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        非齊次擬線性A-調和方程很弱解的正則性

        2018-02-06 05:57:31朱坤杰陳淑紅
        廈門大學學報(自然科學版) 2018年1期
        關鍵詞:調和正則常數(shù)

        朱坤杰,陳淑紅

        (閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州363000)

        1 預備知識

        本文中主要考慮非齊次擬線性A-調和方程

        (1)

        很弱解的正則性.其中Ω?Rn是有界區(qū)域,n≥2,1

        (i) 算子A(x,u,h)滿足強制性條件.即存在常數(shù)a>0,使得

        u∈Rn;

        (ii) 算子A(x,u,h)是擬線性的.即存在常數(shù)β>0,使得

        (A(x,u1,h1)-A(x,u2,h2))(h1-h2)≥

        ?u1,u2∈Rn,h1,h2∈RnN,x∈Ω;

        (iii) 算子A(x,u,h)是有界的.即存在常數(shù)β≤γ<∞,使得

        φ(x))x∈Ω,u∈Rn,h∈RnN,

        定義1 稱函數(shù)u∈W1,r(Ω)(max{1,p-1}≤r≤p)為方程(1)的很弱解,若對所有的φ∈C0∞(Ω)都有

        (2)

        由于A-調和方程能夠反映實際生活中和物理學中眾多現(xiàn)象而被廣大的專家學者所關注.在數(shù)學中關于A-調和方程的研究主要集中在對其解的性質,尤其是對經(jīng)典弱解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及正則性等方面的研究[1-2].

        但是他們所考慮的經(jīng)典弱解和很弱解之間的聯(lián)系的這些A-調和方程中,A-調和算子都是和很弱解u無關的.受到這些問題的啟發(fā),本文中主要考慮A-調和算子和很弱解u有關的二階非齊次A-調和方程(1)很弱解的正則性.這些結論都是在方程(1)很弱解存在的前提條件下進行的,有關A-調和方程很弱解的存在性,在文獻[10]中有著詳細的證明,在這里不做討論,直接證明很弱解的正則性問題并得到以下結論.

        2 基本引理

        引理2[12-13]設u(x)∈Lp(BR),BR?Ω,f∈Lt(BR),t>p并且滿足如下不等式:

        θBRdx+BRdx.

        (3)

        其中C′=C′(n,p,K,θ).

        3 定理1的證明

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        則由一個基本的關系式

        0<ε<1,X,Y∈Rn

        (8)

        得到

        (9)

        取Hodge分解中的φ為弱解定義中的檢驗函數(shù),于是

        (10)

        I4+I5.

        (11)

        其中

        先估計式(11)左邊,由假設條件(i)得到

        由η的定義可得

        (12)

        下面估計I1,由條件(iii)和式(9)可得

        (13)

        其中

        由η的定義可得

        由H?lder不等式可得

        (14)

        由Young不等式可得

        注意到η的定義,則由H?lder不等式可得

        (15)

        下面對α分情況討論.

        情形1 當 0<α<1 時,由Young不等式可得

        綜上,

        由H?lder不等式、Poincre不等式和Young不等式,得

        (16)

        因此

        (17)

        下面估計I2,由假設條件(iii)、H?lder不等式和式(6),可得

        K1+K2+K3.

        (18)

        由H?lder不等式以及估計式(6)可得

        (19)

        由H?lder不等式、Sobolev嵌入定理和估計式(6)可得

        (20)

        (21)

        結合估計式(19),(20)和(21)可得

        (22)

        由Poincre不等式以及η的定義可得

        (23)

        下面對α的取值范圍分情況討論.

        情形1 當0<α≤1時,由Young不等式可得

        將上面這些估計式代入I2中,并由Young不等式可得

        (24)

        下面估計I3.由H?lder不等式、引理2、式(5)和(15)可得

        下面估計I4.由式(9)可得

        類似J1的估計可知

        (25)

        下面估計I5.類似I2的估計可知

        綜合估計式I1-I5和式(12)可得

        (26)

        整理可得

        (27)

        (28)

        即存在r′∈(p-ε,p)?(p-ε,+∞),使式(28)成立.下面只須證區(qū)間(p-ε,p)是右閉的.實際上,當r′=p時,由引理2以及式(28)可以發(fā)現(xiàn),結論顯然成立.故反復應用引理2可得定理的結論.

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