肖紅

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001年版）》要求學(xué)生能從較復(fù)雜的圖形中分解出

基本圖形，通過(guò)比較、綜合、歸納、模擬，運(yùn)用典型的數(shù)學(xué)思維方法，經(jīng)歷典型的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程，構(gòu)建基本圖形的數(shù)學(xué)模型，從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力?；诖?，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何通過(guò)練習(xí)和圖形建模，培育學(xué)生的觀察能力、分析能力、動(dòng)手能力乃至創(chuàng)新思維，是值得關(guān)注的重要課題。本研究試圖通過(guò)圖形建模教學(xué)和訓(xùn)練，回應(yīng)上述問(wèn)題，并從中找到解決問(wèn)題的突破口。筆者通過(guò)對(duì)課本例題和習(xí)題深入挖掘，通過(guò)一題多變、一題多解、多題一解，探求其中的聯(lián)系或規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：幾何習(xí)題課；圖形建模；三角形；建模構(gòu)建

一、 問(wèn)題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001年版）》中把“空間觀念”作為義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的一個(gè)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，通過(guò)比較、綜合、歸納、模擬，運(yùn)用典型的數(shù)學(xué)思維方法，經(jīng)歷典型的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程，構(gòu)建基本圖形的數(shù)學(xué)模型，從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何都有這樣的感受：幾何題浩如煙海且千變?nèi)f化，有些學(xué)生概念、公理、定理背得爛熟，但一解題往往不知從何下手；有些學(xué)生聽老師講題明明白白，可自己動(dòng)手解題卻又無(wú)計(jì)可施；有些學(xué)生題做了不少，但一見難題又一籌莫展，總之他們都有這樣的感慨：怎樣才能學(xué)好幾何呢？有什么好的方法嗎？新課教學(xué)受到每一位老師的重視，而且有很多的教學(xué)模式可以借鑒。對(duì)于習(xí)題課教學(xué)需要老師自己去構(gòu)思去收集，每個(gè)老師有每個(gè)老師的思維和方法，沒(méi)有什么固定的教學(xué)模式，可謂是百花齊放各顯神通。習(xí)題課教學(xué)不僅僅是根據(jù)新課知識(shí)解題做題，更重要的是解決問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在幾何習(xí)題課教學(xué)中始終貫穿基本圖形建模有利于學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)造思維，熟練掌握基本圖形模型才能更好地從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形或者通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建基本圖形從而打開突破口，才不會(huì)在遇到復(fù)雜圖形時(shí)一籌莫展。如何進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)？如何在幾何習(xí)題課教學(xué)中進(jìn)行基本圖形建模？都是值得我們每一位老師研究的問(wèn)題。下面我從課本一道題延伸開來(lái)探討幾何習(xí)題教學(xué)中基本圖形建模的一種思路。

二、 基本圖形建模的過(guò)程與設(shè)計(jì)

首先立足課本，從課本習(xí)題入手引入問(wèn)題，再通過(guò)對(duì)習(xí)題的變式、遷移、拓展進(jìn)行類比探究尋找規(guī)律發(fā)散思維，從而探尋在正方形中構(gòu)建等腰直角三角形、在等邊三角形中構(gòu)建等邊三角形、在一般圖形中構(gòu)建等腰三角形并且同時(shí)構(gòu)建全等三角形、相似三角形基本圖形模型的思維和方法。

（一） 引入：從課本習(xí)題入手

在八年級(jí)下冊(cè)課本上有這樣一道題：

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)?！螦EF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

分析：經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M或者在AB上截取BM=BE，連接ME，則△BME是等腰直角三角形，從而得AM=EC和∠AME=∠ECF=135°，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF。

設(shè)計(jì)意圖：回歸教材，熟悉教材，尋求知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和知識(shí)的應(yīng)用信息。

（二） 變式訓(xùn)練：一題多變，改變條件改變圖形但思維方式不變

1. 從特殊到一般第一變——將“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，在圖1基礎(chǔ)上，作進(jìn)一步的研究：

小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：類比圖1的證明，只需要得到AM=EC，而要得到AM=EC，可以直接截取AM=EC，再證明△BME是等腰直角三角形，或者在AB上截取BM=BE，連接ME，則△BME是等腰直角三角形，從而證明∠AME=∠ECF=135°；也可以直接作等腰直角△BME，從而得到

∠AME=∠ECF=135°，再證明AM=EC。然后易證△AME≌△ECF，所以AE=EF.

