王玉磊+李彩娟+張瑤

【摘要】初等多值函數(shù)是復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn).想要分出它的單值解析分支，就必須找到它的所有支點(diǎn).本文結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，從多值函數(shù)的多值性原因出發(fā)，給出了判斷支點(diǎn)的具體步驟，使學(xué)生能更好地掌握這部分內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】多值函數(shù)；輻角；支點(diǎn)

【基金項(xiàng)目】2017年度河南省教師教育課程改革研究項(xiàng)目（2017-JSJYZD-068）.

一、引 言

初等多值函數(shù)是復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，對(duì)于只有單個(gè)有限支點(diǎn)的多值函數(shù)，利用限制輻角的方法就可以分出它的單值解析分支，但對(duì)于有多個(gè)有限支點(diǎn)的多值函數(shù)就不能使用該方法.需要我們先求出它所有的支點(diǎn)，然后適當(dāng)連接支點(diǎn)以割破平面就能分出它的單值解析分支.如何找到它的支點(diǎn)就變成了首要問(wèn)題.學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)普遍感覺(jué)比較難，尤其是文獻(xiàn)[1]中的具有多個(gè)有限支點(diǎn)的多值函數(shù)，其支點(diǎn)的判斷更加復(fù)雜.在教學(xué)中，如果處理不好這一環(huán)節(jié)，會(huì)使學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容理解欠缺，難以接受.本文結(jié)合筆者在教學(xué)過(guò)程中的體會(huì)，對(duì)如何找多值函數(shù)的支點(diǎn)這部分內(nèi)容，以f（z）=nP（z）為例，提出一些教學(xué)思路以供參考.

二、定義和引理

定義1[1] 一般地，具有這種性質(zhì)的點(diǎn)，使得當(dāng)變點(diǎn)z繞這點(diǎn)一整周回轉(zhuǎn)至原來(lái)位置時(shí)，函數(shù)值與原來(lái)的值相異，則稱(chēng)此點(diǎn)為多值函數(shù)的支點(diǎn).

定義2[2] 設(shè)C是z平面內(nèi)一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線，z1是起點(diǎn)，z2是終點(diǎn).當(dāng)變點(diǎn)z沿C從z1連續(xù)變動(dòng)到z2時(shí)，oz所旋轉(zhuǎn)的角稱(chēng)為輻角函數(shù)argz沿C的連讀改變量，簡(jiǎn)稱(chēng)為輻角改變量，記為ΔCargz.顯然，ΔCargz=argz2-argz1.

引理1[1] 設(shè)有非零復(fù)數(shù)z1，z2，則arg（z1z2）=argz1+argz2.

利用上述引理可得下面結(jié)論：

推論1 設(shè)有有限個(gè)非零復(fù)數(shù)z1，z2，…，zn，則

arg（z1z2…zn）=argz1+argz2+…+argzn.

特別地，argzn=nargz，argz1n=1narg（z1n）n=1nargz，其中n為正整數(shù).

三、f（z）=nP（z）的支點(diǎn)判斷

設(shè)f（z）=nP（z），其中P（z）是N次多項(xiàng)式，

P（z）=A（z-a1）α1（z-a2）α2·…·（z-am）αm，

a1，a2，…，am是P（z）的一切相異零點(diǎn)，α1，α2，…，αm分別是它們的重?cái)?shù)，滿(mǎn)足α1+α2+…+αm=N.

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，首先，要幫學(xué)生分析它產(chǎn)生多值的原因；其次，分析函數(shù)f（z）的終值較初值發(fā)生改變的因子是什么，并且是怎么樣得到的；再次，如何求這個(gè)因子；最后，用支點(diǎn)定義來(lái)判斷是否為支點(diǎn).循序漸進(jìn)，幫助學(xué)生更好地理解這個(gè)難點(diǎn).下面就給出解決這個(gè)問(wèn)題的思路.

第一步 從恒等式f（z）=|f（z）|ei·argf（z）出發(fā)，可以看出它產(chǎn)生多值的原因是f（z）的輻角的多值性導(dǎo)致的.

第二步 在z平面上任取一點(diǎn)z0，以z0為圓心作一個(gè)充分小的圓周C，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z繞C一整周時(shí)，考察函數(shù)f（z）的輻角變化.不妨在C上任取一點(diǎn)作為起點(diǎn)，記此時(shí)f（z）的輻角為arg1f（z），函數(shù)值為f1（z）；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z繞C一整周又回到起點(diǎn)位置時(shí)，記f（z）的輻角為arg2f（z），函數(shù)值為f2（z）.不難得出，ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）.由于同一點(diǎn)處函數(shù)值的模相等，所以

f2（z）=|f2（z）|ei·arg2f（z）=|f1（z）|ei·[arg1f（z）+ΔCargf（z）]

=|f1（z）|ei·arg1f（z）ei·ΔCargf（z）=f1（z）·ei·ΔCargf（z）.

從上面式子中可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)值有沒(méi)有發(fā)生改變?nèi)Q于因子ei·ΔCargf（z）.

第三步 把求f（z）的輻角改變量轉(zhuǎn)化為求關(guān)于自變量的輻角改變量.利用推論1可以得到

ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）

=1n[arg2A+α1arg2（z-a1）+…+αmarg2（z-am）]-1n[arg1A+α1arg1（z-a1）+…+αmarg1（z-am）]

=1n[α1ΔCarg（z-a1）+…+αmΔCarg（z-am）].

這里A為常數(shù)與z無(wú)關(guān)，所以arg1A=arg2A.

第四步 利用支點(diǎn)的定義可得，若ei·ΔCargf（z）≠1，則z0是函數(shù)f（z）的支點(diǎn)；若ei·ΔCargf（z）=1，則z0不是函數(shù)f（z）的支點(diǎn).

四、小 結(jié)

上述方法對(duì)于判斷其他多值函數(shù)的支點(diǎn)同樣可行，比如，w=lnf（z）的支點(diǎn)即可按照此法求得，可把此問(wèn)題留給學(xué)生課下思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.總之，教學(xué)有法，教無(wú)定法.在教學(xué)中只要認(rèn)真鉆研教材，堅(jiān)持以學(xué)生為本，由淺入深，循序漸進(jìn)，就一定能夠幫助學(xué)生牢固基礎(chǔ)、掌握知識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

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