呂書豪，張 磊

（河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300131）

0 引 言

液壓伺服位置系統(tǒng)是各種現(xiàn)代機(jī)械的重要組成部分，由于其質(zhì)量比高，響應(yīng)速度快[1]。常用于各種自動(dòng)化制造系統(tǒng)，如軋機(jī)的輥縫控制、航空航天飛行控制執(zhí)行器、汽車主動(dòng)懸架以及各種廣泛自動(dòng)化制造系統(tǒng)[2]。

液壓伺服系統(tǒng)的主要部件是泵、蓄能器、安全閥、伺服閥和液壓執(zhí)行器。蓄能器和安全閥分別增加和除去壓力管路中的流體，以保持供應(yīng)系統(tǒng)的壓力。伺服閥通過輸入電氣信號(hào)控制液壓執(zhí)行器的壓力和運(yùn)動(dòng)，液壓執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)負(fù)載，到達(dá)所需的位移、速度或負(fù)載的壓力。然而，固有的非線性特性[3]逐漸限制了系統(tǒng)性能的提升。

另外，建模不確定性[4]，包括參數(shù)不確定性和不確定性非線性（未建模的非線性，如外部干擾、泄漏和摩擦等）可能導(dǎo)致控制精度差甚至不穩(wěn)定[5-6]。

為提高具有非線性和不確定性液壓伺服系統(tǒng)的性能，已有研究提出先進(jìn)的非線性控制器，如基于誤差的自適應(yīng)符號(hào)積分魯棒控制[7]、自適應(yīng)魯棒控制[8]、自適應(yīng)反步控制[9]、反饋線性化控制[10]、基于擾動(dòng)觀測器的控制[11]等。這些非線性控制器在不確定的非線性液壓系統(tǒng)中解決了控制問題，且得到了實(shí)測驗(yàn)證。與傳統(tǒng)的線性控制器相比，盡管這些控制技術(shù)在提高控制性能方面是有效的，但都在不同程度上依賴被控對(duì)象或事先需要明確不確定性和擾動(dòng)。

通常，由于難以直接測量摩擦和負(fù)載的干擾，因此需要采用自適應(yīng)或估計(jì)算法來估計(jì)干擾。前人的研究[12]中通常使用了包含噪音測量信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。

本文從工程角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一種基于ASD方法的控制器，該控制器簡單可靠，能夠保證軋機(jī)液壓伺服位置跟蹤系統(tǒng)最終有界穩(wěn)定且具有良好的魯棒性和平穩(wěn)的控制輸入。最后通過仿真驗(yàn)證了該控制器能夠滿足控制要求。

1 液壓伺服位置系統(tǒng)模型描述

所研究的液壓伺服系統(tǒng)的控制方案如圖1所示。圖中xd為位置期望值，xp為位置反饋值。

液壓缸力平衡方程[13]可以表示為

式中：m——上輥運(yùn)動(dòng)部件和柱塞的等效總質(zhì)量；

xp——負(fù)載的位移量（增/減對(duì)應(yīng)于軋機(jī)輥縫的減/增）；

P1、P2——液壓缸兩腔的壓力；

A1、A2——兩腔的有效面積；

bp——粘性摩擦系數(shù)；

圖1 軋機(jī)液壓伺服位置控制方案

ks——負(fù)載彈性剛性系數(shù)；

fd（t）——作用在柱塞上的外負(fù)載力。

其中P1和P2可以表示為

式中液壓缸兩腔有效面積比n=A2/A1，Ps是供油壓力。

不考慮外部泄漏，執(zhí)行器的流量方程[14]可以表示為

式中：V1（t）=V10+A1xp——活塞無桿腔的總控制體積；

V2（t）=V20-A2xp——活塞有桿腔的總控制體積；

V10、V20——兩腔的初始控制體積；

βe——有效彈性模量；

Q1、Q2——流入無桿腔和流出有桿腔的流量；

Ct——執(zhí)行器的內(nèi)部泄露系數(shù)。

Cd、w——伺服閥流量系數(shù)和面積梯度；

ρ——液壓油密度；

xv——閥芯位移；

Pr——回油壓力。

考慮到研究中使用的伺服閥的響應(yīng)特性比執(zhí)行器的運(yùn)行頻帶高得多，伺服閥的線性模型可以表示為

式中：kxv——伺服閥增益；

u——控制輸出。

結(jié)合式（6）、式（7），可以得到：

對(duì)于系統(tǒng)模型（11），針對(duì)具有各種建模，參數(shù)不確定性和未知外部擾動(dòng)的情況下，目標(biāo)是使用合適的控制器輸出u使慣性負(fù)載位置xp能夠跟蹤特定的運(yùn)行軌跡。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 問題描述

軋機(jī)液壓伺服系統(tǒng)模型改寫成誤差模型。首先假定位置期望值xd有界，并且存在且有界。

通過引用文獻(xiàn)[16]，式（12）中的e˙可以使用如下形式表示：

假設(shè)式（13）可控，則矩陣 K∈R3×1總是可以滿足A+BKT是穩(wěn)定的。則：

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的控制器u使系統(tǒng)狀態(tài)趨于一個(gè)很小的值，或者在時(shí)變擾動(dòng)情況下，當(dāng)t→∞ 時(shí)，e→0。

2.2 ASD動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)

ASD原理是將一個(gè)非線性系統(tǒng)分解為兩個(gè)子系統(tǒng)：1）線性時(shí)不變的主系統(tǒng)，包含所有期望和擾動(dòng)信號(hào)；2）不包含期望和擾動(dòng)信號(hào)的次系統(tǒng)[17]。通過ASD，液壓伺服系統(tǒng)首先轉(zhuǎn)換為一個(gè)不確定自由的系統(tǒng)，但是擾動(dòng)都集中在輸出上，然后針對(duì)這個(gè)轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)態(tài)逆方法；分析最終閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

