楊發(fā)

【摘要】本文分析了多元函數(shù)在不同的教材以及參考書中所表現(xiàn)出的不同方向?qū)?shù)定義形式，同時(shí)對(duì)不同方向?qū)?shù)描述的方式、定義以及相互之間的關(guān)系進(jìn)行了分析與闡述，最后通過大量資料文獻(xiàn)查閱，對(duì)多元微積分中的方向?qū)?shù)間不同的定義進(jìn)行了深入探討.旨在幫助其他人更好地、更全面地認(rèn)識(shí)多元微積分中不同的方向?qū)?shù)定義.

【關(guān)鍵詞】多元微積分；方向?qū)?shù)；不同定義

一、研究背景

在日常生活、學(xué)習(xí)與工作中均會(huì)涉及一定的方向?qū)?shù)方法研究、應(yīng)用理論等.但因?yàn)楦鞯貐^(qū)使用的方向?qū)?shù)教材、參考書等不同，且這些教材、參考書對(duì)于方向?qū)?shù)有著不同的描述方式與定義形式，因而，學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)中很難快速、有效地將方向?qū)?shù)掌握到位.基于此，我們從課程教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，需針對(duì)教材、參考書關(guān)于方向?qū)?shù)不同的描述與定義形式，選擇不同的角度進(jìn)行分析，此外還應(yīng)不斷強(qiáng)化教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)同現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際間的聯(lián)系，只有滿足生活實(shí)際需求，才能夠讓學(xué)生更準(zhǔn)確、更積極地去學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)與理論，也只有這樣才能夠引導(dǎo)他們更主動(dòng)、更深入地去探討相關(guān)問題，樹立起學(xué)習(xí)自信心.

在探討多元微積分中方向?qū)?shù)的不同定義之前，學(xué)生應(yīng)對(duì)于多元微積分的相關(guān)含義、理論等有一定了解.諸如，單就一元函數(shù)而言，只要掌握了基本的Newton-Leibniz公式，便意味著已經(jīng)掌握了全部的微積分概念.這是因?yàn)樵谶@一公式中除了包含基本的微分、積分關(guān)系以外，還蘊(yùn)藏著人們對(duì)這一公式基本的微積分定理.而從多元函數(shù)的角度出發(fā)，在多元函數(shù)中同樣包含積分、微分等概念，學(xué)生只需要對(duì)這些概念有一個(gè)基本了解，便能夠聯(lián)系起其他有關(guān)聯(lián)的公式.我們通過分析Newton-Leibniz這一公式便能夠發(fā)現(xiàn)一些問題，如在Newton-Leibniz公式應(yīng)用過程中，函數(shù)區(qū)間的便捷值實(shí)質(zhì)上等同函數(shù)微分在同一區(qū)間內(nèi)部上的積分.隨后遵循這一分析原理便能夠得出，在同一個(gè)平面上微積分基本的定理遵循著Green公式，并且從空間情形出發(fā)，遵循這一公式就顯得非常有必要，即在曲面之上，微積分基本的定理應(yīng)當(dāng)是Stckes公式，通過實(shí)踐驗(yàn)證也是如此，因而，在具體研究方向?qū)?shù)不同定義以前，必須對(duì)相關(guān)的多元微積分函數(shù)有一定了解.

二、分析不同定義

（一）定義一

設(shè)二元函數(shù)為f（x，y），在點(diǎn)（x0，y0）某領(lǐng)域內(nèi)有專門定義，單位向量u=（a，b），此時(shí)定義方向?qū)?shù)則為以下公式：

fu（x0，y0）=limρ→0f（x0+ρa(bǔ)，y0+ρb）-f（x0，y0）ρ.

從上述公式定義中我們可以看出，此定義很容易推廣并得到n元函數(shù)（n≥3）的方向?qū)?shù)定義.

（二）定義二

設(shè)二元函數(shù)為f（x，y），其在點(diǎn)（x0，y0）某鄰域內(nèi)有專門定義，即當(dāng)向量u對(duì)應(yīng)的是單位向量u={cosα，cosβ}，且α與β均是向量u的方向角.此時(shí)，定義函數(shù)f（x，y）是在點(diǎn)（x0，y0）沿著方向u，則得到的方向?qū)?shù)為以下公式：

Duf（x0，y0）=limρ→0f（x0+ρcosα，y0+ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.

