，， ，

(1.解放軍裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，北京 101416；2.解放軍裝備學(xué)院 航天裝備系，北京 101416；3.解放軍裝備學(xué)院 航天指揮系，北京 101416)

0 引言

大氣層外機(jī)動(dòng)變軌是一種比較成熟的彈道導(dǎo)彈突防手段[1]，當(dāng)攔截器對(duì)彈道導(dǎo)彈采用迎面撞擊的方式進(jìn)行防御時(shí)，兩者之間的相對(duì)速度非常大, 末制導(dǎo)時(shí)間極短[2]，通常只有不到10 s的時(shí)間，不利于攔截器修正偏差和精確命中目標(biāo)。在這樣的情況下，采用順軌攔截方式不失為一種明智的做法，順軌攔截方式能夠有效降低攔截器與目標(biāo)之間的相對(duì)速度，延長(zhǎng)攔截器的末制導(dǎo)時(shí)間，提高攔截器修正偏差的能力。2005 年7 月，美國(guó)NASA采用順軌攔截方式成功實(shí)施了深度撞擊計(jì)劃[3]，印證了這一方法的有效性和可行性。

文獻(xiàn)[4]對(duì)比分析了順軌和逆軌攔截方式，證明了順軌方式在修正能力和需用過載等方面具有優(yōu)勢(shì)，但制導(dǎo)過程采用了較為保守的平行接近法；文獻(xiàn)[5]把攔截過程簡(jiǎn)化成兩個(gè)正交的平面，設(shè)計(jì)了平面攔截的前向制導(dǎo)律，但沒有擴(kuò)展至三維空間，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種用于對(duì)彈道導(dǎo)彈實(shí)施中段順軌攔截的二階滑膜制導(dǎo)律，通過仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的正確定，但在制導(dǎo)律引入了目前階段攔截器導(dǎo)引頭無法測(cè)量的目標(biāo)加速度信息。此外，以上研究的仿真過程均建立在初始對(duì)準(zhǔn)條件較好的情況下，沒有考慮工程上攔截器所能達(dá)到的真實(shí)速度，導(dǎo)引頭的測(cè)量誤差以及動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)延遲和飽和過載等因素。

本文嚴(yán)格依照美國(guó)“標(biāo)準(zhǔn)-3”攔截彈的公開參數(shù)，采用所需目標(biāo)信息較少的自適應(yīng)滑膜制導(dǎo)律，對(duì)大氣層機(jī)動(dòng)目標(biāo)的順軌攔截過程進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了動(dòng)能攔截器順軌攔截方法的可實(shí)踐性，對(duì)大氣層外機(jī)動(dòng)目標(biāo)的防御具有積極意義。

1 順軌攔截的定義

記攔截器在地心慣性坐標(biāo)系下的速度矢量為Vm，目標(biāo)在地心慣性坐標(biāo)系下的速度矢量為Vt，則交會(huì)角Ψ可以表示為：

當(dāng)90°≤Ψ≤180°時(shí)，交會(huì)方式稱為順軌攔截。

根據(jù)攔截器與目標(biāo)的速度大小，順軌攔截又可以定義為追擊順軌攔截和前置順軌攔截，其中，追擊順軌攔截泛指攔截器速度大于目標(biāo)速度的情況，前置順軌攔截泛指攔截器速度小于目標(biāo)速度的情況，圖1為二者的交會(huì)示意圖。

圖1 順軌攔截示意圖

攔截器進(jìn)行追擊順軌攔截時(shí)，從目標(biāo)的后半球區(qū)域進(jìn)行碰撞，進(jìn)行前置順軌攔截時(shí)，從目標(biāo)的前半球區(qū)域進(jìn)行碰撞，一般而言，大氣層外攔截器的助推時(shí)間較短，速度在3～4 km/s之間，無法達(dá)到洲際彈道導(dǎo)彈的水平，因而，對(duì)前置順軌攔截的研究更加具有現(xiàn)實(shí)意義。