2. 從特殊到一般第二變——將 “點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)”。

在圖2的基礎(chǔ)上，再作進(jìn)一步的研究：

小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立。你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：類比圖2的證明，依然是以BE邊構(gòu)造等腰直角三角形或者說(shuō)是要得到AM=EC，所不同的是證明△AME≌△ECF時(shí)用到的是∠AME=∠ECF=45°而不是135°。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)進(jìn)行變式訓(xùn)練，看似圖形在發(fā)生變化，但基本圖形模型沒(méi)變，都是以BE邊構(gòu)造等腰直角三角形，思維和方法也沒(méi)變，都是構(gòu)造全等三角形，證明△AME≌△ECF從而讓學(xué)生在遇到此問(wèn)題時(shí)能很快找到切入口。

（三） 歸納：歸納知識(shí)點(diǎn)和歸納基本圖形模型

由此題歸納相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在具體應(yīng)用中理解和掌握相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)和領(lǐng)悟相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用，并建立相應(yīng)基本圖形的模型，以便在復(fù)雜圖形中能很快剝離出基本圖形模型。

問(wèn)題1：正方形邊角有哪些性質(zhì)？

正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。

問(wèn)題2：等腰直角三角形有哪些性質(zhì)？

等腰直角三角形的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都等于45°。

問(wèn)題3：在正方形內(nèi)如何構(gòu)造等腰直角三角形？endprint

基本圖形模型1：在正方形內(nèi)任意作對(duì)角線的平行線與正方形的兩邊相交所構(gòu)成的三角形都是等腰直角三角形；或者在相鄰的兩邊上截取相等的線段所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形。

如圖4，正方形ABCD中，MN∥AC，則△BMN是等腰直角三角形；

或者在AB、BC上分別截取BM=BN，則△BMN是等腰直角三角形。

通過(guò)對(duì)正方形知識(shí)點(diǎn)的歸納掌握作平行線或者截取構(gòu)建等腰直角三角形的基本圖形模型。

（四） 遷移：尋找規(guī)律性——將正方形變?yōu)榈冗吶切?/p>

4. 如圖，已知△ABC為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)C的直線a∥AB，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線a上一點(diǎn)，且∠ADE=60°。

（1） 若D在BC上（如圖5），求證：CD+CE=CA。

（2） 若D在CB的延長(zhǎng)線上（如圖6），CD，CE，CA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出你的結(jié)論并證明。

（3） 若D在BC的延長(zhǎng)線上（如圖7），CD，CE，CA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出你的結(jié)論并證明。

分析：此題隨著點(diǎn)D的移動(dòng)，圖形看似發(fā)生了變化，但基本圖形的模型沒(méi)變，都是以BD邊構(gòu)造等邊三角形△BDF，然后構(gòu)造全等三角形，證明△AFD≌△DCF。

說(shuō)明：此題把正方形變成了等邊三角形，把∠AEF=90°變成了∠ADE=60°，把CF是正方形外角平分線變成了a∥AB，其實(shí)也是等邊三角形的外角平分線。此題的證明方法和圖2、圖3的證明類似，完全可以仿照上面的題來(lái)做，不同點(diǎn)在于根據(jù)圖形的變換把90°的角換成了60°的角，把135°的角換成了120°的角，把45°的角變成了60°的角，把構(gòu)造等腰直角三角形變成了構(gòu)造等邊三角形。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圖形的改變，將知識(shí)進(jìn)行類比和遷移，但構(gòu)建思維和方法沒(méi)變，從而類比構(gòu)建新的基本圖形模型，達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通。