在這一公式中ρ可以是正也可以是負(fù).當(dāng)ρ>0時(shí)，即表示的是自變量從（x0，y0）方向沿著u方向移動(dòng)的實(shí)際距離；當(dāng)ρ<0時(shí)，即表示的是自變量沿著u的反方向移動(dòng)的實(shí)際距離.

（三）定義三

同上述定義二的前提條件一樣，所獲得的定義方向?qū)?shù)為以下公式：

fu（x0，y0）=limρ→0+f（x0+ρcosα，y0+ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.

從上述公式中可以看出，ρ所表示的是自變量沿著（x0，y0）方向向u方向移動(dòng)的實(shí)際距離.

三、不同定義間的對(duì)比

本文研究與探討多元微積分中方向?qū)?shù)最根本的目的在于從不同的角度分析與掌握多元函數(shù)變化的方向與變化率，即了解在不同變化因素下度量事物呈現(xiàn)出怎樣一個(gè)發(fā)展趨勢(shì).通常情況下，單對(duì)二元函數(shù)來講，若其所代表的曲面是簡(jiǎn)單的平滑曲面，那么通過對(duì)以上三個(gè)定義的利用便能夠?qū)⑾鄳?yīng)的函數(shù)公式以及其是按照怎樣的方向進(jìn)行變化的信息獲取到.

從上文中提到的三個(gè)定義式中我們可以看出，無論是哪一個(gè)定義式的極限值均反映的是某一個(gè)函數(shù)是如何沿著u方向進(jìn)行變化的及其相關(guān)變化率.雖然從數(shù)學(xué)理論的角度出發(fā)探討定義一和定義二可以看出它們?cè)谛问缴虾苋菀妆隳軌蛲珜?dǎo)數(shù)定義間結(jié)合起來進(jìn)行應(yīng)用.而這一結(jié)合應(yīng)用又可以看成是一種偏導(dǎo)數(shù)定義的推廣形式，在此中偏導(dǎo)數(shù)更多的是沿著函數(shù)兩個(gè)特定的方向移動(dòng)并獲得方向?qū)?shù).然后，結(jié)合生活實(shí)際我們又會(huì)發(fā)現(xiàn)此中存在一些問題，如，當(dāng)我們需要沿著某一個(gè)過渡不平整的地勢(shì)方向或者存在斷崖的地勢(shì)進(jìn)行研究與分析時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)定義一和定義二在應(yīng)用過程中還存在一些問題是無法將這一生活實(shí)際問題妥善解決的，進(jìn)而便需要應(yīng)用到定義三，這是因?yàn)槎x三從實(shí)際出發(fā)能夠更好地解釋上述問題.

∫（x，y）=x2+y2.（1）

當(dāng)我們需要對(duì)表示上錐面二元函數(shù)進(jìn)行探討時(shí)，首先應(yīng)探討的是原點(diǎn)（0，0）是沿著怎樣不同的方向進(jìn)行變化及變化率.通過對(duì)定義一、定義二的利用我們能夠發(fā)現(xiàn)二元函數(shù)f（x，y）無論是沿著怎樣的方向，其中涉及的方向?qū)?shù)均不存在.然而，我們又圍繞實(shí)際生活出發(fā)對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行探討可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所面對(duì)的是一個(gè)連續(xù)曲面時(shí)，所得到的結(jié)論明顯是錯(cuò)誤的.但若按照定義三進(jìn)行分析，那么問題便能夠得到妥善處理.這是因?yàn)樵谠c(diǎn)（0，0）位置上，二元函數(shù)f（x，y）無論是沿著怎樣的方向進(jìn)行變化，其最終都可以得到準(zhǔn)確的函數(shù)變化率，且得到的變化率均等于1.

