng)求解出無(wú)質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化解集。據(jù)此,獲取無(wú)質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)的穩(wěn)健最優(yōu)解分別為：放大倍數(shù)f1=6.988 5,固有頻率f2=95.718 1。

然后,以無(wú)質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)的穩(wěn)健最優(yōu)解作為基準(zhǔn)矢量序列,將多質(zhì)量特性沖突情形下的目標(biāo)響應(yīng)解集作為目標(biāo)矢量序列,根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計(jì)算目標(biāo)矢量序列與基準(zhǔn)矢量序列之間的關(guān)聯(lián)度。并以灰色關(guān)聯(lián)度最大的目標(biāo)矢量序列作為穩(wěn)健最優(yōu)解即多質(zhì)量特性解集與各單質(zhì)量特性最優(yōu)解集的接近程度,據(jù)此,灰色關(guān)聯(lián)度最大對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)方案即為多質(zhì)量特性沖突下的穩(wěn)健最佳設(shè)計(jì)方案。根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計(jì)算可得柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)與固有頻率多質(zhì)量特性灰色關(guān)聯(lián)度分析結(jié)果如表3所示。

4.5 多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

根據(jù)上述接近度灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)果,選擇關(guān)聯(lián)度最大的多質(zhì)量特性穩(wěn)健最佳解分別為：放大倍數(shù)f1=6.845 1,固有頻率f2=94.436 9所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方案如表4所示。

表3 多質(zhì)量特性灰色關(guān)聯(lián)度分析

表4 Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法結(jié)果

從設(shè)計(jì)方案角度分析表4可知,基于Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)所獲得的各結(jié)構(gòu)參數(shù)的穩(wěn)健性質(zhì)量水平都達(dá)到了6σ水平以上,其對(duì)應(yīng)各結(jié)構(gòu)參數(shù)可靠度都近似達(dá)到了100%;相比確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)所得到的結(jié)果如表5所示,各結(jié)構(gòu)參數(shù)的穩(wěn)健性質(zhì)量水平均未達(dá)到2σ水平,相應(yīng)的可靠度都處于70%～90%,難于滿(mǎn)足國(guó)防、醫(yī)療等高尖端領(lǐng)域高可靠性、高穩(wěn)健性的嚴(yán)苛設(shè)計(jì)要求。

表5 傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

從多質(zhì)量特性?xún)深?lèi)方法均值優(yōu)化效果角度分析,采用本文提出方法所得到的柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)為6.845 1倍,相比確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的6.967 7倍,兩類(lèi)方法所得到的放大倍數(shù)在均值方面相差不大。然而,確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的放大倍數(shù)穩(wěn)健性質(zhì)量水平為1.9σ。相比本文方法穩(wěn)健優(yōu)化得到的穩(wěn)健性水平8σ,遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所得結(jié)果的穩(wěn)健性;同時(shí),確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的柔順微操作平臺(tái)固有頻率為94.234 7 Hz,而本文方法所得固有頻率為94.436 9 Hz,在均值方面兩者也相差不大。但通過(guò)本文方法所得到的固有頻率穩(wěn)健性質(zhì)量水平為8σ,也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于確定性?xún)?yōu)化結(jié)果的3σ水平。且柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)后的值得到了最大等效應(yīng)力減小,降低了平臺(tái)發(fā)生失效的概率。從表4和表5最大等效應(yīng)力穩(wěn)健性質(zhì)量水平對(duì)比也可體現(xiàn)出。綜上分析表明,提高柔順微操作平臺(tái)多質(zhì)量特性穩(wěn)健可靠性水平,不僅均值要達(dá)到多質(zhì)量特性的目標(biāo)期望,而且還要降低多質(zhì)量特性波動(dòng)。

從多質(zhì)量特性放大倍數(shù)和固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差角度分析,基于本文提出的Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的各質(zhì)量特性標(biāo)準(zhǔn)差相比確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)所得到各質(zhì)量特性標(biāo)準(zhǔn)差要小很多。本文方法所得放大倍數(shù)和固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.017,0.126;而相應(yīng)的確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的放大倍數(shù)和固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.181,1.34。兩類(lèi)方法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖10和圖11所示。從圖10、圖11對(duì)比分析可知Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所得到的各質(zhì)量特性概率密度曲線(xiàn)更為“瘦小”,說(shuō)明其標(biāo)準(zhǔn)差值越小,其性能波動(dòng)就越小,符合高尖端領(lǐng)域嚴(yán)苛的工程設(shè)計(jì)要求。

圖10 柔順微操作平臺(tái)放大倍數(shù)概率分布對(duì)比Fig.10 Comparison of amplification probability distribution of micro-manipulation stage

圖11 柔順微操作平臺(tái)固有頻率概率分布對(duì)比Fig.11 Comparison of natural frequency probability distribution of micro-manipulation stage

根據(jù)表4和表5綜合分析,表明在早期設(shè)計(jì)階段,考慮設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性及多質(zhì)量特性相互沖突、矛盾對(duì)柔順微操作平臺(tái)性能的影響,是實(shí)現(xiàn)其在復(fù)雜工況下穩(wěn)健運(yùn)行前提和基礎(chǔ)。由兩類(lèi)方法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析可知,本文所提出的Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,在設(shè)計(jì)階段考慮各結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性分布類(lèi)型基礎(chǔ)上并增加了多質(zhì)量特性沖突的設(shè)計(jì)方案權(quán)衡分析,相比傳統(tǒng)確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方案更穩(wěn)健。

5 結(jié) 論

不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突與波動(dòng)是復(fù)雜裝備領(lǐng)域的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題。為了確保在早期設(shè)計(jì)階段,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量的提升,本文針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動(dòng)、多質(zhì)量特性相互沖突工程難題,提出了Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法。該方法通過(guò)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型獲得多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化解集;結(jié)合接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化解集進(jìn)行接近度灰色關(guān)聯(lián)度分析,根據(jù)關(guān)聯(lián)度最大值評(píng)價(jià),決策選出最佳穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。該方法不僅提高了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突難題,還增強(qiáng)了多質(zhì)量特性對(duì)外界的抗干擾性。為解決了不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突及波動(dòng)難題提供了一種參考依據(jù)。

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