歸納知識(shí)點(diǎn)：

1. 類比正方形，等邊三角形的邊和角有哪些性質(zhì)？

等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)角都相等，都等于60°。

2. 類比正方形，在等邊三角形內(nèi)如何構(gòu)造等邊三角形？

基本圖形模型2：在等邊三角形內(nèi)任作一條邊的平行線與另外兩邊相交所成的三角形都是等邊三角形。

如圖8，等邊三角形ABC中，MN∥AC，則△BMN是等邊三角形。

或者在AB、BC上分別截取BM=BN，則△BMN是等邊三角形。

通過(guò)對(duì)等邊三角形知識(shí)點(diǎn)的歸納掌握作平行線或者截取構(gòu)建等邊三角形的基本圖形模型。

（五） 變通拓展與發(fā)散思維：將等邊三角形變?yōu)榈妊切?/p>

5. 如圖9，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在DC上，且∠BEF=∠A。

（1） ∠BEF= （用含α的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)AB=AD時(shí)，猜想線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）當(dāng)AB≠AD時(shí)，將“點(diǎn)E在AD上”改為“點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且AE>AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他條件不變（如圖10），求EBEF的值（用含m，n的代數(shù)式表示）。

分析：（2）中連接BD，因?yàn)锳B=AD，所以△ABD是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BD交AB于G或者在AB上截取AG=AE，連接EG，以AE為邊構(gòu)造等腰三角形△AGE，然后證明△BGE≌△EDF

（3）中延長(zhǎng)AB至G，使AG=AE，連接EG，同樣是以AE為邊構(gòu)造等腰三角形△AGE，然后證明△BGE∽△EDF，從而BEEF=BGDE。

基本圖形模型3：作等腰三角形底邊的平行線和另外兩邊或者兩邊的延長(zhǎng)線相交可以得到新的等腰三角形。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)題組的形式在不同圖形中進(jìn)行點(diǎn)的移動(dòng)，構(gòu)建基本圖形模型，讓學(xué)生易于接受，并且印象深刻，第一題組都是構(gòu)建等腰直角三角形和全等三角形，第二題組都是構(gòu)建等邊三角形和全等三角形，第三題組都是構(gòu)建等腰三角形和全等三角形或相似三角形，雖然圖形在發(fā)生變化，但構(gòu)建方法卻沒(méi)變，都是通過(guò)作平行線或者通過(guò)截取來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形或者等邊三角形或者等腰三角形，從而構(gòu)建全等三角形或者相似三角形，通過(guò)基本圖形建?？梢宰寣W(xué)生很好地掌握所學(xué)知識(shí)，并且能夠舉一反三，融會(huì)貫通，從而達(dá)到知識(shí)的靈活應(yīng)用。

三、 總結(jié)反思

通過(guò)以上探究基本圖形建模的過(guò)程，我個(gè)人認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)反思：

（一） 要在課本例題、習(xí)題上下工夫

如果學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)沒(méi)有興趣，那么就會(huì)視學(xué)習(xí)為一種苦役，也就不可能心情愉快地進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過(guò)幾何基本圖形的建模，讓學(xué)生進(jìn)行識(shí)圖，看到這樣的條件就想到什么樣的基本圖形，從細(xì)節(jié)出發(fā)逐步深入，并能對(duì)基本圖形的推理做到條理清晰，自然就不會(huì)對(duì)幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦。通過(guò)對(duì)例題的剖析，習(xí)題的處理找到其規(guī)律，鞏固基本理論，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)和基本技能訓(xùn)練。要對(duì)課本例題和習(xí)題深入挖掘，通過(guò)一題多變、一題多解、多題一解，尋找規(guī)律，發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

（二） 要全面深入地了解學(xué)生

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要深入了解學(xué)生，了解學(xué)生的學(xué)情，有針對(duì)性地確定難點(diǎn)，要細(xì)心觀察每一個(gè)學(xué)生的行為習(xí)慣和學(xué)生的思想表現(xiàn)以及了解學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)的儲(chǔ)備情況，對(duì)所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，對(duì)數(shù)學(xué)概念是否真正理解，定理能否證明，對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用水平如何，能否獨(dú)立完成作業(yè)，通過(guò)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)活動(dòng)了解學(xué)生思維的靈活性和思維的全面性以及思維的創(chuàng)造性。通過(guò)平面幾何的學(xué)習(xí)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建基本圖形的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路，學(xué)生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)。endprint