2 順軌攔截的數(shù)學(xué)模型

2.1 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型

本文采用球坐標(biāo)描述雙方的位置矢量和速度矢量，其中，位置矢量通過地心距r，地理經(jīng)度λ(東經(jīng)為正)和地理緯度φ(北緯為正)來表示，速度矢量通過速度大小v，當(dāng)?shù)厮俣葍A角θ(速度矢量與地球表面的夾角，地球表面向上為正)和當(dāng)?shù)厮俣绕铅?速度矢量在地球表面上的投影與正北方向的夾角，順時(shí)針為正)來描述，6個(gè)參數(shù)的空間關(guān)系如圖2所示。

圖2 模型參數(shù)空間示意圖

為簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略次要因素，可以認(rèn)為地球是均勻的無旋球體，得到導(dǎo)彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)模型為：

式中：r為地心距、λ為地理經(jīng)度，φ為地理緯度，v為速度大小、θ為當(dāng)?shù)厮俣葍A角，σ為當(dāng)?shù)厮俣绕?；g為平均重力加速度，F(xiàn)cxh、Fcyh和Fczh為控制力在航跡坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影大小。

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

由六參數(shù)模型可以唯一確定攔截彈在地心慣性坐系下的位置矢量Rm(t)與速度矢量Vm(t)：

式中,

為地心慣性坐標(biāo)系到北天東坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

同理，易知目標(biāo)在地心慣性系下的位置矢量Rt(t)和速度矢量Vt(t)。

式中，e1(t)、e2(t)和e3(t)為視線坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位向量，即：

2.3 制導(dǎo)控制模型

側(cè)向指令采用自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律[7](ASMG)，攔截器側(cè)向指令過載應(yīng)為：

式中：aMy(t)、aMz(t)分別表示攔截器縱向和橫向上的指令過載，N為導(dǎo)航比，k、η和δ為用來保證魯棒性的參數(shù)。

攔截器所受到的軌控力矢量可以表示為：

Fc(t)=(aMy(t)·e2(t)+aMz(t)·e3(t))·mK(t)

為了將控制力矢量與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型對(duì)應(yīng)起來，對(duì)其做如下轉(zhuǎn)化：

Fcxh(t)=Fc(t)·ε1(t)

Fcyh(t)=Fc(t)·ε2(t)

Fczh(t)=Fc(t)·ε3(t)

式中，ε1(t)、ε2(t)和ε3(t)為航跡坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，即：

那么，F(xiàn)cxh(t)、Fcyh(t)和Fczh(t)即控制力矢量在航跡坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。

2.4 質(zhì)量模型

對(duì)于處于中段飛行的機(jī)動(dòng)彈頭，其質(zhì)量mt(t)可以表示為：

其中：Pt(t)為機(jī)動(dòng)力矢量，m0t為機(jī)動(dòng)彈頭的初始質(zhì)量，It為機(jī)動(dòng)彈頭的燃料比沖，t0為初始時(shí)刻。當(dāng)機(jī)動(dòng)彈頭不做機(jī)動(dòng)時(shí)，其質(zhì)量可以看作是不變的。

對(duì)于攔截彈，其質(zhì)量mm(t)可以表示為：

mm(t)=∑mzi(t)+mk(t)

mzi(t)表示第i級(jí)助推火箭的質(zhì)量：

其中：Pzi(t)為的推力矢量，m0zi為第i級(jí)助推火箭的初始質(zhì)量，Izi為第i級(jí)助推火箭的燃料比沖，ti為第i級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作的時(shí)刻。

mk(t)表示攔截器的質(zhì)量：

其中：Fc(t)為攔截器的控制力矢量，m0k為攔截器的初始質(zhì)量；Ik為攔截器的燃料比沖；tk為攔截器開始工作的時(shí)刻。

3 計(jì)算機(jī)輔助仿真分析

3.1 攔截場(chǎng)景設(shè)定

設(shè)預(yù)警系統(tǒng)探測(cè)到173°E，46°N處有一洲際導(dǎo)彈目標(biāo)，初始地表高度為1 000 km，速度為6 000 m/s，彈道傾角為30°，彈道偏角為-90°，攔截彈陣地位于128°E，40°N處，采用順軌攔截方式對(duì)目標(biāo)進(jìn)行防御。