2.2.1 定義輸出矩陣

基于矩陣 A+BKT，重新定義輸出矩陣C∈R3×1。

式中 Λ=diag（λ1，λ2，λ3），其中λ1，λ2，λ3為（A+BKT）T的特征值。

定義新的輸出y=CTe，則其導(dǎo)數(shù)可以表示為

新的輸出矩陣C使得從u到y(tǒng)的單入單出系統(tǒng)變?yōu)樽钚∠辔幌到y(tǒng)。因此，有y→0就有e→0，那么就有動(dòng)態(tài)逆控制y→0。

2.2.2 加性狀態(tài)分解

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)（16）為原始系統(tǒng)。主系統(tǒng)選為

定義一個(gè)次系統(tǒng)輸出ys可以表示為

從原始系統(tǒng)和主系統(tǒng)推導(dǎo)出次系統(tǒng)為

定義傳函：

式中I1為單位矩陣。

重新整理式（16）～式（19）可得：

其中dl的拉普拉斯轉(zhuǎn)換為

這是集中擾動(dòng)，es是次系統(tǒng)的狀態(tài)。

式（21）可以以傳函形式重寫為

dl集中擾動(dòng)包括不確定性、擾動(dòng)和輸入。由于上式中y和yp（s）=G（s）u（s）已知，那么集中擾動(dòng)可以表示為

通過ASD控制，目標(biāo)轉(zhuǎn)換為：針對(duì)式（22）設(shè)計(jì)一個(gè)有界控制器u使得輸出y最終在很小的一個(gè)范圍內(nèi)，或者在時(shí)變不確定下，當(dāng)t→∞就有y（t）→0。

2.2.3 動(dòng)態(tài)逆控制

通過ASD，不確定系統(tǒng)（13）首先轉(zhuǎn)為不確定自由系統(tǒng)（22），針對(duì)系統(tǒng)（22），因?yàn)镚是最小相位和已知的，動(dòng)態(tài)逆追蹤控制器設(shè)計(jì)表述如下：

但控制器（24）因?yàn)榉肿拥碾A數(shù)比分母的階數(shù)高，所以不能實(shí)現(xiàn)。在這里引入低通濾波矩陣Q（s）=1/（εs+1），其中ε＞0可以看做一個(gè)奇攝動(dòng)參數(shù)。 控制器（24）變?yōu)?/p>

將式（23）代入式（25），即可得到 PI形式控制器：

式中 CTe作為輸入，只要det（CTB）≠0，那么此控制器就可實(shí)現(xiàn)。至此完成了基于ASD方法的控制器設(shè)計(jì)。

3 系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證所給出方案的有效性，本文采用Matlab對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，以某1450mm四輥可逆軋機(jī)為例。仿真中的主要物理參數(shù)如表1所示。

假設(shè)油缸期望位置xd=1 cm，初始條件為e（0）=[0.01 0 0]，fd（t）表示作用于柱塞上的慢時(shí)變外負(fù)載力，fd（t）=106+105sin（0.4πt）N，則d（t）=f˙d（t）/m=83.8cos（0.4πt）N。

利用以上得到的數(shù)據(jù)，對(duì)軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)進(jìn)行仿真，將結(jié)果與傳統(tǒng)PID控制器獲得的結(jié)果進(jìn)行比較。所有的測試都是在相同的條件下進(jìn)行的，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。圖2顯示了ASD控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)位置，實(shí)際位置和跟蹤誤差,可以看出具有優(yōu)異的瞬態(tài)特性，跟蹤誤差在0.15s時(shí)間內(nèi)快速趨向于0，具有良好的跟蹤性能。圖3顯示出在相同條件下，傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)跟蹤效果不如ASD控制效果?？紤]到功率最小化是控制系統(tǒng)的基本標(biāo)準(zhǔn)，從圖4可以看到ASD控制器輸出一個(gè)非常低的振幅和相當(dāng)平滑的控制輸入信號(hào)；而傳統(tǒng)PID控制器需要更多的功率來實(shí)現(xiàn)跟蹤。圖5為ASD控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)的跟蹤誤差速度?？梢钥闯?，ASD控制系統(tǒng)瞬態(tài)狀態(tài)非常好，持續(xù)時(shí)間小于0.1s。仿真結(jié)果表明了ASD控制器可以保證系統(tǒng)信號(hào)有界及系統(tǒng)的狀態(tài)可以收斂到原點(diǎn)附近的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了ASD方法的有效性。

表1 1450mm四輥可逆軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)主要物理參數(shù)

圖2 ASD控制系統(tǒng)位置及跟蹤誤差

圖3 PID控制系統(tǒng)位置及跟蹤誤差

圖4 控制器輸入

圖5 跟蹤誤差速度

4 結(jié)束語

本文針對(duì)具有參數(shù)不確定性、非線性模型和狀態(tài)不可測的軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)，提出一種基于ASD動(dòng)態(tài)逆的控制算法，最后通過理論和仿真說明了在外部負(fù)載擾動(dòng)大幅度變化和不確定性因素對(duì)系統(tǒng)的影響下，該控制器可以保證系統(tǒng)位置跟蹤精度，滿足軋機(jī)對(duì)液壓伺服位置系統(tǒng)的要求。下一步將在軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，研究軋機(jī)厚度控制系統(tǒng)，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。

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