但需要注意的是這一定義并不能夠同偏導(dǎo)數(shù)的定義有效銜接到一起，這便是定義三主要的缺陷所在，但是其和偏導(dǎo)數(shù)都是沿著坐標(biāo)軸的正方向位置進(jìn)行變化的，且所得到的變化率與偏導(dǎo)數(shù)是一樣的.顯然這一結(jié)論對(duì)于解決生活實(shí)際中的問題意義重大.正因如此，在多元微積分教學(xué)中應(yīng)當(dāng)圍繞生活實(shí)際開展教學(xué)活動(dòng)，教學(xué)的重點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)圍繞實(shí)際問題進(jìn)行.而通過對(duì)上述三個(gè)定義的觀察與分析，最適合應(yīng)用于解決生活實(shí)際問題的便是定義三，這是因?yàn)槠涓N近學(xué)生生活實(shí)際，更契合學(xué)生基本的社會(huì)認(rèn)知能力.endprint

四、注意事項(xiàng)

針對(duì)不同教材及參考書中針對(duì)多元微積分方向?qū)?shù)所給出的定義不同，我們針對(duì)不同定義對(duì)方向?qū)?shù)在計(jì)算條件充分的情況下，如何快速進(jìn)行計(jì)算以及相關(guān)的計(jì)算方式進(jìn)行了分析與探討.本文將要以二元函數(shù)為案例進(jìn)行分析，若函數(shù)f（x，y）是在（x，y）所處的位置上，那么函數(shù)在（x，y）這一點(diǎn)上是朝著u的任意方向進(jìn)行移動(dòng)，并獲得相關(guān)方向?qū)?shù)的，正如以下公式：

fu（x，y）=fx′（x，y）cosα+fy′（x，y）cosβ.（2）

在以上公式中可以看出cosα與cosβ是向量u方向的余弦.但這一環(huán)節(jié)需要引起重視的便是：在應(yīng)用以上公式進(jìn)行函數(shù)方向?qū)?shù)計(jì)算時(shí)，其前提條件便是函數(shù)可微.但是，從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，即便函數(shù)不是可微的，甚至其中涉及的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在，均不會(huì)影響到函數(shù)方向?qū)?shù)，即函數(shù)方向?qū)?shù)都有可能存在，而針對(duì)這一情況想要計(jì)算出函數(shù)方向?qū)?shù)，則需要利用專門的定義式來計(jì)算和分析.如，當(dāng)二元函數(shù)（1）在原點(diǎn)（0，0）的位置上不可微，那么兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)顯然是不存在的，而此時(shí)應(yīng)當(dāng)按照定義三對(duì)這一函數(shù)有關(guān)的原點(diǎn)位置是否是朝著任意方向進(jìn)行移動(dòng)的進(jìn)行驗(yàn)證，即相關(guān)的方向?qū)?shù)全部存在，且都為1.但是，函數(shù)只要是沿著某一個(gè)方向移動(dòng)，且方向?qū)?shù)不存在，這便意味著函數(shù)不可微.一旦出現(xiàn)函數(shù)不可微的情況，在方向?qū)?shù)計(jì)算時(shí)便需要使用到（2）這一公式進(jìn)行計(jì)算，并且其所獲得的函數(shù)如下：

f（x，y）=ρsinθ，（x，y）∈D1，

1，（x，y）∈D1，

0，（x，y）∈D2.

從上式中可以看出，D1所代表的是心形線ρ=1-cosθ內(nèi)部，D2所代表的是心形線ρ=1-cosθ外部，并且最終獲得結(jié)果并不在x軸之上，D3所代表的是x軸，此中ρ所表示的是（x，y）點(diǎn)到原點(diǎn)間的距離.這一函數(shù)是從沿著原點(diǎn)位置的任意方向移動(dòng)的，且u0=（cosα，cosβ）點(diǎn)位上的偏導(dǎo)數(shù)以及方向?qū)?shù)均是存在的，此外當(dāng)α=θ，β=π2-θ時(shí)，所得到的公式如下：

fx′（0，0）cosα+fy′cosβ=0·cosθ+1·sinθ=sinθ.

