張曉東，權(quán)曉波，王占瑩

（1.海軍裝備部，北京 100841；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

0 引 言

水下垂直發(fā)射航行體在水下運動過程中表面會形成含氣空泡，使得航行體流體動力呈現(xiàn)強非線性非定常特征[1]，并對航行體載荷和姿態(tài)造成重要影響。航行體表面空泡壓力是航行體載荷和運動參數(shù)設(shè)計的基礎(chǔ)，其特性的預示研究具有十分重要的意義。CFD方法是目前水下空泡繞流特征預示的主要研究手段之一，但該方法所需計算周期長、成本高，同時多相流數(shù)學模型局限性也對計算精度和可用性產(chǎn)生一定的影響。近年來，代理模型技術(shù)作為一種高效建模方法，為流體動力設(shè)計提供了可行的工程技術(shù)手段，是試驗設(shè)計、統(tǒng)計方法、優(yōu)化等多項技術(shù)的綜合應(yīng)用成果。權(quán)曉波等[2]采用代理模型方法對水下航行體頭型優(yōu)化設(shè)計進行了研究，有效提高了航行體頭型多目標優(yōu)化設(shè)計方法的效率；王惠等[3]基于代理模型開展了水下航行體空泡非定常發(fā)展預示方法研究，為空泡非定常發(fā)展設(shè)計提供了一種重要手段；馬洋等[4]也開展了運載器頭罩外形的代理模型方法優(yōu)化設(shè)計研究，溫慶國等[5]基于代理模型進行了魚雷外形阻力的單目標優(yōu)化，獲得較為滿意的魚雷外形。

代理模型是指在不降低精度的情況下利用已知的有限樣本點數(shù)據(jù)構(gòu)造一個計算量小、計算周期短但計算結(jié)果與數(shù)值分析或是物理實驗相近的數(shù)學模型。代理模型建立起輸入?yún)?shù)到輸出參數(shù)的快速響應(yīng)系統(tǒng)，可減小計算周期、降低實驗計算成本。代理模型方法種類較多，具有不同的特點且各有優(yōu)劣，F(xiàn)ang和Wang等[6]介紹了插值型代理模型的模型精度評估方法，并將擬合型代理模型的誤差評價函數(shù)應(yīng)用于插值型代理模型中；Romero等[7]分析研究了響應(yīng)面代理模型的模型精度評價方法，這些方法對擬合型代理模型都具有可借鑒之處。

空泡壓力峰值和空間分布特征與眾多物理因素相關(guān)，并且具有較強的非線性規(guī)律和特征。本文基于對空泡壓力特征影響因素研究[8]，采用目前在工程應(yīng)用上較為廣泛的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Kriging代理模型技術(shù)，分別建立了空泡壓力特征代理模型，并通過對不同代理模型預示分析及與試驗數(shù)據(jù)的比對，綜合兩種代理模型的理論優(yōu)缺點，進行了基于空泡壓力特征預示的代理模型的評估，為空泡繞流作用下航行體表面壓力預示提供了有效的手段。

1 代理模型技術(shù)

1.1 徑向基代理模型

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）[9]模型是一種利用離散多元數(shù)據(jù)來擬合未知函數(shù)的方法。其基本原理是以典型的徑向函數(shù)為基函數(shù)，以已知樣本點與未知待測點之間的歐氏距離作為徑向基函數(shù)的自變量，通過線性疊加徑向函數(shù)構(gòu)造出來的模型。

徑向基函數(shù)模型方法就是，找尋函數(shù)f（x），x∈Rn來近似n維變量實值函數(shù)F（x），函數(shù)f（x）用φ（r）作為基函數(shù)，φ（r）是由x與每一個數(shù)據(jù)點xi的徑向距離r決定的。該函數(shù)的基本思想是，首先確定一組樣本點 x=（x1，x2，xi，…，xm）， （i=1，2，…，m ），然后以這些樣本點為中心，以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過這些基函數(shù)的線性疊加來計算待測點x處的響應(yīng)值。通過歐氏距離，徑向基函數(shù)可以很容易地把一個多維問題轉(zhuǎn)化成以歐氏距離為自變量的一維問題。徑向基函數(shù)的基本形式如下，對于自變量x，其響應(yīng)值y可表示為：

