沈東蕓+王向東

摘 要： 由于競賽數(shù)學和高考制度的改革，高考數(shù)學與競賽數(shù)學的聯(lián)系越來越緊密，出現(xiàn)了很多以競賽數(shù)學為背景命制的高考題.本文以2017年高考數(shù)學浙江卷壓軸題——數(shù)列問題為例，探究其競賽背景及二者的區(qū)別和聯(lián)系，以及給出數(shù)列這一模塊知識的教學啟示.

關(guān)鍵詞： 高考題；競賽數(shù)學；數(shù)列

一、 引言

競賽數(shù)學是指主要研究IMO試題、IMO候選題和各國各類競賽題的體系，涉及幾何、數(shù)論、代數(shù)、組合這幾個模塊的知識，重點考查學生的數(shù)學能力.近年來，一些競賽試題已經(jīng)滲透到高中數(shù)學試題中，特別是高考數(shù)學題.例如，筆者在2017年的數(shù)學高考卷中發(fā)現(xiàn)浙江卷文理科壓軸題就有濃厚的競賽數(shù)學背景.這道壓軸題是有關(guān)數(shù)列的問題，數(shù)列問題作為高中數(shù)學和競賽數(shù)學的重點問題，筆者認為有必要對高考題和競賽題中的數(shù)學問題進行研究.因此，本文以2017年高考數(shù)學浙江卷壓軸題為例，對其競賽數(shù)學背景進行分析.

二、 問題及其背景分析

問題1 （2017·高考數(shù)學浙江卷理科第22題） 已知數(shù)列{an}滿足：

x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈ N *）.證明：當n∈ N *時，

（1）0

（2）2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ；

（3） 1 2n-1 ≤xn≤ 1 2n-2 .

解析： （1）用數(shù)學歸納法證明.（2）略.

（3）由2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ，得 1 2n+1xn+1 ≥ 1 2nxn - 1 2 n+2.

將 1 2nxn ≥ 1 2n-1xn-1 - 1 2 n+1，...， 1 22x2 ≥ 1 21x1 - 1 2 2累加，得 1 xn ≥2n-2+ 1 2 >2n-2，

所以xn≤ 1 2n-2 ，右邊得證.

又因為ln（1+xn+1）≤xn+1，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤2xn+1，即 xn+1 xn ≥ 1 2 ，

因此 xn x1 = xn xn-1 · xn-1 xn-2 ·…· x2 x1 ≥ 1 2n-1 ，左邊得證。

問題2 （2011·全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北省預(yù)賽） 已知數(shù)列

{an}滿足：a1= 1 3 ，an+1=an+ a2n n2 ，n∈ N *.證明：對一切n∈ N *，有（1）an 1 2 - 1 4n .

解析： （1）由題意易知，an>0，故an+1-an= a2n n2 >0，從而an+1=an+ a2n n2 - 1 n2 .

當n≥2時，將 1 an - 1 an-1 >- 1 （n-1）2 ，…， 1 a2 - 1 a1 >- 1 12 這（n-1）個式子相加，得

1 an - 1 a1 >-2+ 1 n-1 ，從而 1 an >1+ 1 n-1 >1，因此an<1；

又a1= 1 3 <1，故an

（2）略.

比較以上問題1和問題2，從中可以看出兩道試題的問題主干結(jié)構(gòu)是一樣的，只是給出的條件類型不一樣；其中問題1的（1）、（3）小題就是取材于問題2的2個小題.雖然問題結(jié)構(gòu)很相似，但是解法有所不同.例如在問題1的第（1）題中用數(shù)學歸納法證明0

三、 教學啟示

數(shù)列問題既是重點也是難點，題目靈活多變，而且很多數(shù)列高考題都具有競賽數(shù)學背景.近年來，浙江卷都是以數(shù)列問題作為壓軸題，題目難度不小.因此，對高中數(shù)學教師在數(shù)列這一知識模塊的教學提出了更高的要求，筆者認為：第一，高中教師要豐富自己的知識體系，要掌握競賽數(shù)學中數(shù)列問題的類型、解法以及所涉及的數(shù)學思想方法，能將競賽中和高考中的數(shù)列問題建立聯(lián)系，也能看到他們的區(qū)別；第二，在教學進度和教學大綱允許的基礎(chǔ)上，在教學過程中根據(jù)學生對知識點的理解情況，立足基礎(chǔ)，逐漸滲透一些具有競賽數(shù)學背景的數(shù)列綜合性、探究性問題；第三，由于這類型問題難度系數(shù)大，因此教師要善于將這些數(shù)列問題進行歸類，常用的數(shù)列性質(zhì)、總結(jié)解題方法以及注重各種數(shù)學思想方法的培養(yǎng).

作者簡介：

沈東蕓，王向東，廣東省佛山市佛山科學技術(shù)學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院。