尹 濤，蔡力勛，陳 輝，姚 迪

（西南交通大學力學與工程學院 應用力學與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室，四川 成都 610031）

0 引 言

毫小尺寸試樣測試在服役結(jié)構(gòu)和小尺寸構(gòu)件的材料性能備受關(guān)注。發(fā)展以微損取樣代替常規(guī)的破壞性取樣來測試材料力學性能的毫小尺寸試樣試驗方法，對評價服役設(shè)備的性能、結(jié)構(gòu)安全性和剩余壽命有重要意義。毫小尺寸試樣的疲勞測試性能可以廣泛應用于航空航天、輪船、汽車、微機械、微電子和生物修復等領(lǐng)域的關(guān)鍵構(gòu)件安全評價，可以克服材料尺寸與試樣數(shù)量的傳統(tǒng)限制，具有重要的學術(shù)價值和工程應用前景。在宏觀尺度下，相較于大尺寸試樣，國內(nèi)外較少開展小尺寸薄片試樣的低周疲勞性能研究。

材料的低循環(huán)應力-應變關(guān)系和低周疲勞Manson-Coffin律用于廣大彈性區(qū)約束下結(jié)構(gòu)局部塑性區(qū)的疲勞壽命分析。材料的軸向等幅低循環(huán)應力-應變關(guān)系通常采用等直圓棒試樣按GB/T 15248——2008《金屬材料軸向等幅低循環(huán)疲勞試驗方法》[1]和ISO 12106——2003Metallic materials-fatigue testing-axial strain-controlled method[2]推薦的多試樣法或單試樣法進行試驗獲得。針對厚度大于2.5mm的薄板材料，現(xiàn)行試驗標準給出了等直片狀試樣和不產(chǎn)生應力集中的大曲率半徑漏斗試樣來獲取等幅低循環(huán)應力-應變關(guān)系，而厚度小于2.5 mm（如1 mm左右）的薄片材料難以采用現(xiàn)行標準推薦的疲勞試樣進行測試。針對厚度小于2.5 mm的薄板材料，He等[3]采用2mm的等直段片狀試樣完成拉-拉非等幅疲勞試驗從而進行疲勞性能分析，故無法借鑒其用以等幅低循環(huán)應力-應變關(guān)系的獲取。

毫小薄片疲勞試樣可定義為平面構(gòu)形尺寸和塑性區(qū)尺寸在毫米級范圍且厚度小于2.5mm的試樣。為了避免薄片試樣在等幅低周疲勞試驗中發(fā)生失穩(wěn)，薄片試樣可設(shè)計為漏斗型。近20年來，國內(nèi)外學者利用薄片漏斗試樣進行了材料疲勞性能測試方法的探索，如Ye等[4]采用薄片漏斗試樣研究了鈦合金TC4局部塑性應變和多尺度的疲勞裂紋擴展行為之間的相互作用。但是針對厚度小于2.5mm的金屬板材低循環(huán)應力-應變關(guān)系研究仍罕見報道。Wisner等[5]采用小漏斗半徑的薄片漏斗缺口試樣實現(xiàn)了鋯合金板材的常溫低循環(huán)試驗，試驗采用徑向應變控制，并以漏斗根部的等效塑性應變幅與平均彈性應變幅之和作為軸向應變幅，以及以漏斗根部橫截面的平均應力作為軸向應力幅，進而完成對鋯合金板材的疲勞壽命預估。早期的這項研究因存在應力與應變集中問題，其結(jié)果與漏斗根部材料單元的真實情況存在較大偏差。為了實現(xiàn)1mm和2mm厚的板材或焊縫的疲勞特性研究，蔡力勛等[6-10]也采用類似的薄片漏斗試樣開展研究，利用徑向引伸計實現(xiàn)低循環(huán)試驗應變控制，然后通過等效方法將徑向應變換算為軸向應變，進而獲取材料低循環(huán)性能，所采用的等效方法仍具有較大近似性。黃學偉等[11-13]提出了改進的薄片漏斗試樣，并根據(jù)有限元分析建立軸向控制應變同漏斗根部軸向應變的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由于薄片難以獲得真實的循環(huán)應力-應變關(guān)系，在有限元分析只好采用單調(diào)拉伸的應力-應變關(guān)系作為輸入材料屬性，未考慮材料循環(huán)強化。賈琦等[14-15]同樣采用薄片漏斗試樣進行了多種材料的低循環(huán)試驗，并提出針對具有循環(huán)Masing效應材料的等直圓棒試樣的低循環(huán)試驗結(jié)果，取平移后最大應變幅穩(wěn)定階段應力-應變滯回環(huán)上升段作為材料的循環(huán)應力-應變關(guān)系，文章未提出如何通過薄片漏斗試樣來獲取材料的循環(huán)應力-應變關(guān)系。薄片試樣的低周疲勞因材料循環(huán)應力-應變關(guān)系難以獲取而在材料測試領(lǐng)域一直是亟待解決的困難問題。