式中：

徑向基函數(shù)模擬一般可表達如下：

用上式作為預測模型時，它要滿足如下的插值條件：

而后可以得到方程組：

式中：

（4）式Φβ=F在樣本點不重合，且函數(shù)φ（）r為正定函數(shù)時存在唯一解，即：

一個典型的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它由一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層組成，如圖1所示。它反映了系統(tǒng)的多輸入x∈Rn和多輸出y∈Rn之間的函數(shù)關(guān)系：f:x→。輸入節(jié)點只是傳遞信號到隱含層，輸出節(jié)點通常是簡單的線性函數(shù)。

圖1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of RBF neural network

隱含層節(jié)點是由一種是通過局部分布的、對中心點徑向?qū)ΨQ衰減的非負非線性函數(shù)構(gòu)成，常用的基函數(shù)有：高斯（徑向基）函數(shù)、多二次函數(shù)、逆多二次函數(shù)、反射Sigmoid函數(shù)等。

本文應(yīng)用的基函數(shù)是高斯（徑向基）函數(shù)，其形式為：

式中：cj為第j個隱藏層神經(jīng)元的中心；σ2為高斯函數(shù)的標準差為xk與cj之間的歐幾里得范數(shù)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第j個輸出可表示為：

式中：X為輸入向量；為第j個隱藏層神經(jīng)元到第i個輸出層神經(jīng)元的權(quán)值。整個RBF的性能取決于徑向基函數(shù)的中心和權(quán)值的選擇。

1.2 Kriging代理模型

Kriging代理模型是一種估計方差最小的無偏估計模型[3，10]。模型包含兩部分：多項式和隨機分布。

式中：β是回歸系數(shù)，f（x）T是變量x的n階多項式，隨機分布的誤差為z，其均值為0，方差為，具有如下統(tǒng)計特性：

式中：xi，xj為樣本中的任意兩點；R（ θ， x i，xj）是以θ為參數(shù)的相關(guān)模型，表示樣本的空間相關(guān)性。 本文選取的高斯相關(guān)函數(shù)表達式為：

式中：xik，xjk是樣本點xi，xj第 k 維元素。

對于m維初始樣本點，其響應(yīng)為Y，可得多項式F和相關(guān)矩陣R。對于一個待測點x的，可得多項表達式f和相關(guān)陣r，其響應(yīng)值利用樣本點xi的響應(yīng)值Y線性加權(quán)疊加計算，即

在無偏性要求下，公式（11）預測模型產(chǎn)生的預測方差為：

C（x）與待測點和已知點間的相關(guān)性矩陣有關(guān)。由最小二乘估計可得：

拉格朗日方程求解上述方程取最小值時可得：

1.3 模型誤差分析

代理模型需要另取樣本點來驗證模型的精度，以保證模型的有效性，本文模型誤差評估主要采用如下方法：

（1）均方根差檢驗

模型預測點的均方根差為：

方差的估計值為σ2：

（2）平均絕對值相對誤差檢驗

模型預測點的平均絕對值相對誤差為：

（3）平均相對誤差

模型預測點的平均相對誤差為：

1.4 典型算例比較

Kriging模型是一種對空間數(shù)據(jù)求線性最優(yōu)、無偏內(nèi)插估計的一種插值方法，具備局部估計的特征，適應(yīng)解決非線性程度較高問題。同時由于輸入矢量各方向的核函數(shù)參數(shù)可以取不同值，所以Kriging既可以解決各項同性問題也可以解決各向異性問題。

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是以徑向基函數(shù)為基函數(shù)，通過歐氏距離，徑向基函數(shù)可以很容易地把一個多維問題轉(zhuǎn)化成以歐氏距離為自變量的一維問題。并通過線性疊加構(gòu)造徑向基函數(shù)到輸出的代理模型，其網(wǎng)絡(luò)簡單、映射能力強，相比于響應(yīng)面和Kriging，是介于兩者之間的一種方法。

響應(yīng)面代理模型在給定輸入輸出的基礎(chǔ)上，以數(shù)學多項式作為基函數(shù)通過最小二乘回歸法來得到設(shè)計變量和響應(yīng)間的映像關(guān)系，具有很好的可導性和良好的連續(xù)性，易尋優(yōu)并且可以使用常規(guī)的優(yōu)化方法求得極值，但是由于多項式本身對非線性問題的描述能力不足，在遇到非線性程度較高的問題時，模型的擬合預測效果往往不太理想，在多項式階數(shù)較高時，還易出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象。

