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(杭州市余杭區(qū)人民檢察院,杭州 311100)

0 引言

一般的圖像加密方式有兩種：分別是針對(duì)圖像視覺(jué)特性的空間域加密以及針對(duì)圖像頻域特性的頻域加密。而這其中采用變換域圖像加密更加符合當(dāng)前數(shù)字化圖像的環(huán)境[1]。

為了能夠提高圖像加密的安全性，當(dāng)前廣泛將混沌理論引入到加密算法設(shè)計(jì)中。混沌作為一種特殊的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，能夠產(chǎn)生眾多的不相關(guān)的具有隨機(jī)特性的信號(hào)，同時(shí)只需要一個(gè)映射公式與初始值就可以產(chǎn)生混沌序列且不需要存儲(chǔ)每一個(gè)序列點(diǎn)的值。將混沌系統(tǒng)當(dāng)做偽隨機(jī)發(fā)生器，其產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列與目標(biāo)明文異或操作后得到的輸出就是加密后的密文。這種使用混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)加密算法的思想最初由英國(guó)數(shù)學(xué)家Matthews在1989年提出。而將混沌理論首次運(yùn)用于通信保密領(lǐng)域則是在1990年由美國(guó)的Pecora和Carroll提出的[2-3]。

本文將小波變化理論同混沌理論相結(jié)合，提出了基于小波變換聯(lián)合混沌理論的圖像加密方法，通過(guò)小波變換對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理得到四幅小波子圖，隨后通過(guò)混沌理論將子圖置亂，最后通過(guò)小波逆變換對(duì)加密圖像進(jìn)行恢復(fù)得到加密信息。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了該方案的可行性同時(shí)證明了其在安全性上的高可靠性[4-8]。

1 小波算法

作為一種新的變換域分析方式，小波算法(WT)其在繼承短時(shí)傅立葉變換中變換區(qū)間局部化的思想基礎(chǔ)上，另一個(gè)方面實(shí)現(xiàn)了窗口的針對(duì)性變化，小波變換提供了一個(gè)隨頻率變化“時(shí)—頻”窗口，這使得它成為了當(dāng)前信號(hào)分析領(lǐng)域的理想工具。在文中我們利用其具有的優(yōu)秀的“空—頻”特性來(lái)對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行處理以實(shí)現(xiàn)圖像的編碼[9-12]。

小波變換(WT)是超分辨率分析方法，可以描述時(shí)域和頻域的局部特征。根據(jù)圖1所示的S.Mallatfs金字塔算法，將小波組合后的圖像分為水平方向，垂直方向，對(duì)角線方向和低頻部分四個(gè)波段，分別可以分解。小波變換圖像具有三個(gè)高頻帶LHi，HLi，HHi和低頻帶LL3，主要能量集中在低頻部分，水平，垂直和對(duì)角線部分幾個(gè)。如圖1所示為一個(gè)圖像的二維離散小波的分解以及重構(gòu)流程示意圖。

圖1 圖像小波分解重構(gòu)示意圖

φ1(x,y)=φ(x)φ(y)

φ2(x,y)=φ(x)φ(y)

φ3(x,y)=φ(x)φ(y)

(1)

其正交平移系為：

2-jφ1(2-jx-m,2-jy-n)

2-jφ2(2-jx-m,2-jy-n),(m,n)∈Z2

2-jφ3(2-jx-m,2-jy-n)

(2)

他們分別是L2(R2)內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

(3)

其中:i=1,2,3。

根據(jù)尺度函數(shù)以及小波函數(shù)所具有的正交性，可以進(jìn)一步得到：

(4)

令Hr,Hc分別作為尺度濾波器對(duì)陣列{Ck,l}(k,l)∈Z2的行和列進(jìn)行作用的算子，而Gr,Gc分別代表濾波器行列作用算子，在此基礎(chǔ)上可以得出二維Mallat分解如下表示：

Cj+1=HrHcCj

(5)

并且可以得出其重構(gòu)算法為：

(6)

目標(biāo)圖像經(jīng)過(guò)小波變換分解后，不僅將其空間域與頻域信息進(jìn)行了有效分離，而且空間域和頻域一一對(duì)應(yīng)?；诖颂匦?，通過(guò)小波變換后將其進(jìn)行混沌置亂操作，可以有效改善加密圖像的信噪比[13-16]。

圖2 RGB二維小波分解系數(shù)

2 基于混沌理論的加密方法

混沌理論是指系統(tǒng)從有序突然變成為無(wú)序狀態(tài)的一種演化理論，在這里將混沌理論與圖像加密相結(jié)合提出一種簡(jiǎn)單、高效、安全的加密方法[17-18]。

2.1 混沌狀態(tài)的正弦映射

正弦映射的方程式為：

xn+1=f(μ,xn)=μsin(πxn),n=0,1,2...

