鮑月平

【摘要】 圓的切線判定是初中教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn)，通過對(duì)學(xué)生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)切線的判定認(rèn)識(shí)大體分為五個(gè)層次，這是SOLO分類評(píng)價(jià)理論的體現(xiàn)。本文利用SOLO分類評(píng)價(jià)理論對(duì)圓的切線判定進(jìn)行教學(xué)，將學(xué)生的思維引導(dǎo)上更高一層次的結(jié)構(gòu)水平。

【關(guān)鍵詞】 SOLO分類評(píng)價(jià)理論 圓的切線判定

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）11-077-02

1. 問題的提出

圓的切線判定是人教版第24章內(nèi)容，是初中教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn)，課本中給出了“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”這一判定方法和切線定理“經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線”。學(xué)生在做這一類題目時(shí)往往覺得無從下手，毫無思路。筆者在教完這一部分內(nèi)容后，針對(duì)“如何判定一條直線是圓的切線”這一主題對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，回答的結(jié)果可以總結(jié)為以下幾種情況：

（1）毫無頭緒。

（2）證明這條直線與半徑垂直；

（3）已知條件中直線與圓若有公共點(diǎn)，①存在連接公共點(diǎn)的半徑，可直接根據(jù)切線的判定定理證明；②條件中若給出了直線和圓的公共點(diǎn)，但沒有給出過這個(gè)點(diǎn)的半徑，則連接圓心和公共點(diǎn)，然后根據(jù)切線的判定定理來證明，簡稱為“連半徑，證垂直”

（4）在（3）的回答基礎(chǔ)之上補(bǔ)充，若這條直線與圓無交點(diǎn)，則先過圓心作這條直線的垂線段然后再證明這條垂線段等于半徑長，根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”證明，簡稱為“作垂直，證半徑”.

（5）在（4）的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了如下內(nèi)容，在“連半徑，證垂直”的情況下，找已知條件中是否存在直角，若存在，找已知直角與要證明的直角之間有什么位置關(guān)系，若為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，可以考慮證兩直線平行，否則可以通過證明全等、相似等證兩角相等或通過角的等量代換，三角形內(nèi)角和等證明直角；若沒有直接的直角，看條件是否有直徑，等腰三角形（考慮三線合一），勾股定理逆定理等進(jìn)行證明。

通過學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的對(duì)圓的切線判定的思維層次正好體現(xiàn)了SOLO分類評(píng)價(jià)理論的五個(gè)層次結(jié)構(gòu)水平。

2. SOLO 分類評(píng)價(jià)理論的基本含義

SOLO 分類評(píng)價(jià)理論是由比格斯（J.B.Biggs）教授首倡，是一種以等級(jí)描述為基本特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法。 “SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”首字母的縮寫，即可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)。也就是說，學(xué)生在具體知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，都要經(jīng)歷一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，每發(fā)生一次躍變，學(xué)生對(duì)于這一種認(rèn)識(shí)的認(rèn)知就進(jìn)入更高一級(jí)的階段，可以根據(jù)學(xué)生回答問題時(shí)的表現(xiàn)來判斷他所處的思維發(fā)展階段，進(jìn)而給予合理的評(píng)分。SOLO 分類評(píng)價(jià)理論學(xué)習(xí)成果劃分為5個(gè)層次，基本含義如下：

1）前結(jié)構(gòu)層次：完全錯(cuò)誤或不相關(guān)的答案，處于這一結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生基本上沒有所面對(duì)問題的簡單知識(shí)，找不出任何解決問題的辦法。

2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（unistructural）：只使用了所給問題涉及的某一個(gè)相關(guān)信息。學(xué)生關(guān)只能聯(lián)系單一事件，找到一個(gè)線索就立即跳到結(jié)論上去。

3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)（multistructural）：學(xué)生抓住或者使用了回答問題所需要的所有方面或者其中的幾個(gè)方面的信息，甚至能夠在其中建立起兩兩之間的相互聯(lián)系，但是對(duì)于這些信息的使用仍然是孤立的但還沒有能將它們進(jìn)行有機(jī)整合的能力。

4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（relational）：學(xué)生能夠抓住并使用回答問題所需要的全部信息，并且能夠?qū)⑦@些方面進(jìn)行綜合和概括，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體。不會(huì)將問題置于更一般的、更廣闊的情境中進(jìn)行考慮或者對(duì)問題提出質(zhì)疑。

