員乾乾， 付興建

(北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100192)

0 引 言

四旋翼飛行器姿態(tài)控制策略一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。雖然分?jǐn)?shù)階PID能較好的達(dá)到期望的控制品質(zhì)，但是在實(shí)際的飛行控制中，無(wú)論是環(huán)境中干擾還是系統(tǒng)內(nèi)部模型參數(shù)的不確定性，都會(huì)對(duì)飛行器的飛行效果產(chǎn)生很大的影響。因此，帶觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階PID，能對(duì)系統(tǒng)中存在的干擾進(jìn)行有效的補(bǔ)償，增加系統(tǒng)的抗干擾性以及魯棒性，但是傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)法很難得到最佳的分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)值。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于傳統(tǒng)的PID參數(shù)整定已經(jīng)是非常方便的策略。為了能得到最優(yōu)的PID參數(shù)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定分?jǐn)?shù)階PID控制器的參數(shù)。

設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器有諸多的優(yōu)點(diǎn)。第一：觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在控制過(guò)程中不需要大量的計(jì)算，能夠很好的滿足設(shè)計(jì)者的需要；第二：一般的控制系統(tǒng)都比較復(fù)雜，采用干擾觀測(cè)器抑制干擾，對(duì)模型的準(zhǔn)確性要求不高。因此，干擾觀測(cè)器常常用在多種控制場(chǎng)合。關(guān)于復(fù)雜的控制系統(tǒng)控制算法的研究主要集中于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、滑?？刂频确蔷€性控制策略。在理論研究中，雖然非線性控制算法有比較好的控制效果，但是非線性控制器對(duì)控制對(duì)象模型有較高的要求，在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。在控制系統(tǒng)的模型存在誤差或者參數(shù)不確定的情況下，考慮到線性PID控制算法存在抗干擾能力差，魯棒性較弱的問(wèn)題。因此，給出了一種帶干擾觀測(cè)器的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF分?jǐn)?shù)階PID控制器，其中干擾觀測(cè)器能很好抑制系統(tǒng)的噪聲，而經(jīng)過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的的分?jǐn)?shù)階PID控制能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的良好控制。

1 干擾觀測(cè)器

無(wú)論是環(huán)境中的干擾還是系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)都在很大程度上會(huì)影響系統(tǒng)的運(yùn)行品質(zhì)，主要有：系統(tǒng)的摩擦、外界環(huán)境的改變、電磁場(chǎng)波動(dòng)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Umendo和Hori提出了干擾觀測(cè)器理論。其基本思想就是：干擾觀測(cè)器可以將外部的擾動(dòng)以及模型不準(zhǔn)確帶來(lái)的誤差引入到輸入端，并且引入補(bǔ)償，這樣就提高了系統(tǒng)的抗干擾的能力以及魯棒性[1]。

1.1 干擾觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)

圖1中，ur是制器輸出的信號(hào)，G0(s)是控制對(duì)象的傳遞函數(shù)，d是系統(tǒng)受到的外部擾動(dòng)信號(hào)，ζ是外部策略的噪聲信號(hào)，df是對(duì)干擾信號(hào)的觀測(cè)結(jié)果。v是輸出信號(hào)。

根據(jù)圖中傳遞函數(shù)的關(guān)系，可以求出對(duì)干擾信號(hào)的觀測(cè)結(jié)果[6]：

圖1 干擾觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖

圖2 干擾觀測(cè)器的實(shí)際采用結(jié)構(gòu)圖

在系統(tǒng)中加入低通濾波器Q(s)后，可以得到控制系統(tǒng)的響應(yīng)表達(dá)式為：

y(s)=Gcy(s)+GdyD(s)+Gny(s)N(s)

(1)

根據(jù)自動(dòng)控制原理，對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的等效變換可以求出：

(2)

(3)

(4)

當(dāng)被控對(duì)象的實(shí)際模型和標(biāo)稱(chēng)模型相等時(shí)，可以看出，無(wú)論是系統(tǒng)中是否加入了干擾觀測(cè)器，并不影響系統(tǒng)中控制器的輸出。即這種干擾觀測(cè)器和控制系統(tǒng)是兩個(gè)獨(dú)立的過(guò)程，并不相互影響。在大部分的情況下，控制對(duì)象和模型和名義某模型總是存在著一定的誤差。在高頻區(qū)域?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行分析，當(dāng)w>>wq，Q(s)=0時(shí)，有：Gcy=Gp(s)，Gdy(s)=Gp(s)，Gny(s)=0。分析可知，在高頻區(qū)域干擾觀測(cè)器的干擾補(bǔ)償作用雖然已經(jīng)消失，但是噪聲也基本被消除。在低頻段，當(dāng)w=wq，Q(s)=1時(shí)，有：Gcy=Gn(s)Gdy(s)=0Gny(s)=1。對(duì)象的參數(shù)不確定，等效干擾被完全抑制。