(7)

它是一個(gè)非線性的動(dòng)力系統(tǒng)，公式中μ是正弦映射的系統(tǒng)參數(shù)，其取值范圍是[0,1]，該系數(shù)同正弦映射的周期、混沌和分岔狀態(tài)有著決定性的關(guān)系；而xn∈[-1,0)或者xn∈(0,1]。

對(duì)于一維的混沌動(dòng)力系統(tǒng)xn+1=f(μ,xn)，它的Lyapunov指數(shù)如下定義：

(8)

所以一個(gè)正弦映射xn+1=μsin(πxn)的Lyapunov指數(shù)為：

(9)

當(dāng)Lyapunov指數(shù)λ>0時(shí)，表示此時(shí)的正弦映射處于混沌狀態(tài)，同時(shí)也表明當(dāng)前該系統(tǒng)是參數(shù)和初始值敏感的。在這種狀態(tài)下，系統(tǒng)可以產(chǎn)生大量不相關(guān)的類隨機(jī)的確定可再生信號(hào)，這有利于圖像的加解密；而當(dāng)λ<0時(shí)，正弦映射所處的是一個(gè)周期狀態(tài)，其對(duì)于初始值并不敏感；λ=0則表明是臨界狀態(tài)。

上述部分描述的弱點(diǎn)對(duì)于選擇的明文攻擊很有用。通過(guò)這個(gè)弱點(diǎn)，在本小節(jié)中將給出這種類型的加密方案所選擇的明文攻擊。我們首先顯示給定置換方案的密碼分析。如果已知足夠多的明文及其對(duì)應(yīng)的密文，則可以很容易地確定平面圖像像素的位置與它們的置換位置之間的關(guān)系。

2.2 混沌變換

混沌系統(tǒng)一般都是初始值敏感、參數(shù)敏感同時(shí)具有類隨機(jī)特性，在這些混沌系統(tǒng)所特有的特性的基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)一種圖像置亂算法，該置亂算法的具體原理與步驟如下：

步驟1：確定混沌變換的擴(kuò)展參數(shù)K。

f(x,y)，x=0,1,2...M-1;y=0,1,2,...N-1

(10)

表示一個(gè)大小為M×N的數(shù)字圖像。根據(jù)圖像的逐行掃描存儲(chǔ)特性，可將該圖像表示為f(k),k=0,1,...,MN-1。在正弦映射處于混沌狀態(tài)的條件下，隨機(jī)性地將一個(gè)初始值x0>0以及系統(tǒng)參數(shù)μ選取出來(lái)，使用正弦映射迭代進(jìn)行如下處理后得到所需的混沌序列:

g(k)=round(K*xk),k=0,1,...,K

(11)

其中:round表示取整操作。因?yàn)?

g(k)∈{0,1,...,MN-1}

(12)

那么g(k)可以表示圖像的任意個(gè)像素點(diǎn)位置。

步驟2：置亂圖像。

將f(k)的第一個(gè)像素點(diǎn)f(0)與f(g(0))兩個(gè)像素點(diǎn)互換位置得到交換像素點(diǎn)后的新圖像，表示為f1(k)；隨后將f1(k)的第二個(gè)像素點(diǎn)與f1(g(1))像素點(diǎn)進(jìn)行交換得到新的圖像f2(k)；以此類推，經(jīng)過(guò)MN次置換操作后得到加密圖像fMN(k)。

對(duì)于每一次的像素交換操作后的圖像都采用新的圖像fn(k),n=1,2...在具體的編程操作中通過(guò)采用同址運(yùn)算的方法來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行置亂操作。

