孫 錦，李國(guó)林，許 誠(chéng)

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

反艦導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)精度評(píng)定方法*

孫 錦，李國(guó)林，許 誠(chéng)

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

為了對(duì)小子樣條件下反艦導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)精度作出合理的評(píng)定，研究了自助法和隨機(jī)加權(quán)法的原理。針對(duì)自助法和隨機(jī)加權(quán)法存在的不足，研究了一種改進(jìn)的方法，仿真結(jié)果表明新方法獲得了更加穩(wěn)健、精確的評(píng)定。最后，給出一些有益的工程應(yīng)用建議。

小子樣，靶場(chǎng)試驗(yàn)，精度評(píng)定，自助法，隨機(jī)加權(quán)法

引言

推斷統(tǒng)計(jì)的目的是依據(jù)子樣分布推測(cè)出對(duì)應(yīng)總體的特征，即由子樣的估計(jì)量推測(cè)出總體參數(shù)分布［1］。隨著高科技的迅猛發(fā)展，逐漸形成一種模擬抽樣統(tǒng)計(jì)推斷的方法，自助法（Bootstrap）和隨機(jī)加權(quán)法（Bayes Bootstrap）就屬于這一范疇［2］。它的核心是用計(jì)算機(jī)對(duì)現(xiàn)有子樣進(jìn)行重新采樣，得到新的仿真子樣［3］。這兩種方法僅僅依賴(lài)于給定的現(xiàn)場(chǎng)信息，不需要其他的假設(shè)和增加新的假設(shè)，為解決小子樣試驗(yàn)評(píng)估問(wèn)題提供了很好的思路，因此方法一經(jīng)提出，便受到了統(tǒng)計(jì)界的重視［4］。本文將在研究自助法和隨機(jī)加權(quán)法的基本原理和實(shí)施步驟的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的自助法，為小子樣條件下反艦導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)精度評(píng)定提供一個(gè)新思路。

1 自助法原理

自助法是用重抽樣方式獲取新的子樣，通過(guò)計(jì)算得出一系列估計(jì)值，再用一種“類(lèi)比關(guān)系”就可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，這種“類(lèi)比”幾乎是所有重抽樣方式最核心的步驟。下頁(yè)圖1中左邊表示傳統(tǒng)的總體與子樣間的關(guān)系，右邊表示重抽樣方法的子樣與得到的新子樣間的關(guān)系。將子樣類(lèi)比于總體，那么也就相當(dāng)于知道了“真實(shí)”參數(shù)，將新子樣類(lèi)比于子樣，也就可以求得諸如偏差、方差的估計(jì)值。通常這些估計(jì)都是采用多次重抽樣之后的平均［5］。

圖1 重抽樣方法思想的示意圖

2 隨機(jī)加權(quán)法原理

隨機(jī)加權(quán)法與自助法相仿，都是將子樣信息“提攜”以增加子樣容量的方法。與自助法不同，隨機(jī)加權(quán)法是用隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計(jì)量Dn的分布去模擬Tn的分布。

3 改進(jìn)自助法

無(wú)論是自助法，還是隨機(jī)加權(quán)法，仿真產(chǎn)生服從經(jīng)驗(yàn)分布的隨機(jī)子樣的取值區(qū)間僅局限在區(qū)間［x（1），x（n）］上，相對(duì)比較集中，其隨機(jī)性就不能很好地滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)學(xué)的要求；對(duì)于連續(xù)情況，兩種方法都無(wú)法獲得在非子樣觀(guān)測(cè)點(diǎn)處的分布特性，方法就可能失去其應(yīng)有的意義。主要原因是子樣的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn擬合子樣的上下限效果不好，以下用基于Bootstrap的一些其他函數(shù)修正擬合經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，獲得改進(jìn)自助法。

③重復(fù)循環(huán)步驟N次，計(jì)算N個(gè)Rn（j），j=1，2，…，N。

⑤產(chǎn)生N組D（1，1，…，1）的隨機(jī)向量序列，V=（V（1），V（2），…，V（N））（1，1，…，1），j=1，2，…，N為每組V（j）的聯(lián)合分布。則每組序列的因素可以如下產(chǎn)生：獲取n-1個(gè)在［0，1］上均勻分布的獨(dú)立子樣u1，u2，…，un-1，按從小到大重新排列次序，記做u（1），u（2），…，u（n-1），設(shè) u（0）=0，u（n）=1，令v（ij）=u（i）-u（i-1），i=1，2，…，n，則（v（1j），v（2j），K，v（nj））即為所求［8］；