攔截彈的助推火箭參數(shù)參照“標(biāo)準(zhǔn)-3”的MK72發(fā)動(dòng)機(jī)、MK104發(fā)動(dòng)機(jī)和MK136發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)定[8]，如表1所示。

表1 助推火箭參數(shù)表

表中，Δti=ti+1-ti表示第i級(jí)助推火箭的總工作時(shí)長(zhǎng)。

攔截器參數(shù)參照“標(biāo)準(zhǔn)-3”的“LEAP”大氣層外輕射彈設(shè)定[9]，如表2所示。

表2 攔截器參數(shù)表

表中，dmax和dmin分別表示攔截器導(dǎo)引頭的最大探測(cè)距離和盲區(qū)，amax代表攔截器的飽和過載。

3.2 順軌攔截窗口計(jì)算

彈道導(dǎo)彈已摧毀既定目標(biāo)為最終目的，在沒有遇到攔截的情況下不會(huì)主動(dòng)進(jìn)行機(jī)動(dòng)，可以通過軌道外推的方法來求解發(fā)射諸元，對(duì)于順軌攔截彈道，只要使攔截器與目標(biāo)的交會(huì)角Ψ滿足條件即可。

在攔截彈陣地位置已知的情況下，可以按照以下流程來計(jì)算攔截窗口：

STEP1：取足夠小的初始當(dāng)?shù)貎A角Δθ，初始當(dāng)?shù)仄铅う蘸蜁r(shí)間間隔Δt，建立基于已知部署位置的攔截彈空間可達(dá)集Λ；

STEP2：用同樣的時(shí)間間隔Δt，外推目標(biāo)彈道τ；

STEP3：記初始時(shí)刻tp= 0 s，取空間點(diǎn)τ(tp)，判定攔截彈可達(dá)集中是否存在一點(diǎn)Λ(θ0,φ0,tf)同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：

1)到τ(tp)的距離dp<1 000 m；

2)攔截彈飛行時(shí)間tf≤tp；

3)交會(huì)角90°≤Ψ≤180°。

STEP4：若可達(dá)集中存在滿足條件的點(diǎn)，計(jì)算攔截彈發(fā)射時(shí)間tl=tp-tf并儲(chǔ)存，令tp=tp+Δt，回到STEP3，若不存在，直接令tp=tp+Δt，回到STEP3；

STEP5：檢索至目標(biāo)落地時(shí)刻結(jié)束。

計(jì)算當(dāng)前場(chǎng)景的順軌攔截窗口，如表3所示。

表3 攔截彈道數(shù)據(jù)表

由表3可以看出，在當(dāng)前場(chǎng)景中，順軌攔截窗口長(zhǎng)度為96 s，目標(biāo)彈道可攔截弧段的高度在260 km到452 km之間，相對(duì)交會(huì)速度約為5.5 km/s。另外，由于采用順軌攔截方式時(shí)，攔截彈的飛行時(shí)間隨著攔截時(shí)間的推移而增加，發(fā)射時(shí)間反而會(huì)提前，換而言之，攔截窗口的前沿對(duì)應(yīng)著發(fā)射窗口的后沿，攔截窗口的后沿對(duì)應(yīng)著發(fā)射窗口的前沿。

3.3 尋的制導(dǎo)過程仿真分析

選取攔截窗口中的一條順軌攔截彈道，研究末制導(dǎo)階段的攔截器過載情況，所選攔截彈道tl=506.89 s，θ0=73.78°，φ0=-149.17°，雙方的空間飛行軌跡如圖3所示：

圖3 順軌攔截空間示意圖

3.3.1 初始對(duì)準(zhǔn)誤差

由于實(shí)際控制誤差的存在，雙方不可能嚴(yán)格按照理論彈道飛行，當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入攔截器的導(dǎo)引頭捕獲距離時(shí)，雙方的空間位置和飛行速度有可能嚴(yán)重偏離理論位置，故取目標(biāo)和攔截器距離達(dá)到dmax時(shí)的位置矢量端點(diǎn)和速度矢量端點(diǎn)作為球心，分別在半徑為1 000 m和100 m/s的空間球體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)生成帶有誤差的位置矢量和速度矢量，作為末制導(dǎo)的仿真初值。

