劉艷，高正紅，張星雨

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

飛機的人機耦合(Aircraft Pilot Coupling，簡稱APC)現(xiàn)象，是由非正常的飛機與駕駛員動力學(xué)特性相互影響，使得人機系統(tǒng)閉環(huán)失穩(wěn)而產(chǎn)生的持續(xù)、不可控、嚴重威脅飛行安全的振蕩或發(fā)散現(xiàn)象[1]。

現(xiàn)代飛機普遍采用了電傳操縱系統(tǒng)，其操縱面由舵機驅(qū)動偏轉(zhuǎn)。舵機的偏轉(zhuǎn)速率取決于其功率，當(dāng)偏轉(zhuǎn)指令超出舵機偏轉(zhuǎn)能力時，就會產(chǎn)生舵機速率限制。對于廣泛采用主動控制與放寬靜穩(wěn)定性技術(shù)的現(xiàn)代飛機來說，操縱面尺寸更小，舵機偏轉(zhuǎn)壓力更大，舵機速率限制問題尤為突出[2]。

舵機速率限制非線性會帶來可觀的相位滯后與幅值衰減[3]，是現(xiàn)代電傳飛機發(fā)生APC的主要誘因，幾乎所有的電傳操縱飛機，包括F-16、F-18、JAS-39、F-22、C-17、B-2、A-320等，都發(fā)生過由舵機速率限制造成的嚴重APC事件[1,4]。

舵機偏轉(zhuǎn)速率取決于其功率，因此避免由此發(fā)生APC的最直接方法是提高舵機功率，但這也意味著技術(shù)難度、研制成本及重量的增加，為總體設(shè)計階段的舵機選型帶來了困難，亟需一種確定人機閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定所需最小舵機偏轉(zhuǎn)速率的方法，以最小的代價避免APC的發(fā)生、提高研制效率。

國內(nèi)外針對由舵機速率限制誘發(fā)的Ⅱ類PIO已開展了大量研究，包括影響機理[1,5]、評估準則[3,6]、抑制方法[7-8]及人機閉環(huán)穩(wěn)定域[9]等，但尚無公開文獻明確給出適合總體設(shè)計階段確定舵機速率邊界的方法。開環(huán)起始點(Open Loop Onset Point，簡稱OLOP)準則[3]與Neal-Smith時域(Time Domain Neal-Smith，簡稱TDNS)準則[6]均可通過評估不同舵機速率下的APC/PIO趨勢試湊出人機閉環(huán)穩(wěn)定所需的最小舵機速率；但OLOP方法使用的是純增益駕駛員模型，不能充分體現(xiàn)駕駛員的操縱特性；TDNS方法使用的雖是最優(yōu)McRuer駕駛員模型，但存在計算量大、局部最優(yōu)解與閾值選取問題。

本文基于描述函數(shù)分析舵機速率限制非線性對人機閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，建立舵機速率限制邊界的確定方法，并通過OLOP準則對所建立的方法進行驗證。

1 非線性舵機模型

1.1 舵機模型

典型舵回路如圖1所示，由舵機、放大器及反饋元件組成[10]。

圖1 舵回路示意圖Fig.1 Schematic of actuator circuit

舵面偏轉(zhuǎn)速率由測速器測量并反饋給放大器以增加舵回路的阻尼；舵機偏轉(zhuǎn)角度則由位置傳感器測量并反饋到輸入端，以保證精確控制舵機偏角。因此舵回路特性可用典型二階振蕩環(huán)節(jié)表示，由于其固有頻率遠高于飛機的帶寬，可近似用一階慣性環(huán)節(jié)表示：

(1)

簡化的舵機模型可用帶速率限制的一階慣性環(huán)節(jié)描述[3,11]，如圖2所示。圖中，δc為舵機偏轉(zhuǎn)指令信號；δ為偏轉(zhuǎn)輸出信號；e為誤差信號；ωa為舵機帶寬；VL為速率限制；eL=VL/ωa為飽和點。