Chen等[16]發(fā)展了一套基于測試載荷-位移曲線預測材料單軸應力-應變關(guān)系的壓痕理論模型（equivalent-energy indentation model，EIM），該模型采用能量分離方法有效建立了Hollomon應力-應變關(guān)系參量（E、σy和n）與P和h的半解析方程，為材料的應力-應變關(guān)系理論求解提供了可能。本文將借鑒EIM模型的能量理論提出采用毫小薄片漏斗試樣獲取材料循環(huán)應力-應變關(guān)系的新測試方法。通過合理設(shè)計試樣、二次夾具和試驗方案，開展了毫小尺寸薄片漏斗試樣、小尺寸薄片漏斗試樣和等直圓棒試樣的變幅對稱應變控制低循環(huán)試驗；采用能量分離函數(shù)，結(jié)合毫小薄片漏斗試樣的循環(huán)穩(wěn)定載荷幅-位移幅關(guān)系提出了具有尺寸與材料普適的薄片漏斗試樣的循環(huán)應力-應變關(guān)系模型。

1 研究條件

1.1 材料、試樣及加載裝置設(shè)計

考慮到薄片試樣的小尺寸化和對稱應變疲勞試樣的拉壓受力特點，設(shè)計了圖1所示的毫小尺寸薄片漏斗試樣（MSN型試樣）、小尺寸薄片漏斗試樣（SSN型試樣）和等直圓棒試樣（SRB型試樣），分別用于間接和直接獲取材料的循環(huán)應力-應變關(guān)系，其中，SSN型試樣扣除夾持段部分仍可理解為毫小尺寸試樣。對薄板材料，等寬度試樣在彈塑性應變幅情況下容易失穩(wěn)，而采用圓弧漏斗試樣，由于其圓弧根部材料單元具有單軸變形特性且能產(chǎn)生較大應力集中，可避免試樣循環(huán)失穩(wěn)。

由于MSN型試樣尺寸限制，需充分考慮試樣安裝的穩(wěn)固性和對中性，以保證試樣拉壓疲勞過程中不會出現(xiàn)松動和翹曲。MSN型試樣可通過數(shù)控電火花精密加工，圖2（a）中的限位槽使得試樣與夾具之間在循環(huán)載荷下不會出現(xiàn)相對位移。圖2中夾持板與試驗機夾頭連接，對中平臺用于該型夾具與試驗機夾頭的限位安裝從而避免試樣軸向偏心，蓋板與夾具由螺紋桿連接，用于縱向固定試樣，防止試樣被擠出限位槽，同時增加夾具對試樣表面的夾持力。

表1 試樣幾何尺寸

圖1 試樣尺寸構(gòu)形

圖2 夾具示意

表2 316L不銹鋼主要化學成分的質(zhì)量百分數(shù) %

圖3 316L不銹鋼試樣照片

表3 316L不銹鋼的拉伸力學性能

表1給出了MSN型和SSN型試樣的尺寸。圖1所示MSN型試樣與SSN型試樣區(qū)別為夾持方式不同，它們在跨漏斗兩側(cè)引伸計標距內(nèi)的工作段是自相似的，因此SSN型試樣雖然尺寸大于MSN型試樣，但其工作段仍可代表毫小級別試樣的受力和變形特征。圖2所示夾具采用文獻[6，15]推薦的方法來實現(xiàn)SSN型試樣的穩(wěn)固對中夾持。

