王施偉+魯金川+江琪+史葉萍+周悅

摘 要： 線性空間和群論是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它們存在許多相似的地方。注意到線性空間關(guān)于加法成Abel群，所以群的某些性質(zhì)在線性空間中也應(yīng)成立。本文運(yùn)用群論中群的同態(tài)基本定理，證明線性空間中關(guān)于同構(gòu)的兩個性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：群論；同態(tài)基本定理；線性空間；同構(gòu)

一、 引言

線性空間是高等代數(shù)中重要的研究對象。群論是近世代數(shù)里的基本內(nèi)容，隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，線性空間和群論在數(shù)學(xué)研究中的作用越來越重要，現(xiàn)在已經(jīng)成為代數(shù)領(lǐng)域的重要研究工具。同時，線性空間和群論本身都是重要的研究對象。線性空間和群論存在許多相似的概念和定理。

王萼芳、石生明等學(xué)者對線性空間以及其上的重要概念做了很多研究，比如線性子空間、線性變換等，得到了許多重要結(jié)果。聶靈沼、丁石孫等學(xué)者對群及其上的重要概念和定理進(jìn)行了很多研究，如群同態(tài)基本定理、群同構(gòu)等，也得到了許多重要的結(jié)果。但是這些學(xué)者的研究方向大多是僅在線性空間或者是群上，并沒有將它們統(tǒng)一聯(lián)系起來。因此，為了更好地學(xué)習(xí)高等代數(shù)和近世代數(shù)以及找到高等代數(shù)和近世代數(shù)之間更深層的聯(lián)系，我們需要做進(jìn)一步的分析與研究。

本文通過線性空間與群論的對比，發(fā)現(xiàn)線性空間關(guān)于自身的加法成Abel群，所以群論中的相關(guān)性質(zhì)在線性空間中也應(yīng)成立，如群的同態(tài)基本定理等。

文獻(xiàn)[1]給出了線性空間上的重要概念和公式以及部分重要定理的證明。文獻(xiàn)[2]給出了群論中的重要概念、公式及相關(guān)重要定理的證明。

本文共分為兩個部分。第一部分，給出線性空間和群論的重要定義以及定理的概念。第二部分，給出本文的主要結(jié)果，即線性空間中關(guān)于同構(gòu)的兩個性質(zhì)，并用群論的相關(guān)結(jié)論給出證明。

二、 線性空間和群論的基本概念

本章中，我們會給出線性空間和群論的相關(guān)基本概念。

首先我們給出線性空間的定義。

參考文獻(xiàn)：

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（4版）[M].北京：高等教育出版社，2008：244-303.

[2]聶靈沼，丁石孫.代數(shù)學(xué)引論（2版）[M].北京：高等教育出版社，2016：23-60.

作者簡介：王施偉，魯金川，江琪，史葉萍，周悅，江蘇省南京市，南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院。endprint