圖2 簡化的舵機模型Fig.2 Simplified actuator model

1.2 非線性描述函數(shù)

如果非線性元件的輸入是正弦信號，其輸出通常未按照正弦變化，但是與輸入信號周期相同的周期函數(shù)。按照傅里葉級數(shù)概念，輸出信號可分解為與輸入信號相同頻率的一次諧波和n次諧波。

在工程實際中，非線性元件輸出信號的高次諧波分量幅值通常遠小于一次諧波，加之大部分控制元件都是低通濾波器，因此可以用輸出信號的一次諧波分量來近似此元件的輸出特性，即所謂的描述函數(shù)[10]。

假設(shè)非線性元件的輸入信號按照正弦變化：

x(t)=Xsinωt

(2)

則輸出信號可分解為與輸入信號相同頻率的一次諧波與n倍頻率高次諧波之和：

(3)

y1=A1cosωt+B1sinωt

(4)

式中：y1為輸出信號的一次諧波分量。

其一次諧波分量即為此元件的描述函數(shù)：

(5)

1.3 速率限制非線性的描述函數(shù)

速率限制的輸入與輸出特性如圖3所示，如果輸入為正弦波，其輸出則接近三角波。

圖3 速率限制的輸入與輸出特性Fig.3 Input and output of rate limiting

假設(shè)速率限制非線性的正弦輸入為

xi(t)=xisinωt

(6)

根據(jù)文獻[3,12]中的推導(dǎo)過程可得到速率限制的描述函數(shù)：

(7)

式中：VL為舵機速率限制值；A為輸入信號幅值；ωonset=VL/A為發(fā)生頻率。

該描述函數(shù)是基于正弦輸入/三角輸出假設(shè)得到，故僅適用于舵機速率完全飽和的情況，即ω>1.862ωonset[12]；ω<ωonset時，舵機速率未發(fā)生飽和；ωonset<ω<1.862ωonset時，舵機速率未完全飽和，無法使用式(7)中的描述函數(shù)，可采用以下經(jīng)驗公式確定速率限制環(huán)節(jié)的幅值與相位[12]：

(8)

式中：x=ω/ωonset，x∈[1,1.862]。

ωonset=1時速率限制描述函數(shù)的bode圖如圖4所示。

(a) 幅值圖

(b) 相位圖圖4 舵機速率限制的Bode圖Fig.4 Bode plot of actuator rate limiting

從圖4可以看出：當(dāng)系統(tǒng)頻率ω<ωonset時，未發(fā)生速率限制，系統(tǒng)的幅值與相位未發(fā)生變化；當(dāng)ωonset<ω<1.862ωonset時，速率限制開始發(fā)生但未完全飽和，幅值相位均有小幅下降；當(dāng)ω>1.862ωonset時，舵機速率完全飽和，幅值與相位均顯著下降。

在飛機正常頻率范圍(1.5～3.5 rad/s)內(nèi)，舵機速率限制帶來的相位滯后最大可達60°～80°，導(dǎo)致系統(tǒng)的相位裕度減小，甚至不穩(wěn)定。

2 速率限制邊界

2.1 非線性穩(wěn)定準則

帶舵機速率限制非線性的人機閉環(huán)系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 非線性人機閉環(huán)系統(tǒng)示意圖Fig.5 Closed-loop PVS with nonlinear element

其特征方程為

1+YpNG(s)=0

(9)

假設(shè)舵機速率非線性的描述函數(shù)為N(A,ω)，飛機線性部分傳遞函數(shù)為G(jω)，駕駛員模型傳遞函數(shù)為Yp(jω)，則閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)振蕩的條件為

1+Yp(jω)N(A,ω)G(jω)=0

(10)

或

(11)

將線性Nyquist判據(jù)[13]擴展到非線性，可利用G(jω)Yp(jω)與-1/N(A,ω)曲線的相對位置關(guān)系判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即所謂的負倒描述函數(shù)法：

(1) 如果-1/N(A,ω)曲線沒有被G(jω)·Yp(jω)曲線包圍，如圖6所示，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 穩(wěn)定系統(tǒng)的Nyquist圖Fig.6 Nyquist chart of a stable system

