宋妮+王鵬+閆春苗

【摘要】本文通過(guò)具體例子分析了在高等數(shù)學(xué)課堂上引入數(shù)值計(jì)算的必要性，突出了Matlab在圖像處理、數(shù)值計(jì)算等方面的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，其直觀性、趣味性和簡(jiǎn)便性進(jìn)一步提升了學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新能力，對(duì)傳統(tǒng)方式的教學(xué)是非常有效的輔助手段.

【關(guān)鍵詞】Matlab；圖像處理；數(shù)值計(jì)算

【基金項(xiàng)目】中北大學(xué)理學(xué)院教改項(xiàng)目.

高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程和工具課程之一，絕大部分高校采取的基本是以教師為中心的教學(xué)模式，由教師通過(guò)講授和板書(shū)，把教學(xué)內(nèi)容傳授給學(xué)生.在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師是主宰，學(xué)生則處于被動(dòng)接受教師灌輸知識(shí)的地位，互動(dòng)性較差或者基本不互動(dòng)，學(xué)生對(duì)有些內(nèi)容感到抽象、枯燥且難以理解，從而導(dǎo)致了學(xué)生的積極性下降.這就要求教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，引入新的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的興趣，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，真正實(shí)現(xiàn)課堂上的互動(dòng).

如今，數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展已非常成熟，國(guó)外大量課程都已采用數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行分析和計(jì)算，而國(guó)內(nèi)的普及程度則不是很高.在科技快速發(fā)展的今天，高等數(shù)學(xué)課程不僅要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、基本運(yùn)算能力，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)值計(jì)算能力（包括數(shù)據(jù)處理能力），學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法初步解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行一定的科學(xué)計(jì)算.因此，將數(shù)值計(jì)算引入高等數(shù)學(xué)課程就顯得尤為重要，學(xué)生在課堂上通過(guò)對(duì)數(shù)值計(jì)算的認(rèn)識(shí)、熟悉、使用，進(jìn)一步達(dá)到理論和實(shí)踐相統(tǒng)一.

本文將借助于數(shù)學(xué)軟件，對(duì)高等數(shù)學(xué)中的某些抽象理論進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與可視化，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象理論的理解以及對(duì)數(shù)學(xué)軟件的使用，從而增強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

一、圖像——抽象問(wèn)題具體化

圖像是Matlab中一個(gè)很重要的功能，而在高等數(shù)學(xué)中，多元函數(shù)的圖形大多抽象，不容易給出，例如，不能顯化的隱函數(shù)、二維圖形的極坐標(biāo)圖形、參數(shù)方程圖形，三維圖形、三維圖形的變化及多個(gè)三維圖形的相互關(guān)系等，給教與學(xué)帶來(lái)不便.若調(diào)用Matlab中繪圖函數(shù)來(lái)完成各類圖形的繪制，使得抽象思維變得直觀具體，更便于學(xué)生理解和接受.

求導(dǎo)計(jì)算中有兩類很重要的函數(shù)，一類是冪指函數(shù)，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法或等價(jià)變形對(duì)其求導(dǎo)數(shù)；另一類是隱函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算，但對(duì)于這兩類函數(shù)的圖像，我們研究的很少或基本不研究，原因之一在于這兩類函數(shù)無(wú)法用基本初等函數(shù)的圖像去表示，而數(shù)值計(jì)算很好地解決了這一問(wèn)題.

例1 作冪指函數(shù)y=xsinx（x>0）的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

x=1：0.1：25；y=x^sin（x）；plot（x，y）；

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；grid on

運(yùn)行結(jié)果如圖1所示，從圖中學(xué)生可以直觀地看到函數(shù)的性質(zhì)、變化規(guī)律和極值點(diǎn)以及極值，不再停留在想象的層面.

圖1 y=xsinx（x>0）的圖像

例2 不能顯化的隱函數(shù)y5+2y-x-3x7=0的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

ezplot（′y^5+2*y-x-3.*x^7′=0）；grid on

運(yùn)行結(jié)果如圖2所示，從圖中可以看出該隱函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一目了然，使學(xué)生更好地理解隱函數(shù)的特點(diǎn).

圖2 y5+2y-x-3x7=0的圖像

在學(xué)習(xí)向量與空間解析幾何、三重積分和曲面積分這些內(nèi)容時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)感到很抽象，因?yàn)槲覀兊慕滩闹酗@示的都是平面圖形，學(xué)生很難建立空間圖形的概念，通過(guò)在課堂上引入Matlab，可以非常直觀地建立三維空間的函數(shù)圖形，培養(yǎng)學(xué)生的立體感.

