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        行列式擴階的初步研究

        2018-02-03 10:50:57馮玉明陳賈
        數(shù)學學習與研究 2018年1期

        馮玉明+陳賈

        【摘要】對一個行列式的擴階指的是:在已知行列式中,添加適當?shù)男泻土?,得到新的行列式,使得該行列式的值與已知行列式的值相等.本文利用行列式的基本性質(zhì),對行列式擴階進行了初步研究,得到了一些有意思的結(jié)果.

        【關鍵詞】矩陣;行列式;擴階

        一、預備知識

        通過文獻[1]我們知道行列式的基本算法和表示方法.現(xiàn)在我們看一看如何表示和計算一個矩陣的行列式.

        n階矩陣A的行列式,記做

        D=|A|=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann.

        矩陣A的行列式也可以定義為

        D=|A|=∑i1i2…in(-1)t(i1i2…in)ai11ai22…ainn,

        其中i1i2…in為n個自然數(shù)1,2,…,n的一個排列,t(i1i2…in)為i1i2…in排列的逆序數(shù).

        對于n各不同的元素,先規(guī)定各元素間有一個標準次序,在這n個元素的任意排列中,當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時,就說有一個逆序.一個排列i1i2…in中所有逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序,記做t(i1i2…in).

        n階行列式中,把元素aij所在的第i行及第j列劃去后,留下的(n-1)2個元素按照原來的排法構成的n-1階行列式稱為元素aij的余子式,記Mij.

        Mij冠以符號(-1)i+j得Aij=(-1)i+jMij,Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.

        定義1.1[1] 設A=(aij)是n階矩陣,D=|A|,那么

        (1)D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

        (2)D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj.(j=1,2,…,n)

        二、主要結(jié)論

        定理2.1 在n階行列式中每個相鄰元素間插入0,其他空余位置插入1,行列式結(jié)果不變.

        證明 經(jīng)計算可以知道

        a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann

        =∑i1i2…in(-1)t(i1i2…in)ai11ai22…ainn,

        a110a120…0a1n0101…10a210a220…0a2n01001000101…10an10an20…0ann

        =∑i1i2…in(-1)t(i1i2…in)ai11ai22…ainn.

        因此,定理結(jié)論正確.

        【參考文獻】

        [1]張志讓,劉啟寬.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2008.endprint

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