（三） 需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納與整理

由于學(xué)生學(xué)習(xí)的課程多、時(shí)間長(zhǎng)，很難將支離破碎的知識(shí)連成整體，只見樹木、不見森林，導(dǎo)致運(yùn)用知識(shí)的能力不強(qiáng)，所以，無(wú)論哪一種類型的習(xí)題課，都要將所學(xué)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行歸納、整理，進(jìn)行縱、橫向聯(lián)系，進(jìn)而優(yōu)化所學(xué)的知識(shí)，使其系統(tǒng)化、科學(xué)化。另外，根據(jù)習(xí)題的情況，抓住共性的問(wèn)題，有針對(duì)性地對(duì)知識(shí)內(nèi)容、解題策略、思想方法進(jìn)行歸納，把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能以“同化”、“順應(yīng)”或“平衡”的形式納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)更好地理解、記憶和應(yīng)用。引導(dǎo)學(xué)生從多種角度認(rèn)識(shí)圖形的形狀、大小、變換和位置關(guān)系，加強(qiáng)幾何建模以及探究過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)和空間觀念。

（四） 注重培育思維方式和探求規(guī)律

在重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上還需要進(jìn)行一定的綜合訓(xùn)練，綜合題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難度大，所以要思考試題主要考查什么知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)在理解時(shí)有哪些注意點(diǎn)，解題的突破口在哪里，哪種方法才是最佳解題途徑，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的辨別分析能力。在習(xí)題課教學(xué)中應(yīng)注意提煉數(shù)學(xué)思想及方法，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的應(yīng)用，這有利于學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，活化所學(xué)知識(shí)，深化思維層次，從而提高數(shù)學(xué)解題能力。幾何，作為邏輯推理的體系，要使學(xué)生學(xué)會(huì)“合乎邏輯地思考”，幾何模型不僅為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學(xué)生獲得相應(yīng)的知識(shí)和技能，而且為學(xué)生自主探索圖形的性質(zhì)提供了方便，有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力。幾何基本圖形的建模有助于對(duì)于幾何綜合題，能從復(fù)雜的圖形中很快地分離出基本圖形或者能很快地找到基本圖形的輔助線，從而尋找到思路，找到解決問(wèn)題的突破口。

四、 結(jié)語(yǔ)

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要課型，是新授課的重要補(bǔ)充。它不僅能有效地增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，特別是創(chuàng)新思維能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，而且可以促進(jìn)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念的形成。習(xí)題課教學(xué)可使學(xué)生在探究教師精心編制的習(xí)題過(guò)程中拓寬學(xué)習(xí)領(lǐng)域，進(jìn)一步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。通過(guò)本研究不僅可以讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更重要的一是可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過(guò)平面幾何的學(xué)習(xí)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建基本圖形的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路，學(xué)生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)。與數(shù)學(xué)的其他分支相比，幾何圖形的直觀形象為學(xué)生進(jìn)行自主探索、創(chuàng)新的活動(dòng)提供了更有利的條件。當(dāng)代數(shù)學(xué)家M.阿蒂亞先生指出：幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位……幾何直覺(jué)是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)。二是可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，如果學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)沒(méi)有興趣，那么就會(huì)視學(xué)習(xí)為一種苦役，也就不可能心情愉快地進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過(guò)幾何基本圖形的建模，讓學(xué)生進(jìn)行識(shí)圖，看到這樣的條件就想到什么樣的基本圖形，從細(xì)節(jié)出發(fā)逐步深入，并能對(duì)基本圖形的推理做到條理清晰，自然就不會(huì)對(duì)幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦。三是可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，《標(biāo)準(zhǔn)》中提倡以“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展、反思”的基本模式展現(xiàn)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從多種角度認(rèn)識(shí)圖形的形狀、大小、變換和位置關(guān)系，加強(qiáng)幾何建模以及探究過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)和空間觀念。四是可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，幾何，作為邏輯推理的體系，要使學(xué)生學(xué)會(huì)“合乎邏輯的思考”，幾何模型不僅為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學(xué)生獲得相應(yīng)的知識(shí)和技能，而且為學(xué)生自主探索圖形的性質(zhì)提供了方便，有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力。幾何基本圖形的建模有助于對(duì)于幾何綜合題，能從復(fù)雜的圖形中很快地分離出基本圖形或者能很快地找到基本圖形的輔助線，從而尋找到思路，找到解決問(wèn)題的突破口。本研究只是初中平面幾何基本圖形建模的冰山一角，還有眾多基本圖形模型有待探究和挖掘，有愿將在后面做進(jìn)一步的研究。endprint