(2) 如果-1/N(A,ω)曲線被G(jω)Yp(jω)曲線包圍，如圖7所示，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖7 不穩(wěn)定系統(tǒng)的Nyquist圖Fig.7 Nyquist chart of an unstable system

(3) 如果兩曲線相交，如圖8所示，則系統(tǒng)會出現(xiàn)持續(xù)振蕩；二者交點即為閉環(huán)振蕩對應(yīng)的ω/ωonset。

圖8 振蕩系統(tǒng)的Nyquist圖Fig.8 Nyquist chart of an oscillatory system

根據(jù)式(7)可以繪制舵機速率限制非線性的負倒描述函數(shù)，如圖9所示。

圖9 速率限制的負倒描述函數(shù)Nyquist圖Fig.9 Nyquist Chart of -1/N of rate limiting

從圖9可以看出：當(dāng)ω<ωonset時，舵機未發(fā)生速率限制，描述函數(shù)幅值為1，相位為0，其負倒描述函數(shù)的Nyquist坐標(biāo)為(-1,j0)；隨著ω的增加，尤其是ω>1.862ωonset后，其負倒描述函數(shù)的幅值與相位均增加，相應(yīng)的Nyquist坐標(biāo)向左下方移動。ωonset越高，發(fā)生速率限制及與線性部分相交所對應(yīng)的ω越高，閉環(huán)系統(tǒng)越不容易失穩(wěn)。

2.2 駕駛員模型

本文使用的駕駛員模型為McRuer模型[5]

(12)

式中：Kp為駕駛員模型的增益；τp為駕駛員時間延遲，通常取為0.15～0.25 s；TL和TI為駕駛員提供的超前與滯后補償時間。

由于駕駛員的自適應(yīng)特性，操縱增益與補償時間均隨具體飛行任務(wù)與飛行狀態(tài)變化，因此要確定舵機速率非線性邊界，應(yīng)首先確定該狀態(tài)下的駕駛員模型參數(shù)。

本文將參考TDNS準則[6]，以圖10所示閉環(huán)姿態(tài)操縱任務(wù)最小誤差均方根(Root Mean Square，簡稱RMS)對應(yīng)的Kp與Tc為最優(yōu)駕駛員參數(shù)。其中，θc為俯仰操縱指令；D為目標(biāo)捕獲時間，D越小表明駕駛員達到期望響應(yīng)的時間越短，任務(wù)要求越高，應(yīng)根據(jù)飛機的任務(wù)類型及飛行狀態(tài)選取。

圖10 TDNS準則的階躍目標(biāo)跟蹤任務(wù)Fig.10 Step target tracking task of TDNS criterion

Tc為駕駛員提供的補償時間，當(dāng)Tc>0時，為超前補償，如式(13)所示；當(dāng)Tc<0時，為超前-滯后補償，如式(14)所示。

(13)

(14)

式中：ωBW為任務(wù)帶寬。

(15)

響應(yīng)的RMS反映了閉環(huán)系統(tǒng)的振蕩特性，RMS越大表明閉環(huán)響應(yīng)振蕩越激烈。Kp與Tc可采用序列二次規(guī)劃(Sequencial Quadratic Programming，簡稱SQP)方法確定[14]。

2.3 速率限制非線性穩(wěn)定邊界

根據(jù)負倒描述函數(shù)法，如果-1/N(A,ω)曲線與G(jω)Yp(jω)曲線相交，其交點即為閉環(huán)振蕩對應(yīng)的ω/ωonset。若飛機的操縱帶寬ωac已知，則可確定人機閉環(huán)穩(wěn)定所對應(yīng)的最小ωonset：

(16)

由ωonset=VL/A可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定所需的最小舵機偏轉(zhuǎn)速率VLmin與最小發(fā)生頻率ωonset_min相對應(yīng)。因此，在確定ωonset_min后，可根據(jù)操縱面的偏轉(zhuǎn)范圍A確定保證閉環(huán)穩(wěn)定的最小舵機速率：