試樣材料采用316 L不銹鋼，其化學成分和機械性能分別如表 2、表 3 所示。采用圖 3（a）、圖 3（b）所示的尺寸薄片漏斗試樣完成應變對稱的變幅低循環(huán)試驗。圖4給出了SRB型試樣、MSN型試樣、SSN型試樣的試驗情況。

1.2 試驗設(shè)備和加載方法

MSN型試樣的試驗設(shè)備為Care IBTC-300原位雙向拉壓疲勞試驗機 （載荷量程1 kN），控制器為Multi-Channel Test Controller，驅(qū)動器為Multi-Channel Test Driver，控制軟件為Care-Test-Fatigue。SSN型試樣和SRB型試樣的試驗設(shè)備為美國MTS 809（25kN）電液伺服材料試驗機，控制系統(tǒng)為TestStar II，應用軟件為MTS790.10/SX。兩臺試驗機載荷傳感器準確度均為0.5級，均通過計算機對試驗過程進行閉環(huán)控制和實時數(shù)據(jù)采集。

圖4 316L不銹鋼3類試樣的疲勞試驗照片

為實現(xiàn)低循環(huán)試驗的軸向應變控制，MSN型試樣和SRB型試樣采用MTS 632.29F-30引伸計（標距為5mm，測量范圍-10%～30%），SSN型試樣采用MTS 632.54F-14引伸計（標距為12 mm，測量范圍-10%～20%）。兩種引伸計準確度均為0.5級。

本文所有試驗均采用應變對稱的變幅循環(huán)試驗方法，每種構(gòu)形試樣各取兩個試樣進行試驗，控制應變幅自低到高，每級應變幅下分別循環(huán)200周，三角波加載，MSN 型試樣的加載速率為 0.002mm/（mm·s），SSN和SRB型試樣的加載速率為0.008mm/（mm·s）。

1.3 有限元分析

根據(jù)MSN型和SSN型試樣的載荷-跨漏斗兩側(cè)位移試驗曲線（P-h曲線），為獲取薄片漏斗試樣的循環(huán)應力-應變關(guān)系，可采用有限元方法模擬試樣跨漏斗兩側(cè)引伸計標距內(nèi)工作段的受力與變形。針對兩類薄片漏斗試樣，均可建立如圖5所示的薄片漏斗試樣三維和平面模型進行分析，三維模型采用Solid186六面體單元進行網(wǎng)格劃分，考慮結(jié)果精度，對漏斗根部進行網(wǎng)格加密，平面模型采用Plane183帶厚度的平面應力單元進行網(wǎng)格劃分。

有限元計算采用位移加載控制，邊界條件如圖5所示，提取試樣跨漏斗根部兩側(cè)各h/2處兩節(jié)點的相對位移與下端所有節(jié)點的總載荷作為計算結(jié)果輸出，從而實現(xiàn)毫小薄片漏斗試樣試驗的數(shù)值模擬。為了確保有限元計算提取的載荷結(jié)果能正確反映真實試驗結(jié)果，建議有限元模型高度H等于毫小薄片漏斗試樣的總高度。

圖5 毫小薄片漏斗試樣有限元網(wǎng)格模型

圖6 三維模型和平面應力模型有限元計算結(jié)果比較

考慮到MSN型試樣漏斗根部厚度不同，或許會產(chǎn)生非平面應力狀態(tài)，因此針對R=2 mm、W=6 mm、H=24 mm，厚度t為 0.5，0.8，1 mm的毫小薄片漏斗試樣模型，分別進行平面應力和三維條件下不同厚度的彈塑性模擬計算，計算的P-h曲線結(jié)果如圖6所示?？梢?，平面應力模型和不同厚度（分別為0.5，0.8，1mm）的三維模型計算得到的線載荷-位移（PL-h）曲線基本重合，其中PL=P·t-1，位移h等于軸向控制應變與引伸計標距段的乘積。說明針對厚度小于1mm的MSN型試樣可采用平面應力2D模型代替3D模型進行P-h曲線的準確獲取。由于自相似性，幾何比λ=3的SSN形試樣在厚度小于2.4 mm時也可采用平面應力2D模型代替3D模型準確獲取P-h曲線。給出3D模型（t=1 mm）漏斗根部沿厚度方向節(jié)點的εeq和σeq分布，如圖7和圖8所示。沿厚度方向節(jié)點的εeq和σeq較平均值相差不超過1%。