在上述部分中，指出了這種圖像加密方案的兩個(gè)缺陷：1)加密對(duì)明文變化的敏感度低; 2)無(wú)法抵抗選擇的明文攻擊。

為了避免上述缺陷，本文提出了一種改進(jìn)的方案，使用了兩個(gè)不同的混沌映射，一個(gè)創(chuàng)建二進(jìn)制流進(jìn)行替換，另一個(gè)創(chuàng)建一個(gè)置換矩陣。為了反攻，讓這個(gè)方案對(duì)明文的小變化更加敏感，改進(jìn)方案采取了三項(xiàng)措施。 1)明文首先通過(guò)兩輪替代操作進(jìn)行加密，然后通過(guò)一輪置換操作進(jìn)行加密。 2)采用密文反饋方法，采用先前的密文作為替代過(guò)程中當(dāng)前明文的反饋，將單個(gè)明文比特的效果消散到更多的密文比特。特別地，第一輪替代中的最后加密明文被選擇為第二輪替代的初始反饋。 3)在替代過(guò)程中，我們將對(duì)替代過(guò)程中使用的混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)給出小的擾動(dòng)。

在替代過(guò)程中，陳氏混沌系統(tǒng)(CCS)用于生成用于替代的二進(jìn)制流，其中α，β和γ是控制參數(shù)。其中當(dāng)α=35，β=3和γ=20，系統(tǒng)進(jìn)入混沌域，如圖3所示。

圖3 不同的混沌系統(tǒng)交替圖

CCS的動(dòng)力學(xué)特性比Lorenz混沌系統(tǒng)復(fù)雜得多。 因此，此功能在安全通信中非常有用。 第四階Runge-Kutta算法用于迭代CCS。

在整個(gè)系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài)的前提下，通過(guò)正弦映射迭代產(chǎn)生得到的序列就是一個(gè)混沌序列。因此，圖像在經(jīng)過(guò)混沌變換的置亂操作后，被加密的圖像中的每一個(gè)像素之間的位置關(guān)系也從原來(lái)的順序排列轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌幕煦缗帕?。?shí)驗(yàn)結(jié)果表明，混沌變換對(duì)于圖像的置亂具有非常好的效果。通過(guò)混沌置換加密的圖像的解密過(guò)程則是上述過(guò)程的逆過(guò)程。

3 基于WT算法聯(lián)合混沌理論的圖像加密

在混沌圖像加密算法的基礎(chǔ)上將其與WT算法相結(jié)合，提出了基于小波變換聯(lián)合混沌理論的圖像加密算法，由圖可以所示，首先需要對(duì)目標(biāo)原始圖像進(jìn)行預(yù)處理：假定初始圖像表示為f0(x,y)，對(duì)該圖像的預(yù)處理如下表示：

f1(x,y)=(f0(x,y)+g1(x,y)·x+g2(x,y)·y)modL

(13)

(14)

對(duì)經(jīng)過(guò)預(yù)處理后的類隨機(jī)圖像進(jìn)行小波變換得到小波域子圖f2(x,y)，包含四個(gè)子圖。將這四個(gè)子圖使用混沌變換進(jìn)行置亂處理獲得f3(x,y),同樣由四個(gè)子圖組成。

(15)

最后對(duì)f3(x,y)進(jìn)行小波逆變換就可以得到加密后的圖像ψxy(t)，如圖4所示為圖像經(jīng)過(guò)置亂加密后的圖像，可以看出加密后圖像是雜亂無(wú)序丟失了大量有效信息的。

圖4 圖像加密過(guò)程圖

圖像的解密過(guò)程是圖像加密過(guò)程的逆過(guò)程。第一步根據(jù)秘鑰產(chǎn)生逆置亂序列與解密用的模板，隨后對(duì)加密后的圖像進(jìn)行行列逆置亂。

由于混沌映射的控制參數(shù)在每個(gè)步驟中都是混沌變化的結(jié)果，因此該算法對(duì)于明文和密鑰的敏感度很高，因此，平面圖像或鍵的非常小的變化將導(dǎo)致 完全不同的密碼圖像。 由于解密和加密過(guò)程都具有相似的結(jié)構(gòu)，它們基本上具有相同的算法復(fù)雜度和時(shí)間消耗。

圖像直方圖說(shuō)明了如何通過(guò)繪制每個(gè)顏色強(qiáng)度級(jí)別的像素?cái)?shù)來(lái)分配圖像中的像素。通過(guò)采用(512×512)尺寸的MASHHAD圖像作為明文，明文和對(duì)應(yīng)密文的直方圖如圖5所示。 我們可以看到原始圖像的直方圖，因此它不提供對(duì)加密圖像采用任何統(tǒng)計(jì)分析攻擊的任何線索。