VLmin=ωonset_min·A

(17)

操縱面偏轉(zhuǎn)范圍A對應(yīng)的是極限操縱狀況，故由此確定的最小舵機速率可以保證最極限操縱任務(wù)下的閉環(huán)穩(wěn)定性。

3 算例與驗證分析

3.1 算例飛機簡介

以某放寬靜穩(wěn)定飛機的俯仰通道為例，對所提出的速率限制邊界確定方法進行驗證，算例狀態(tài)為H=5 km，Ma=0.75。

該狀態(tài)下飛機本體的短周期狀態(tài)方程為

(18)

其短周期特征根為(-2.205 7，0.333 7)，為了獲得期望的短周期阻尼比ζsp與頻率ωsp，本文為其設(shè)計過載指令式積分控制增穩(wěn)系統(tǒng)，如圖11所示。

算例狀態(tài)下的增益分別為Kq=0.145，Kα=0.41，Kp=0.36，KI=1.2。通過等效系統(tǒng)擬配可以得到增穩(wěn)后的ζsp為0.697 3，ωsp為2.734 4，滿足一級飛行品質(zhì)要求。根據(jù)帶寬準則[2]，可以確定“飛機+飛控系統(tǒng)”的縱向帶寬ωac=3.058 8。

由于飛機本體縱向不穩(wěn)定，舵機一旦發(fā)生速率限制，由俯仰操縱面提供的增穩(wěn)效果將減弱甚至消失，導(dǎo)致嚴重APC的發(fā)生。

3.2 俯仰操縱面舵機速率邊界

本文用于確定駕駛員模型參數(shù)的目標(biāo)跟蹤時間D取為1.4 s，駕駛員模型的時間延遲項τp取為0.2 s，根據(jù)文獻[14]中的方法可以得到駕駛員模型參數(shù)為Kp=2.03，TL=0.15 s，TI=0。由此可以得到俯仰通道的Nyquist圖(如圖12所示)，-1/N(A,ω)曲線與G(jω)Yp(jω)曲線交點對應(yīng)的ω/ωonset為2.255 1。

閉環(huán)穩(wěn)定所需要的最小ωonset

由俯仰操縱面的最大偏轉(zhuǎn)角A=20°可以得到

VLmin=1.356×20=27.1°/s

3.3 OLOP準則驗證

不同舵機速率下，采用文獻[3]中方法確定的該飛機OLOP準則評估結(jié)果如圖13所示。

圖13 不同舵機速率下的OLOPFig.13 OLOP of different actuator rate limiting

從圖13可以看出：當(dāng)舵機速率較小時，算例飛機的OLOP位于邊界之上，速率飽和產(chǎn)生的相位滯后會引起閉環(huán)幅值的顯著增大，從而激發(fā)出更強的速率飽和，導(dǎo)致相位滯后的進一步增加，最終導(dǎo)致閉環(huán)失穩(wěn)；隨著舵機速率的增加，算例飛機的OLOP呈向下方移動趨勢，此時相位滯后增加所導(dǎo)致的閉環(huán)幅值的增幅逐漸減小，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性逐漸增加。

系統(tǒng)的Nichols曲線與OLOP準則穩(wěn)定邊界交點所對應(yīng)的舵機速率，即舵機速率邊界為29～30 °/s，與本文所建立方法確定的27.1 °/s極為接近。

造成二者誤差的主要原因是：OLOP準則使用的模型為純增益模型；本文所建立方法使用的是包含最優(yōu)駕駛員增益、超前補償和時間延遲的McRuer模型。最優(yōu)增益與超前補償均可以提高閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，時間延遲項則會一定程度降低系統(tǒng)穩(wěn)定性；在三者共同作用下，使用McRuer模型的人機閉環(huán)系統(tǒng)比使用純增益模型更穩(wěn)定，因此所確定的最小舵機速率略小于OLOP準則確定的結(jié)果。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出的舵機速率邊界的確定方法最小成本的避免了人機耦合。該方法確定的舵機速率與OLOP邊界對應(yīng)的舵機速率極為接近，OLOP準則的結(jié)果略高于所確定的限制邊界。