⑥計(jì)算Dn（j），j=1，2，…，N；

⑦用Dn（j）的分布去模擬Tn的分布。即θ（F）=（Fn）-Tn≈?（Fn）-Dn，可得未知參數(shù)θ（F）的N個(gè)可能取值，由此出發(fā)，作出未知參數(shù)的θ的統(tǒng)計(jì)推斷［9］。

在得到修正子樣分布函數(shù)F*（x）后，按照以下方法仿真產(chǎn)生新的隨機(jī)子樣：在［0，1］區(qū)間上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)η（具有獨(dú)立性和均勻性），x*=F*-1（η）就是所要的隨機(jī)子樣。

4 仿真分析

對(duì)總體分布已知的觀(guān)測(cè)子樣，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，通過(guò)分析比較，證實(shí)改進(jìn)自助法的合理性和有效性。

采用自助法和隨機(jī)加權(quán)法估計(jì)參數(shù)μ的90%的置信區(qū)間，區(qū)間估計(jì)采樣常用的百分位法。

分別由正態(tài)分布N（0，1）生成子樣容量n為11、12、13的3組子樣數(shù)據(jù)，見(jiàn)表1，分別作其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，如圖2所示。

表1 3組子樣數(shù)據(jù)

圖2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

觀(guān)察3組子樣數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)所給子樣的經(jīng)驗(yàn)分布走向趨勢(shì)近似于“S”形，再考慮到自助法和隨機(jī)加權(quán)法的取值僅局限在區(qū)間［x（1），x（n）］上，所以考慮用Sigmoid類(lèi)型的Boltzmann函數(shù)擬合子樣經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。以下僅以n=11的子樣數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，其他兩組數(shù)據(jù)的分析方法與此相同。擬合結(jié)果如圖3（a）所示。同理可以得出其他兩組子樣數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，見(jiàn)圖3（b）、圖3（c）。

圖3 修正前后擬合的分布函數(shù)

依據(jù)擬合后分布函數(shù)產(chǎn)生N=10 000組統(tǒng)計(jì)量并做直方圖，得到參數(shù)μ的分布如圖4～圖6所示，參數(shù)μ的估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)見(jiàn)表2。

圖4 改進(jìn)的自助法

圖5 自助法

圖6 隨機(jī)加權(quán)法

表2 子樣容量n=11的參數(shù)μ估計(jì)結(jié)果比較

通過(guò)仿真計(jì)算，可以明顯看出仿真曲線(xiàn)都近似正態(tài)分布。下面將給出各種方法所求得μ的估計(jì)值和一個(gè)置信度為0.9的置信區(qū)間（用百分位方法）。為了說(shuō)明以上方法的優(yōu)越性，將采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法（方差未知的正態(tài)總體的均值估計(jì)）的估計(jì)結(jié)果也羅列出來(lái)，評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表2。

同理可以得出其他兩組子樣數(shù)據(jù)關(guān)于參數(shù)μ的統(tǒng)計(jì)特性，見(jiàn)表3、表4。

表3 子樣容量n=12的參數(shù)μ估計(jì)結(jié)果比較

表4 子樣容量n=13的參數(shù)μ估計(jì)結(jié)果比較

由圖4～圖6可以看出，隨機(jī)加權(quán)法得出的直方圖與自助法得出的直方圖有一些差別。自助法的直方圖顯得較為光滑，這是因?yàn)樽灾ㄖ饕蕾?lài)于經(jīng)驗(yàn)分布Fn（x），而隨機(jī)加權(quán)法因?yàn)閷?duì)原始數(shù)據(jù)和Dirichlet分布都比較依賴(lài)，所以其直方圖表現(xiàn)的跳躍性較大、不光滑的特征，但其跨越區(qū)域也大，因此，對(duì)實(shí)際信息反映得更好。所以一般如果已知原始數(shù)據(jù)服從某一分布，宜用Bootstrap方法，而不能確定原始數(shù)據(jù)服從何種分布時(shí)則宜用隨機(jī)加權(quán)法。