圖7 3D模型漏斗根部沿厚度方向節(jié)點等效應變分布

圖8 3D模型漏斗根部沿厚度方向節(jié)點等效應力分布

同一加載位移下，漏斗根部節(jié)點εeq相同時，將平面應力2D模型漏斗根部節(jié)點的等效應力（σeq）與3D模型漏斗根部沿厚度方向等效應力的平均值進行比較如圖9所示，可見兩者相差不超過1.2%。

圖9 漏斗根部節(jié)點等效應變相同時平面應力2D模型和3D模型σeq計算結(jié)果

因此，可采用平面應力2D模型實現(xiàn)薄板試樣漏斗根部等效應力和等效應變的精確計算。

圖10給出了毫小薄片漏斗試樣有限元模型漏斗根部節(jié)點在加載過程中3向主應力的變化規(guī)律?？梢姡?主應力和第3主應力等于零（σ2=σ3=0），第1主應力（σ1）隨載荷的增加而增加，可知在應變范圍[0，0.7]內(nèi)，漏斗根部處于單軸應力狀態(tài)。由式（1）可知，該點的Mises等效應力σeq等于第1主應力σ1（σeq=σ1）。

圖10 漏斗根部三向應力狀態(tài)

2 循環(huán)應力-應變關(guān)系模型

2.1 基于能量法建立循環(huán)應力-應變關(guān)系模型

毫小薄片漏斗低循環(huán)試驗中，材料局部塑性與含裂紋構(gòu)件的小范圍屈服大致相當，故選用對屈服區(qū)描述較好的Ramberg-Osgood（R-O）應力-應變關(guān)系模型[17]：

式中：ε、εe、εp——總應變、彈性應變、塑性應變；

σ——總應力；

E——彈性模量；

K——應力強化系數(shù)；

n——應力硬化指數(shù)。

對于符合Ramberg-Osgood模型的材料，其變形可參考應變的方式分解為彈性變形和塑性變形兩個部分的疊加：

式中：he——彈性位移；

hp——塑性位移。

假設(shè)材料發(fā)生彈性變形所產(chǎn)生的彈性應變能Ue滿足如下能量分離函數(shù)：

式中：f1（E）——材料函數(shù)；

f2（ξ）——幾何變形域函數(shù)；

f3（he）——變形函數(shù)；

α0——彈性等效變形體積系數(shù)；

ξ——變形域的特征體積；

h′——等效位移。

考慮到ξ=A′h′，A′為有效特征面積。 由功能原理和卡氏定理，可得：

若材料發(fā)生塑性變形所耗散的塑性應變能Up也滿足能量分離，則也可假定能量分離函數(shù)如下：

式中：φ1（K，n）——材料函數(shù)；

φ2（ξ）——幾何變形域函數(shù)；

φ3（hp，n）——變形函數(shù)；

α1——塑性等效變形體積系數(shù)；

α2——等效應變系數(shù)。

由功能原理和卡氏定理得：

為便于歸一化表達，令尺寸比λ=W/R。假設(shè)毫小薄片漏斗試樣的變形域Ω高度為L，如圖11所示，高度為L的模型體積完全包含整個變形域Ω范圍。假定變形域的特征體積ξ與圖11所示的模型體積ξ模型之比為ρ，即：

圖11 薄片漏斗試樣低周疲勞試驗的變形域Ω

ξ經(jīng)過有限元標定得出，當L=5W/6，ρ=R/（L-2R）時，能使得不同尺寸的幾何構(gòu)形試樣的P*-h*曲線均重合良好。圖12給出了同一彈塑性應力-應變關(guān)系、不同λ的幾何構(gòu)形P*-h*曲線有限元結(jié)果。此時：