然而，這一函數(shù)在原點(diǎn)的位置不可微.當(dāng)函數(shù)是朝著某一點(diǎn)位置向任意方向移動(dòng)，且方向?qū)?shù)均存在，那么函數(shù)在這一點(diǎn)位上能否連續(xù)進(jìn)行，一時(shí)間難以確定，正如以下函數(shù)：

f（x，y）=y3x，x≠0，0，x=0.

針對(duì)原點(diǎn)（0，0）的位置應(yīng)當(dāng)是沿著任意方向移動(dòng)，且方向?qū)?shù)均存在，但是我們通過截取兩條不同的路徑進(jìn)行分析，如，當(dāng)x=y3，y=0時(shí)，便可以判定出當(dāng)這一函數(shù)f（x，y）移動(dòng)到（0，0）的位置時(shí)，不存在極限，由此可見這一函數(shù)所處的原點(diǎn)并不連續(xù).此外，即便函數(shù)是連續(xù)且沿著任意方向移動(dòng)，但最終得到的方向?qū)?shù)也不一定存在，如以下函數(shù)：

f（x，y）=（x+y）sin1（x2+y2），（x，y）≠（0，0），0，（x，y）≠（0，0），

如果函數(shù)在原點(diǎn)（0，0）的位置上保持連續(xù)，但在原點(diǎn)位置上除了y=-x以外，其沿著任何一個(gè)方向移動(dòng)，方向?qū)?shù)均不存在.

即便是偏導(dǎo)數(shù)存在也只能夠大體獲悉函數(shù)是沿著坐標(biāo)軸的方向在移動(dòng)，如，正方向涉及的方向?qū)?shù)實(shí)質(zhì)上所對(duì)應(yīng)的是偏導(dǎo)數(shù)，負(fù)方向則對(duì)應(yīng)的是偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)，此時(shí)存在方向?qū)?shù)，但也僅能夠得到這些條件，并不能夠?qū)⑵渌姆较驅(qū)?shù)推導(dǎo)出來，如以下函數(shù)：

f（x，y）=xy（x2+y2）2，（x，y）≠（0，0），0，（x，y）=（0，0）.

除了存在基本的坐標(biāo)軸方向及其方向?qū)?shù)以外，沿著其他方向移動(dòng)的過程中便不存在任何一個(gè)方向?qū)?shù).由此可知，函數(shù)在某一點(diǎn)位置上的兩個(gè)方向?qū)?shù)均是存在的，這便無法使用到公式（2）將其他方向移動(dòng)的方向?qū)?shù)計(jì)算出來.另外，還應(yīng)當(dāng)明白全微分與方向?qū)?shù)間的關(guān)系，從我們了解到的高等數(shù)學(xué)教材（同濟(jì)版）中可以看出，當(dāng)函數(shù)z=f（x，y）時(shí)，其在（x，y）點(diǎn)上可微，此時(shí)當(dāng)函數(shù)是沿著任意一個(gè)方向移動(dòng)時(shí)，存在方向?qū)?shù)，反之亦反.本文結(jié)合二元函數(shù)在（x，y）點(diǎn)上的任意一個(gè)方向前行所獲得的方向?qū)?shù)均存在，但這并不意味著能夠確保函數(shù)在這一點(diǎn)上的全微分是存在的.針對(duì)這一情況，只要教師在課堂上簡(jiǎn)單講述一下，學(xué)生便能夠快速理解到.

五、總 結(jié)

綜上所示，首先，本文結(jié)合生活學(xué)習(xí)實(shí)踐，針對(duì)不同多元微積分教材與參考書中所給出的方向?qū)?shù)不同的定義進(jìn)行了研究，從三種定義出發(fā)探討了其應(yīng)用在實(shí)際解題中的狀況以及其中存在的一些問題.然后，對(duì)三種定義進(jìn)行了一系列對(duì)比分析.最后，結(jié)合工作實(shí)踐闡述了一些需要注意的內(nèi)容與事項(xiàng)，主要目的是為了讓學(xué)生更加全面且充分地掌握不同形式的多元微積分方向?qū)?shù)的解題方式，但準(zhǔn)確掌握方向?qū)?shù)不同定義的前提在于學(xué)生能夠充分了解多元微積分的相關(guān)含義和理論.

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