1.2 測(cè)器的設(shè)計(jì)

假設(shè)被控系統(tǒng)Go(s)的名義模型為Gn(s)，則不確定對(duì)象的集合可用乘積攝描述，即Gp(s)=Gn(s)(1+D(s)),式中，Δ(s)是可變的傳遞函數(shù)。通過(guò)對(duì)Q(s)的設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)魯棒性要求。忽略非建模動(dòng)態(tài)和不確定的影響。其中Gn(s)可以描述為：Gn(s)=1/s(Jn+s+bn)，考慮到使用的控制系統(tǒng)，可以使用如下的低通濾波器：

Q(s)=3τ+1/(τ3s3+3τ2s2+3τs+1)

(5)

其中：τ=0.001s。

2 數(shù)階PID控制器

分?jǐn)?shù)階微積分理論創(chuàng)立至今已經(jīng)很長(zhǎng)的一段時(shí)間，剛開(kāi)始人們主要是理論方面的研究并沒(méi)有應(yīng)用到實(shí)際情況。隨著科技的發(fā)展，近幾十年分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)逐漸應(yīng)用到控制領(lǐng)域。我們平時(shí)所熟悉的整數(shù)階系統(tǒng)只是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)階次等于零的特殊情況，但是分?jǐn)?shù)階PID比整數(shù)階PID有更好的控制品質(zhì)。因此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)能夠應(yīng)用在無(wú)論是整數(shù)解系統(tǒng)模型還是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型的情況[10]。連續(xù)的分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

(6)

其中：0和t是微分和積分的上下線，τ是積分變量，α是任意復(fù)數(shù)。在實(shí)際系統(tǒng)中，很難獲得內(nèi)部信號(hào)的解析式子，因此不能用常規(guī)的微分算法，所以需要某種方法直接由信號(hào)的采樣點(diǎn)來(lái)等效信號(hào)的分?jǐn)?shù)階微積分[10]。

2.1 OUSTALOP遞推濾波器

在眾多濾波器中，OUSTALOP遞推濾波器能很好的逼近分?jǐn)?shù)階微積分算子，因此，采用OUSTALOP遞推濾波器[1]。

在頻率域內(nèi)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分算子的逼近，假設(shè)在頻率段是(wb,wh)，則相應(yīng)的OUSTALOP濾波器的形式如下[6]：

(7)

其中：

(8)

(9)

N+1是濾波器的階次，α是分?jǐn)?shù)階的階次。

在實(shí)際的仿真實(shí)驗(yàn)中，兩種算法的圖像曲線幾乎一致，變化曲線也基本一致，在整體上，Grunwald-letnikov微分算法和OUSTALOP遞推濾波器計(jì)算的結(jié)果基本類(lèi)似。但是對(duì)于端點(diǎn)的分析，兩者變化差異很大，在端點(diǎn)處兩者的擬合效果并不理想，所以提出了改進(jìn)型的OUSTALOP濾波器[6]。

2.2 改進(jìn)型OUSTALOP濾波器

OUSTALOP濾波器擬合效果整體上是一致的，但是在頻率段(w1,w2)的兩端點(diǎn)附近的擬合效果不理想，提出了一個(gè)改進(jìn)型的濾波器方案。在擬合頻率段內(nèi)，分?jǐn)?shù)階微分算子sα可以由分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)近似

(10)

其中：0<α<1，s=jw,b>0，d>0

(11)

在頻率段wb

(12)

(13)

把k(s)用OUSTALOP遞推展開(kāi)，得近似公式：

(14)

其中實(shí)數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)可以寫(xiě)成

一般情況下：b=10,d=9。

2.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)整定

采用經(jīng)驗(yàn)法試湊分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)，缺點(diǎn)是難以得到最優(yōu)的參數(shù)值， BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)整定分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)值。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)規(guī)則是采用最速下降法，按照誤差函數(shù)的負(fù)梯度方向修改權(quán)值，通常存在著收斂速度慢，容易陷入局部極小值狀態(tài)。而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是局部逼近型網(wǎng)絡(luò)，能以任意精度逼近給定的非線性映射，能夠很好的避免BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的問(wèn)題。如圖3RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