圖12 不同幾何構(gòu)形的P*-h*曲線

結(jié)合式（3）、式（5）、式（7）和式（9）可以得到：

通過給定彈性模量E=195GPa，泊松比ν=0.3，針對λ分別為 3.0，3.5，4.0，4.5，5.0 的 5 種 MSN 型試樣各進行一次純彈性計算標定出彈性等效變形體積系數(shù)α0，如表4所示。

通常符合Ramberg-Osgood應力-應變關(guān)系模型的金屬，其應變強化系數(shù)K取為100～3000MPa，應變硬化指數(shù)的倒數(shù)1/n取為0.1～0.5。因此針對λ分別為 3.0，3.5，4.0，4.5，5.0 的 5 種毫小薄片漏斗試樣幾何構(gòu)形、18 種不同材料 （K=100，1000，3000MPa，1/n=0.1，0.125，0.2，0.3，0.4，0.5）進行彈塑性有限元計算標定出塑性等效變形體積系數(shù)α1、等效應變系數(shù)α2，如表 4 所示。

表4 循環(huán)應力-應變關(guān)系模型參量

如圖13所示，循環(huán)應力-應變關(guān)系模型參量隨λ的變化規(guī)律滿足：

其中，a0～a4、b0～b4、c0～c4為常數(shù)系數(shù)，如表 5 所示。 當毫小薄片漏斗試樣的λ位于 3～5 時，α0、α1、α2可通過插值得到。

2.2 循環(huán)應力-應變關(guān)系模型的有限元驗證

2.2.1 正向預測

圖13 循環(huán)應力-應變關(guān)系模型參量隨λ的變化規(guī)律

表5 式（10）中參數(shù)

圖14 P-h曲線的有限元計算和模型預測結(jié)果

基于已經(jīng)建立的循環(huán)應力-應變關(guān)系預測方程，根據(jù)式（5）、式（7）、式（9）對不同已知冪律硬化材料的載荷-位移曲線進行預測。針對λ=3～5的薄片漏斗試樣進行了大量有限元計算驗證，驗證材料的應變強化系數(shù)K=100～3000MPa，應變強化系數(shù)的倒數(shù)1/n=0.1～0.5，模型材料的范圍基本涵蓋大部分金屬材料。圖14給出了5種情況下有限元計算的P-h曲線（FEA）和模型方程預測的結(jié)果，可見，P-h曲線的公式預測結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合良好。事實上，共15種不同λ和K組合下，6種應變硬化指數(shù)材料（共80種材料）的有限元計算和公式預測結(jié)果均吻合。

圖15 循環(huán)應力應變曲線的模型預測和有限元輸入曲線對比

2.2.2 反向預測

取對彈塑性冪律材料，通過線性P=ηhe擬合λ=3～5的毫小薄片漏斗試樣循環(huán)穩(wěn)定階段的P-he曲線，就可以由式（12）得到該材料的彈性模量E，由hp=h-he得到P-hp曲線，對P-hp曲線進行冪率P=βhpγ擬合。由于γ與n呈線性關(guān)系，β與K呈線性關(guān)系，可由式（12）得到該材料的塑性參量K、n。

其中η、β、γ為擬合系數(shù)。

針對λ=3～5的薄片漏斗試樣進行了大量有限元計算驗證，驗證材料的應變強化系數(shù)K=100～3000MPa，應變強化系數(shù)的倒數(shù)1/n=0.1～0.5，有限元計算得到的P-hp曲線，由式（12）預測循環(huán)應力-應變關(guān)系如圖15所示。

由圖15可知，通過循環(huán)應力-應變關(guān)系模型反向預測的循環(huán)應力-應變關(guān)系和輸入有限元的初始應力-應變關(guān)系吻合良好。

3 316L不銹鋼低循環(huán)試驗及結(jié)果比較

完成SRB型試樣的應變對稱變幅低循環(huán)試驗，得到循環(huán)穩(wěn)定軸向應力-軸向應變滯回曲線。經(jīng)對稱化處理后如圖16所示。根據(jù)GB/T 15248——2008獲得316 L不銹鋼的循環(huán)應力-應變關(guān)系（εc-σc）如圖17所示。