(2) 本文所提出的方法可為總體設(shè)計階段的舵機選型提供參考，在實際使用時還應(yīng)充分考慮不同飛行任務(wù)、狀態(tài)及飛機構(gòu)型帶來的影響。

(3) 不同設(shè)計階段由于可獲得的數(shù)據(jù)詳細程度不同，所面臨的APC/PIO問題也不盡相同，在后續(xù)的詳細設(shè)計、原型機試制與試飛階段，可能會不斷出現(xiàn)新的APC/PIO問題，還需開展相應(yīng)的準則與試飛評估、抑制甚至實時探測研究。

[1] Committee on the Effects of Aircraft-pilot Coupling on Flight Safety. Aviation safety and pilot control[M]. Washington: National Academy Press, 1997: 14-15.

[2] David G Mitchell, Roger H Hoh, Bimal L Aponso. Proposed incorporation of mission-oriented flying qualities into MIL-STD-1797A[R]. WL-TR-94-3162, 1994: 67-68.

[3] Holger Duda. Prediction of pilot-in-the-loop oscillations due to rate saturation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1997, 20(3): 581-585.

[4] David Mitchell, David Klyde.Testing for pilot induced oscillation[C]. AIAA-2005-5811, 2005.

[5] 高金源, 李陸豫, 馮亞昌. 飛機飛行品質(zhì)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2003: 262-267.

Gao Jinyuan, Li Luyu, Feng Yachang. Airplane flight dynamics[M]. Beijing: National Defense Technology Press, 2003: 262-267.(in Chinese)

[6] Randall E Bailey, Timothy J Bidlack. A quantitative criterion for pilot-induced oscillations-Time domain Neal-Smith criterion[C]. AIAA-96-3434, 1996.

[7] Donald A Johnson. Suppression of pilot-induced oscillation[D]. USA: Air Force Institute of Technology, 2002.

[8] Lars Rundaqwist, Robert Hillgren. Phase compensation of rate limiters in JAS 39 Gripen[C]. AIAA-96-3368, 1996.

[9] 曹啟蒙, 李穎暉, 徐浩軍. 考慮作動器速率飽和的人機閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定域[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2013, 39(2): 215-219.

Cao Qimeng, Li Yinghui, Xu Haojun. Stability region for closed-loop pilot-vehicle system with actuator rate saturation[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2013, 39(2): 215-219.(in Chinese)

[10] 高浩, 朱培申, 高正紅. 高等飛行動力學(xué)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2004: 182-185.

Gao Hao, Zhu Peishen, Gao Zhenghong: Advanced flight dynamics[M]. Beijing: National Defense Technology Pr-ess, 2004: 182-185.(in Chinese)

[11] 孟捷, 徐浩軍, 劉東亮. 基于描述函數(shù)法的速率限制環(huán)節(jié)特性研究[J]. 飛行力學(xué), 2009, 27(3): 20-23.

Meng Jie, Xu Haojun, Liu Dongliang. Research on the characteristic of rate limiting element based on describing function method[J]. Flight Dynamics, 2009, 27(3): 20-23.(in Chinese)

[12] Joel B Witte. An investigation relating longitudinal pilot-induced oscillation tendency rating to describing function predictions for rate-limited actuators[D]. USA: Air Force Institute of Technology, 2004.

[13] Katsuhiko Ogata. Modern control engineering[M]. 5th ed. USA: Prentice Hall, 2010: 440-467.

[14] 趙志忠, 劉艷, 高正紅. 基于序列二次規(guī)劃的PIO易感性時域評估方法[J]. 飛行力學(xué), 2010, 28(4): 1-4.

Zhao Zhizhong, Liu Yan, Gao Zhenghong. PIO susceptibility evaluation approach based on sequential quadratic programming[J]. Flight Dynamics, 2010, 28(4): 1-4.(in Chinese)