分析表2～表4中的仿真結(jié)果可知，在小子樣數(shù)據(jù)條件下，用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法得到結(jié)論的估計(jì)誤差比較大；采用自助法得到的參數(shù)精度有所提高，但不如隨機(jī)加權(quán)法，隨機(jī)加權(quán)法對(duì)參數(shù)μ的估計(jì)值最忠實(shí)于實(shí)際子樣均值；改進(jìn)自助法得出關(guān)于μ的估計(jì)值與真實(shí)值最為接近且置信區(qū)間精度最高。

隨機(jī)加權(quán)法和自助法都將原子樣點(diǎn)拓展至非觀(guān)測(cè)點(diǎn)，所得精度有所提高，但這種提高是有限度的，原因在于上述兩種方法所用子樣最終仍局限在原子樣的取值范圍區(qū)間內(nèi)。然而改進(jìn)自助法使得子樣可最大可能地拓展延伸，因而效果最好，精度最高。

對(duì)比表2～表4中區(qū)間估計(jì)的數(shù)據(jù)，還可以發(fā)現(xiàn)對(duì)同一種方法，隨著樣本量的增加，區(qū)間估計(jì)寬度卻在增加，這是由于3組數(shù)據(jù)的方差值不斷增大所致。

5 結(jié)束語(yǔ)

用自助法和隨機(jī)加權(quán)法產(chǎn)生的隨機(jī)子樣存在取值范圍受限的問(wèn)題，該問(wèn)題極易使得計(jì)算結(jié)果偏離真實(shí)分布過(guò)大，尤其在真實(shí)分布是連續(xù)分布的情況下，根本無(wú)法得到在非子樣觀(guān)測(cè)點(diǎn)處的分布特性，因而無(wú)法得到更接近于真實(shí)分布的分布估計(jì)。針對(duì)子樣的經(jīng)驗(yàn)分布近似于“S”形的情況下，采用改進(jìn)的自助法，克服了以上不足，通過(guò)實(shí)例的仿真計(jì)算，獲得了更加穩(wěn)健、精確的估計(jì)，從而證實(shí)了方法是合理可行的。這也為小子樣條件下反艦導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)精度評(píng)定提供了一條新思路。

［1］Gosset W S.The Probable Error of a Mean［J］.Biometrika，2007（6）：1-25.

［2］Fisher R A.A Mathematical Examination of Methods of Determining the Accuracy of an Observation by the Mean Error，and by the Mean Square Error［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2008（80）：758-770.

［3］Miller R G.A Trustworthy Jackknife［J］.Annals of Mathematical Statistics，2009（39）：1598-1605.

［4］Efron B.Bootstrap Methods：Another Look at the Jackknife［J］.The Annuals of Statistics，2005：7（1）：1-26.

［5］肖支才，高華明，丁 通，等.自助法在小樣本數(shù)據(jù)均值估計(jì)中的應(yīng)用［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（5）：563-572.

［6］Efron B，Tibshirani R J.Bootstrap Methods for Standard Errors，Confidence Interval，and Other Measures of Statistical Accuracy［J］.Statistical Science，2006（8）：54-77.

［7］Efron B，Tibshirani R J.An Introduction to the Bootstrap［M］. New York：Chapman&Hall，2002.

［8］Rubin D B.The Bayesian Bootstrap［J］.The Annals of Statisties 2003（9）：130-134.

［9］fron E F，B.Bootstrap Methods：Another Look at the Jack-Knife［J］.Annals of Statistics，2009（7）：1-26.

Research on the Method of Anti-ship Missile Accuracy evaluation in Range Trial

SUN Jin，LI Guo-lin，XU Cheng
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

In order to evaluate the accuracy of small sample submarine launched anti-ship missile in range trial reasonably，Bootstrap method and Bayesian Bootstrap method are studied on their principle.At the same time，an improved method based on Bootstrap method is studied for the shortcomings of these two methods，the simulation result indicates that the new method gains the much more firm and accurate evaluation.At last，some profitable engineering applying suggestions are given.

small sample，range trial，accuracy evaluation，bootstrap method，bayesian bootstrap method

O212

A

1002-0640（2014）10-0095-04

2013-07-05

2013-09-27

國(guó)家部委重點(diǎn)資助項(xiàng)目（2010214019）

孫 錦（1985- ），男，河南商丘人，在讀博士研究生。研究方向：武器系統(tǒng)與運(yùn)用工程。