針對MSN型和SSN型兩類共6種尺寸的薄片漏斗試樣完成應變對稱變幅低循環(huán)試驗，其中MSN型試樣的控制位移幅為0.003～0.025 mm；5種尺寸SSN型試樣的控制應變幅為0.0005～0.005mm·mm-1。得到循環(huán)穩(wěn)定的線載荷-位移（PL-h）滯回曲線，經(jīng)過對稱化（使PL和h沿坐標軸對稱)處理后如圖18所示。圖中僅示出了MSN型和λ=3的SSN型薄片漏斗試樣的PL-h曲線。連接各級滯回曲線的頂點獲得316L不銹鋼低循環(huán)穩(wěn)定的線載荷-位移（PLc-hc）曲線作為循環(huán)應力-應變關(guān)系在不同幾何構(gòu)形下的表征，如圖19所示。

圖16 循環(huán)穩(wěn)定軸向σ-ε滯回曲線

圖17 316L不銹鋼的循環(huán)應力-應變關(guān)系

圖18 循環(huán)穩(wěn)定階段MSN型試樣和SSN型試樣實驗的PL-h曲線

圖19 6種構(gòu)形薄片漏斗試樣PLc-hc曲線

將6種構(gòu)形薄片漏斗試樣循環(huán)穩(wěn)定階段的線載荷-位移（PLc-hc）曲線用式（12）可以得到 316 L 不銹鋼的循環(huán)應力-應變關(guān)系。與SRB型試樣得到的循環(huán)應力-應變關(guān)系比較，如圖20所示，可以看出預測曲線與試驗曲線在較小分散帶內(nèi)。

圖21給出了采用循環(huán)應力-應變關(guān)系模型方程基于MSN試樣和不同λ值SSN試樣（各兩個）預測316L不銹鋼循環(huán)應力-應變關(guān)系的相對誤差圖。同一循環(huán)應變幅下，循環(huán)應力的相對誤差δ表明循環(huán)應力-應變關(guān)系模型方程預測的精度，δ越小表示預測越精準。δ的計算公式為

圖20 6種構(gòu)形薄片漏斗試樣循環(huán)應力-應變關(guān)系預測結(jié)果及對比

圖21 316L不銹鋼循環(huán)應力-應變關(guān)系預測誤差

式中i=1～6，1 表示 MSN 試樣、2～6 表示λ=3.0，3.5，4.0，4.5，5.0的 SSN 試樣。

可以看出，相對誤差δ基本在7%以內(nèi)，說明基于MSN試樣和不同λ值SSN試樣采用循環(huán)應力-應變關(guān)系模型針對SS 316L循環(huán)應力-應變關(guān)系的預測精度93%以上。那么，可采用新模型用于毫小薄片材料循環(huán)應力-應變關(guān)系的準確獲取。

4 結(jié)束語

1）創(chuàng)新設(shè)計了用于毫小薄板材料的低循環(huán)試驗的MSN型試樣和加載工裝。

2）提出了一種基于毫小薄片漏斗試樣循環(huán)穩(wěn)定階段的載荷-位移曲線預測材料循環(huán)應力-應變關(guān)系的原創(chuàng)性分析模型，在給定尺寸范圍內(nèi)，模型預測結(jié)果與有限元分析結(jié)果符合良好。

3）完成了316L不銹鋼SRB型試樣、MSN型試樣和5種尺寸下SSN型試樣應變對稱的變幅低循環(huán)試驗，獲得了316 L不銹鋼的循環(huán)應力-應變關(guān)系、MSN型試樣和SSN型試樣循環(huán)穩(wěn)定階段PLc-hc曲線。

4）應用新模型預測的6種幾何尺寸下316L不銹鋼薄片漏斗試樣的循環(huán)應力-應變關(guān)系和SRB型試樣試驗結(jié)果在較小分散帶內(nèi)。誤差分析表明，新模型預測精度在93%以上，從而試驗驗證了新方法的有效性。

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