為了對比各種代理模型的實際擬合效果，將它應(yīng)用到一個二維非線性測試函數(shù)中：

該函數(shù)具有連續(xù)起伏的性質(zhì)，如圖2所示。

圖2 測試函數(shù)的原始曲面Fig.2 Original surface of test function

表1 基本代理模型的比較Tab.1 Comparison of different surrogate modles

對要建立的Kriging近似模型，選擇二元二次多項式作為Kriging模型確定部分的函數(shù)類型，選擇高斯函數(shù)作為變異函數(shù)；考慮各向異性的作用。本文通過拉丁超立方抽樣方法分別選取40、100和200子樣數(shù)三組實驗，對于不同子樣數(shù)量的實驗設(shè)計，進行Kriging近似模型擬合。圖3、圖4分別給出了40和200子樣數(shù)下Kriging模型模擬的非線性函數(shù)曲面，從圖中可以看出基于40子樣數(shù)的擬合結(jié)果與原函數(shù)結(jié)果差距十分明顯，而200子樣數(shù)下擬合結(jié)果則較好地還原了函數(shù)，各點的相對誤差基本為零。

圖3 40子樣數(shù)Kriging模型的近似曲面 Fig.3 Approximately surface of Kriging surrogate method with forty samples

圖4 200子樣數(shù)Kriging模型的近似曲面Fig.4 The approximately surface of Kriging surrogate method with two hundreds samples

表2 不同子樣數(shù)實驗設(shè)計Kriging模型結(jié)果比較Tab.2 Comparison of the prediction of Kriging surrogate method with different samples

對于不同水平的實驗設(shè)計，進行Kriging近似模型擬合。為了與原函數(shù)結(jié)果進行比較，誤差取樣點m取為31×31，其結(jié)果列于表2。由表2可見，用Kriging近似模型擬合的曲面完全滿足精度要求，并且樣本數(shù)量越多預示精度越高。

同樣為了驗證RBF的實際預示效果，同樣利用（19）式測試函數(shù)進行檢驗。

圖5 40子樣數(shù)RBF模型的近似曲面Fig.5 Approximately surface of RBF surrogate method with forty samples

圖6 200子樣數(shù)RBF模型的近似曲面Fig.6 Approximately surface of RBF surrogate method with two hundreds samples

對要建立RBF近似模型，均方根選取默認值為0，神經(jīng)元個數(shù)選擇自適應(yīng)，本文分別選取40、100和200子樣數(shù)三組實驗，進行RBF近似模型擬合。圖5、圖6分別給出了40子樣數(shù)和200子樣數(shù)RBF模型模擬的非線性函數(shù)曲面，從圖中可以看出基于40子樣數(shù)的擬合結(jié)果與原函數(shù)結(jié)果差距十分明顯，尤其是在其邊界處，擬合結(jié)果波動較為劇烈，從相對絕對誤差以及均方根誤差的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當樣本點較少時，Krging的相對誤差較小，且擬合結(jié)果波動較小。200子樣數(shù)的擬合結(jié)果RBF和Kriging兩種代理模型均較好地還原了函數(shù)，各點的相對誤差基本為0。

表3 不同子樣數(shù)實驗設(shè)計RBF模型結(jié)果比較Tab.3 Comparison of the prediction of RBF surrogate method with different samples

表4 不同子樣數(shù)實驗設(shè)計響應(yīng)面模型結(jié)果比較Tab.4 Comparison of the prediction of Response surface surrogate method with different samples

為了與原函數(shù)結(jié)果進行比較，誤差取樣點m取為31×31，其結(jié)果列于表3。由表3可見，用RBF近似模型擬合的曲面完全滿足精度要求，并且子樣數(shù)越多曲面精度越高。

同時采用5階多項式響應(yīng)面模型進行測試，擬合效果誤差精度見表4。從誤差分析可以看出，響應(yīng)面模型無法復現(xiàn)（19）式的非線性函數(shù)。