例3 作二元函數(shù)z=sinx2+y2的圖像.

解 在Matlab中調(diào)用命令：

x=-10：0.2：10；[X，Y]=meshgrid（x）；r=sqrt（X^2+Y^2）+eps；Z=sin（r）；meshc（X，Y，Z）

其中，meshc（X，Y，Z）表示曲面xOy面上的等高線即投影，如圖3所示.其中，圖3（a）表示曲面的三維立體圖，圖3（b）是其等高線圖.通過(guò)圖像和方程相結(jié)合，學(xué)生能夠更好地加深對(duì)二次曲面的理解，使抽象問(wèn)題更具體化.

進(jìn)一步地，在課堂上逐步引入數(shù)值計(jì)算，可以解決很多圖形的抽象問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，不再局限于全理論性的教學(xué)模式.

（a）

（b）

圖3 z=sinx2+y2的圖像

二、輔助計(jì)算——復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

數(shù)值計(jì)算是Matlab的又一重要功能，高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容，方法多、公式多，有些情況下計(jì)算量也較大，學(xué)生在做題的時(shí)候從數(shù)字到數(shù)字、公式到公式，經(jīng)常會(huì)感到煩瑣、枯燥，且容易出錯(cuò).如，若學(xué)生清楚算法原理和計(jì)算過(guò)程，則可通過(guò)Matlab完成算法實(shí)現(xiàn)，作為檢驗(yàn)答案的輔助手段，整個(gè)過(guò)程效率高、用時(shí)短、更直觀.

例4 計(jì)算∫sinxsin2xsin3xdx.

解 這是有關(guān)三角函數(shù)的積分問(wèn)題，要計(jì)算該積分，需利用三次積化和差公式，過(guò)程非常麻煩，而在Matlab中調(diào)用命令：

syms x，y；y=int（sin（x）.*sin（2*x）.*sin（3*x））；

就可輕松得到結(jié)果：

y=（8*tan（x/2）^4*（9*tan（x/2）^4-14*tan（x/2）^2+9））/（3*（tan（x/2）^2+1）^6）

對(duì)學(xué)生而言，三重積分和曲面積分一直是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，其一是學(xué)生對(duì)立體區(qū)域的作圖感到抽象、困難，無(wú)從下手；其二是找不到正確的投影區(qū)域，而在課堂上利用Matlab就能夠使得問(wèn)題由抽象變具體，復(fù)雜變簡(jiǎn)單.endprint

例5 計(jì)算I=S（xy+yz+zx）dS，其中S為z=x2+y2被柱面x2+y2=2ax（a>0）截得的部分.

解 （1）畫(huà)出積分曲面圖，在Matlab中調(diào)用命令：

[x，z]=meshgrid（0：0.1：2，0：0.05：2）；y1=sqrt（2.*x-x.^2）；y2=-sqrt（2.*x-x.^2）；surf（x，y1，z）；

hold on surf（x，y2，z） [x，y]=meshgrid（-2：0.1：2）；z=sqrt（x.^2+y.^2）；mesh（x，y，z）

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；zlabel（′z′）；

運(yùn)行結(jié)果如圖4所示，從圖中可直觀地看出截得部分在xOy面上的投影區(qū)域仍是圓域，進(jìn)一步利用極坐標(biāo)將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分去計(jì)算.

圖4 所截部分的圖像

（2）計(jì)算積分值：

syms x y r t a；z=sqrt（x^2+y^2）；zx=diff（z，′x′）；zy=diff（z，′y′）；dS=sqrt（1+zx^2+zy^2）；

f=x*y+（y+x）*sqrt（x^2+y^2）*dS；x=r*cos（t）；y=r*sin（t）；F=subs（f）；

r1=0；r2=2*a*cos（t）；t1=-pi/2；t2=pi/2；f1=int（F*r，r，r1，r2）；I=int（f1，t，t1，t2）

運(yùn)行結(jié)果為：

I=（64*2^（1/2）*a^4）/15

即I=S（xy+yz+zx）dS=64152a4.

三、結(jié)束語(yǔ)

利用Matlab的強(qiáng)大功能，學(xué)生可以借助較傳統(tǒng)的編程語(yǔ)言（如C、C++和Fortran）實(shí)現(xiàn)圖像、極限、積分等運(yùn)算，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維，同時(shí)對(duì)于問(wèn)題的直觀性和幾何性，更便于學(xué)生理解和接受，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.

【參考文獻(xiàn)】

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