假設(shè)X=[x1,x2,…,xm]T是網(wǎng)絡(luò)的輸入層，H=[h1,h2,…,hm]T是徑向基向量，其中hj是高斯函數(shù)

(15)

網(wǎng)絡(luò)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)的中心矢量為Cj=[cj1,cj2,cj3,cj4]T，其中i=1,2,…,m。B=[b1,b2,…,bm]T是網(wǎng)絡(luò)的基寬向量。

網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值向量為W=[w1,w2,wj,…,wm]T，則網(wǎng)絡(luò)的辨識(shí)輸出為ym(k)=w1h1+w2h2+…+wmhm。定義網(wǎng)絡(luò)的誤差為：

RBF學(xué)習(xí)算法采用梯度下降法，則分?jǐn)?shù)階PID控制器整定過(guò)程如下：

(16)

3 在四旋翼飛行器姿態(tài)控制仿真應(yīng)用

文獻(xiàn)[2]中，在小擾動(dòng)的情況下，某種四旋翼飛行器線性化姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型：

(17)

(18)

(19)

采用設(shè)計(jì)的帶有觀測(cè)器的RBF分?jǐn)?shù)階PID控制，在SIMULINK環(huán)境中搭建控制結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 帶觀測(cè)器的RBF分?jǐn)?shù)階PID系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

同樣的可以得到翻滾角，偏航角的仿真效果如下圖6、圖 7所示。

圖5 帶觀測(cè)器和不帶觀測(cè)器比較圖

圖6 帶觀測(cè)器RBF分?jǐn)?shù)階PID 翻滾角的效果圖

圖7 帶觀測(cè)器RBF分?jǐn)?shù)階PID偏航角的效果圖

由上圖可看出，采用帶觀測(cè)器的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階PID控制后，控制系統(tǒng)可以有效的抑制外界的干擾信號(hào)，達(dá)到理想的控制效果。

4 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)際的控制系統(tǒng)具有高度的非線性、多耦合性等特性，對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)很難得到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，再加上系統(tǒng)存在的擾動(dòng)的影響，使得控制效果很難達(dá)到理想水平。引入干擾觀測(cè)器，觀測(cè)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不需要大量的運(yùn)算，同時(shí)觀測(cè)器并不會(huì)影響到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階PID的控制效果。最后把帶有觀測(cè)器的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階PID應(yīng)用與四旋翼控制系統(tǒng)中并且進(jìn)行MATALAB實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，帶觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階PID控制有良好的控制效果。

[1] 趙春娜，趙雨，張祥德. 分?jǐn)?shù)階控制器與整數(shù)階控制器仿真究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009.

[2] 國(guó)倩倩.微型四旋翼飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及控制方法研究[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué)，2013.

[3] 江斌.小型四旋翼低空無(wú)人飛行器綜合設(shè)計(jì)[D].杭州:浙江大學(xué)，2013.

[4] 李俊，李運(yùn)堂. 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)建模及PID控制[J]. 遼寧土程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012 .

[5] 劉昌龍. 四旋翼無(wú)人機(jī)建模與控制問(wèn)題研究[D]. 湖北工業(yè)大學(xué): 2016.

[6] 趙春娜，李英順，陸濤.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2011:53-75.

[7] 黃依新.四旋翼飛行器姿態(tài)控制方法研究[D]. 成都:西南交通大學(xué)，2014.

[8] Gabano J D, Poinot T. Fractional modelling and identification of thermal systems[J]. Signal Processing, 2011.

[9] 羅佑新.新型分?jǐn)?shù)PID控制器及其仿真研究[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009.

[10] 薛定宇，陳陽(yáng)泉. 控制數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，2007.

[11] 薛定宇，趙春娜，潘峰. 基于框圖的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)仿真方法及應(yīng)用[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2006.

[12] 譚廣超.四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[D].大連:大連理工大學(xué)，2013.

[13] 李堯.四旋翼飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[D].大連:大連理工大學(xué)，2015.

[14] 牟金善.分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定研究[D].上海:華東理工大學(xué)，2013.

[15] 張井崗，方線偉，趙志誠(chéng). 磁懸浮球系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階滑?？刂芠J] 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014.

[16] Quadrotor vehicle control via sliding mode controller driven by sliding mode disturbance observer[J] . Journal of the Franklin Institute . 2011 (2).