基于以上三種模型對于測試函數(shù)的驗證可以發(fā)現(xiàn)，當測試樣本較少時，Kriging模型預示結(jié)果均方根差最小，響應(yīng)面模型誤差最大，隨著樣本數(shù)量的增加，RBF和Kriging均可以精確實現(xiàn)對函數(shù)的預測，誤差基本為0，而響應(yīng)面模型基本不能實現(xiàn)對測試函數(shù)的復現(xiàn)。

綜上所述，從代理模型的對二階非線性函數(shù)預測精度來看，隨著樣本數(shù)量的增加，RBF和Kriging代理模型均可以得到較為精確的結(jié)果。響應(yīng)面模型對非線性程度較高的函數(shù)，基本不能獲得理想的結(jié)果。當測試樣本較少時，RBF擬合效果波動十分劇烈尤其是邊界附近，因此平均相對誤差和均方誤差相對于Kriging代理模型均較大；Kriging整體的波動不是十分劇烈，整體誤差較低。

2 空泡壓力代理模型建模研究

航行體水下運動過程中，在來流作用下沿航行體軸向不斷發(fā)展，空泡末端閉合區(qū)掃過航行體表面，不同時刻空泡閉合區(qū)壓力沿航行體軸向空間分布，如圖7所示?？梢钥闯?，空泡區(qū)內(nèi)部為穩(wěn)定泡內(nèi)壓力，壓力保持常值，空泡區(qū)末端回射流作用區(qū)域，航行體表面壓力急劇上升至最大壓力而后緩慢降低至環(huán)境壓力，這是由于空泡閉合時回射流的速度效應(yīng)和壓力效應(yīng)引起的壓力升高[11]。

圖 7 不同時刻（T0、T1和 T2）空泡閉合區(qū)壓力沿航行體軸向空間分布特征Fig.7 Axial pressure distribution of underwater vehiclein at different moment

2.1 空泡回射壓力模型

目前非定?？张莼厣淞鏖]合區(qū)域壓力的理論研究極少見，更沒有可直接應(yīng)用于工程的閉合區(qū)域壓力的計算公式，空泡截面獨立膨脹原理[12]只能近似解決空泡形態(tài)的計算，而不能預報空泡尾部閉合區(qū)域中作用于物體的流體動力。已有的研究應(yīng)用勢流理論分析了重力場中非定常軸對稱垂直空泡回射壓力峰值，證明了非定常空泡閉合區(qū)域的最大壓力點位置就是壓力坐標系中的駐點[13]，推導了非定常空泡閉合區(qū)域最大壓力的公式。從最近關(guān)于空泡閉合壓力影響因素的研究[8]表明，空泡閉合區(qū)回射最大壓力的主要影響因素有四項，分別為導彈運動動壓、當?shù)仂o壓、泡內(nèi)壓力以及尾空泡干擾壓力，可以根據(jù)這四項主要影響因素建立最大壓力代理模型。

分別采用RBF和Kriging代理模型技術(shù)建立影響因素和空泡回射最大壓力之間的關(guān)系，以航行體表面密集分布的水動外壓作為研究對象，通過獲取在水下發(fā)射過程中航行體表面測量的空泡閉合區(qū)回射壓力最大值以及相應(yīng)狀態(tài)下的影響因素，建立空泡閉合區(qū)最大壓力代理模型?？紤]到實際工況條件的取值范圍，選取樣本工況和預測工況如表5所示，樣本工況在發(fā)射條件取值范圍內(nèi)分布較均勻，預測工況選取不同于樣本工況的點。

表5 空泡閉合區(qū)最大壓力代理模型樣本工況和預測工況Tab.5 Sample points and predicted points of surrogate modle

RBF和Kriging代理模型計算獲得空泡閉合最大壓力與試驗結(jié)果對比見圖8和圖9，由圖中可以看出，兩種代理模型都可以預示空泡閉合回射壓力最大值的變化趨勢，從誤差量值分析來看，Kriging代理模型相對于RBF代理模型預示精度更高。

圖8 Kriging代理模型計算回射壓力峰值與試驗結(jié)果對比Fig.8 Comparison between prediction of Kriging surrogate model and test of the pressure of cavity closure area in space

圖9 RBF代理模型計算回射壓力 峰值與試驗結(jié)果對比Fig.9 Comparison between prediction of RBF surrogate model and test of the pressure of cavity closure area in space

表6 最大壓力代理模型預測誤差Tab.6 Comparison between prediction error of different surrogate models of the pressure peak of cavity closure area