圖5 圖像RGB的秘鑰效果圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了可以客觀評(píng)價(jià)解密后圖像的恢復(fù)質(zhì)量，采用峰值信噪比(PSNR)對(duì)其進(jìn)行客觀量化。對(duì)于一幅大小為M×N，灰度級(jí)為0-255的灰度圖像f(x,y)，其峰值信噪比的定義如下表示：

(16)

實(shí)驗(yàn)采用的圖像為大小為256*256的girl圖片，圖像的灰度級(jí)為256，對(duì)其進(jìn)行加解密操作。

圖像經(jīng)過(guò)小波變換后形成的四幅子圖，以及最后經(jīng)過(guò)加密后得到的加密圖像。圖像的預(yù)處理過(guò)程使用了一層小波變換，分解得到了四幅子圖，分別為圖像近似，圖像的低頻水平分量，圖像的低頻垂直分量和圖像的高頻分量，隨后對(duì)這四幅子圖采用混沌置亂進(jìn)行置亂操作進(jìn)行圖像加密，得到最后的加密圖像。由最后的加密結(jié)果可知，加密后的圖像充滿噪聲，難以從中獲得原始的有效信息，可見(jiàn)該方法很好的實(shí)現(xiàn)了圖像加密的目的。

隨后對(duì)加密后的圖像進(jìn)行解密操作恢復(fù)出原始圖像信息，解密結(jié)果如圖6所示。

圖6 解密圖像結(jié)果圖

如圖6所示展示了各個(gè)恢復(fù)圖像的效果。原始圖像小波變換后直接通過(guò)小波逆變換得到的恢復(fù)圖像，可見(jiàn)小波變換以及逆變換可以很好的恢復(fù)出目標(biāo)圖像。原始圖像經(jīng)過(guò)小波變換預(yù)處理后再經(jīng)過(guò)混沌置亂的圖像，不經(jīng)過(guò)混沌解密直接通過(guò)小波逆變換進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)，其恢復(fù)圖像質(zhì)量相當(dāng)差，大量有效信息被破壞，不能很好的恢復(fù)出圖像的有效信息。經(jīng)過(guò)混沌解密后的圖像再進(jìn)行小波逆變換得到的恢復(fù)圖像，其恢復(fù)效果相當(dāng)出眾。

為了進(jìn)一步展示出圖像的加解密效果，給出了圖像再加密與解密階段以及原始圖像的直方圖以進(jìn)一步對(duì)比分析其加解密效果。其直方圖如圖7所示。

圖7 加解密圖像直方圖對(duì)比結(jié)果

由圖可以看出，原始圖像經(jīng)過(guò)所提算法加密后得到的加密圖像的直方圖與原始圖像直方圖之間存在著非常大差異，這表示通過(guò)加密后的圖像很難獲取到原始圖像的相關(guān)信息。而在另一方面，從解密后的直方圖可以看出其與原始圖像的直方圖具有非常高的相似性，同時(shí)通過(guò)計(jì)算其峰值信噪比得到其PSNR=305 dB，這表示其與原始圖像的一致性相當(dāng)高，證明了該算法可以很好的恢復(fù)出加密圖像。

5 結(jié)論

本文將小波變換與混沌理論相結(jié)合應(yīng)用于圖像加密傳輸方案，提出了一種基于小波變換聯(lián)合混沌理論的圖像加密算法。通過(guò)對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行加解密操作驗(yàn)證了基于小波變換聯(lián)合混沌理論的圖像加密算法的可行性，獲得了更高的圖像質(zhì)量，并且通過(guò)進(jìn)一步的理論分析證實(shí)了所提算法在安全性方面所具有的優(yōu)勢(shì)。圖像加解密實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用小波變換與混沌理論相結(jié)合的加密算法可以有效對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行加解密操作，達(dá)到圖像加密傳輸?shù)哪康摹６矣捎谛〔ㄗ儞Q的空頻特性，這一算法明顯改善了解密后圖像的信噪比。進(jìn)一步對(duì)所提算法進(jìn)行理論分析可知，所提算法在安全性方面非常可靠，秘鑰空間達(dá)到了1084，非法用戶采用窮舉的暴力破解方法是很難獲取有效信息的。因此，基于小波變換聯(lián)合混沌理論的圖像加密可以有效加解密圖像并提高解密圖像質(zhì)量，同時(shí)獲得較高的安全性，這有利于混沌理論在圖像加密領(lǐng)域中的進(jìn)一步應(yīng)用。

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