3.3.2 視線測(cè)量誤差

3.3.3 動(dòng)力學(xué)約束條件

“標(biāo)準(zhǔn)-3”的攔截器“LEAP”彈頭采用噴流直接力控制，響應(yīng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于氣動(dòng)力系統(tǒng)，控制精度可以達(dá)到0.01 s，仿真中采用兩個(gè)采樣周期作為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的延遲時(shí)間，為0.02 s[11-12]，此外，當(dāng)目標(biāo)與攔截器只見的距離達(dá)到dmin時(shí)，導(dǎo)引頭無法繼續(xù)提供視線轉(zhuǎn)率信息，將攔截器的指令加速度置零。

3.3.4 末制導(dǎo)過載分析

令目標(biāo)的縱向機(jī)動(dòng)力Ptyh=10 000sin(πt/2)N，橫向機(jī)動(dòng)力Ptzh=10 000cos(πt/2)N，取制導(dǎo)參數(shù)N=3、k=2.1、η=0.5、δ=0.0 002 deg/s，得到視線轉(zhuǎn)率和攔截器過載的仿真圖線，如圖4和圖5所示。

圖4 視線轉(zhuǎn)率的仿真曲線

圖5 過載的仿真曲線

可以看出，由于初始對(duì)準(zhǔn)誤差的存在，攔截器與目標(biāo)之間存在較大的視線轉(zhuǎn)動(dòng)，造成零時(shí)刻指令過載較大，橫向過載甚至接近飽和，隨著攔截器與目標(biāo)的不斷接近，初始對(duì)準(zhǔn)誤差因此的視線轉(zhuǎn)動(dòng)逐漸被修正，目標(biāo)的主動(dòng)機(jī)動(dòng)成為了造成視線轉(zhuǎn)動(dòng)的主導(dǎo)因素，過載指令也隨之呈正弦型波動(dòng)。

整個(gè)末制導(dǎo)過程中，縱向視線轉(zhuǎn)率被控制在±2×10-3rad/s之間，橫向視線轉(zhuǎn)率被控制在±1×10-3rad/s，雖然在最后受到目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響較大，但指令過載并未達(dá)到飽和。

3.3.5 命中率和剩余質(zhì)量估計(jì)

采用蒙特卡洛方法[13]測(cè)試“標(biāo)準(zhǔn)-3”攔截彈在當(dāng)前場(chǎng)景的攔截效果，重復(fù)打靶試驗(yàn)100次，按照下式計(jì)算攔截器指令過載置零后的脫靶量：

可以得到零控脫靶量和攔截器剩余質(zhì)量的分布如圖6所示。

圖6 蒙特卡洛打靶實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)脫靶量為5 m以下時(shí)，認(rèn)為攔截器命中目標(biāo)，讀取結(jié)果數(shù)據(jù)，可知“標(biāo)準(zhǔn)-3”攔截彈在場(chǎng)景中的命中率為89%，平均剩余質(zhì)量為14.03 kg。

4 結(jié)論

本文基于美國(guó)的“標(biāo)準(zhǔn)-3”攔截彈的性能參數(shù)建立了數(shù)學(xué)模型，采用自適應(yīng)滑膜制導(dǎo)律對(duì)大氣層外機(jī)動(dòng)目標(biāo)的順軌攔截過程進(jìn)行了仿真研究，得到了以下結(jié)論：

1)采用“標(biāo)準(zhǔn)-3”攔截彈對(duì)大氣層外機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行順軌攔截在時(shí)間和空間上是可行的，順軌攔截方法具有較高的工程實(shí)踐意義。

2)在考慮初始對(duì)準(zhǔn)誤差，視線測(cè)量誤差，過載約束和動(dòng)力學(xué)延遲的情況下，順軌攔截方法對(duì)正弦機(jī)動(dòng)的目標(biāo)具有較好的防御效果，命中率約為89%。

3)仿真實(shí)例中攔截器的燃料消耗約為2.7 kg，指令過載在大部分時(shí)段內(nèi)高于25 m/s2，考慮到安全裕度，若想對(duì)大范圍強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行有效攔截，需要對(duì)現(xiàn)有攔截器的裝藥比和發(fā)

動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)。

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