2.2 空泡壓力波形描述方法

根據(jù)空泡閉合區(qū)壓力空間分布特征，見圖10，將高斯脈沖函數(shù)參數(shù)賦予物理意義，構(gòu)造沿航行體軸向空間分布的波形函數(shù)，實現(xiàn)空泡閉合區(qū)壓力分布特征的模型化。其中a和b共同決定脈沖峰值的大小。δ表征脈寬值，δ越大脈寬越大；系數(shù)n表征曲線豐滿程度上升和下降速率，n越大曲線上升、下降變化越急劇。通過確定高斯脈沖函數(shù)參數(shù)的物理意義，調(diào)整函數(shù)相關(guān)系數(shù)改變曲線形式，達到與空泡閉合區(qū)壓力波形一致的分布特征。

基于試驗結(jié)果由于波形上升沿和下降沿的值不同且均不為零，需要將空泡壓力波形函數(shù)分段進行描述，在空泡閉合區(qū)壓力最大值點處進行分段，上升段表達式為下降段表達式為系數(shù)b1、b2分別表征空泡內(nèi)壓力和當?shù)丨h(huán)境壓力；系數(shù)a1、a2與b1、b2共同決定空泡閉合區(qū)壓力最大值；豐滿度系數(shù)n1、n2的大小通過與試驗結(jié)果比對確定，上升段、下降段取值分別為2 和 0.8；系數(shù) δ1、δ2與脈寬 Dx1、Dx2，豐滿度系數(shù) n1、n2之間的關(guān)系為為常數(shù)。

圖10 空泡閉合區(qū)壓力波形相關(guān)參數(shù)物理意義Fig.10 The physical significance of pulse function parameters of pressure of cavity closure area

從圖11可以看出，應(yīng)用上述高斯函數(shù)表達式構(gòu)造空泡閉合區(qū)域壓力在航行體軸向空間分布波形，空泡壓力波形計算值與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，表明此方法可以用于預示空泡閉合壓力波形的分布。

2.3 基于代理模型的空泡壓力預示

空泡壓力波形代理模型主要是針對表征脈寬的物理量δ進行建模，采用與回射閉合區(qū)壓力最大值相同的影響因素，建立回射壓力空間分布脈寬代理模型進行預示，其過程與空泡閉合區(qū)最大壓力預示方法一致。

基于代理模型預示的回射壓力峰值和回射壓力空間分布波形脈寬結(jié)果，從試驗數(shù)據(jù)中提取空泡末端位置、泡內(nèi)壓力、環(huán)境壓力等狀態(tài)參數(shù)；利用高斯函數(shù)復現(xiàn)空泡回射壓力沿著彈體表面的分布，從圖12中可以看出，預示結(jié)果可以較好地預示空泡閉合區(qū)域壓力的空間分布特征和非定常變化趨勢。

圖11 空泡閉合區(qū)壓力波形描述方法與試驗對比 Fig.11 Comparison between calculation result and test of pressure wave form

圖12 空泡閉合區(qū)壓力分布計算值與試驗對比Fig.12 Comparison between prediction and test of the pressure of cavity closure area in space

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用RBF代理模型和Kriging代理模型分別建立了影響因素與空泡壓力空間分布之間的代理模型，并開展給定工況下空泡壓力的預示研究，通過與試驗數(shù)據(jù)比對驗證了預示方法的正確性，并針對兩種代理模型的預示誤差進行了代理模型預示精度評估。

（1）通過對二階非線性典型測試函數(shù)的預示結(jié)果表明，RBF和Kriging代理模型在樣本數(shù)量較多時，均可以得到較為精確的預示結(jié)果，響應(yīng)面模型則難以預示非線性程度較高的函數(shù)；樣本數(shù)量較少時，RBF擬合效果波動十分劇烈，尤其在函數(shù)邊界位置，預示誤差相對于Kriging代理模型較大；

（2）基于RBF代理模型和Kriging代理模型建立的空泡閉合壓力最大值與影響因素的關(guān)系，可以較準確預示空泡閉合回射壓力最大值變化趨勢，Kriging代理模型預示精度更高；

（3）空泡壓力空間分布波形可通過高斯函數(shù)表達式來近似，并且通過兩種代理模型建模研究，可以實現(xiàn)空泡閉合壓力空間分布的預示。

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