5）拓展抽象結(jié)構(gòu)（extended abstract）：學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，聯(lián)系與問題相關(guān)的所有影響系統(tǒng)（包括問題中沒有直接提到，但是有影響的系統(tǒng)），將問題置于一個(gè)更為廣闊的情境中，對(duì)問題進(jìn)行全面的思考以及更高水平的概括和歸納這代表一種更高層次的學(xué)習(xí)能力，這一層次的學(xué)生表現(xiàn)出更強(qiáng)的鉆研和創(chuàng)造意識(shí)。

3.運(yùn)用SOLO分類理論指導(dǎo)切線判定教學(xué)

從SOLO分類理論的五個(gè)層次來看，學(xué)生對(duì)圓的切線判定的認(rèn)識(shí)的思維層次可大概認(rèn)為處于這五個(gè)層次。第（1）種回答的學(xué)生就處于前結(jié)構(gòu)層次，大腦中沒有任何關(guān)于切線判定的知識(shí)。第（2）種回答的學(xué)生處于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，只抓住垂直這一條件，忽略了其他條件。第（3）種回答的學(xué)生處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，可以解答直線與圓有公共點(diǎn)的這一類基礎(chǔ)的切線判定問題。第（4）種回答的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次，對(duì)于先對(duì)容易的切線判定問題一般都可以解決，但由于缺乏深層次的思考，對(duì)于復(fù)雜一些的問題則無法解決。第（5）種回答體現(xiàn)了學(xué)生的抽象思維能力，能夠?qū)θ绾巫C明切線進(jìn)行深入的思考，探究，這一類學(xué)生有清晰的分析思路，可以將已知條件與要證明的結(jié)論之間產(chǎn)生聯(lián)系，可以解決復(fù)雜的切線判定問題。

基于上述分析，我們可以遵循SOLO分類理論組織教學(xué)，在教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)每個(gè)結(jié)構(gòu)層次學(xué)生的思維能力向更高一級(jí)轉(zhuǎn)化，下面將通過具體的例子進(jìn)行闡述。

例1.如圖1，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB，求證：AT是⊙O的切線。

解析：本題相對(duì)簡單，半徑OA已經(jīng)存在，只需根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠T=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAT=90°，及AT⊥AB，從而得到AT是⊙O的切線。對(duì)于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生解決容易解決這道題。對(duì)于前結(jié)構(gòu)層次學(xué)生，由于他們大腦中毫無切線判定的知識(shí)，先引導(dǎo)他們回顧課本，分析切線判定的條件，然后再解決這道題。

例2.如圖2，以等腰中的腰為直徑作⊙，交底邊于點(diǎn)。過點(diǎn)作，垂足為。求證：為⊙的切線；

解析：這道題由于半徑不存在，單一結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生不容易，則引導(dǎo)他們?cè)诎霃讲淮嬖诘那闆r下先連接OD（如圖3），再證OD⊥DE，本題證明∠ODE=90°的方法較多。常用的兩種方法如下：方法一，利用等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)即等量代換得到∠C=∠ODB，從而得到AC∥OD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到∠ODE=90°；方法二，得到∠C=∠ODB之后，由三角形內(nèi)角和定理得∠C+∠EDC=90°，根據(jù)等量代換得到∠ODB+∠EDC=90°，最后由平角的定義得∠ODE=90°。本題在證明過程中需要先添加輔助線，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次學(xué)生一般可以完成，而單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次學(xué)生在教師的引導(dǎo)下才可以解答。

例3.如圖4，點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn)，過D作DE⊥OB于E，以DE為半徑作⊙D，判斷⊙D與OA的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

解析：本題屬于切線判定中第二大類題型“作垂直，連半徑”，過D作DF⊥OA，再根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得DF=DE.但對(duì)于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次學(xué)生來說，會(huì)在圖中添加點(diǎn)F，然后連接DF，再證明DF⊥OA，這一類學(xué)生錯(cuò)誤使用了判定定理，忽略了直線經(jīng)過半徑外端這一條件，教師應(yīng)讓學(xué)生回顧到切線的定義本身，讓學(xué)生意識(shí)到除了判定定理本身之外，還可以使用定義法判定，遇到題目時(shí)能夠分析題中的條件，選用不同的判定方法，這上升到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。

例4.如圖6，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作直線l∥BC.判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

解析：本題難度較大，首先連接OE交BC于G，題中未給出有關(guān)90°的角，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧例2的解法，比較兩種解法發(fā)現(xiàn)，第一種解法較為簡單，究其原因，題中出現(xiàn)了90°，而給出的90°角與要證明的90°角之間為內(nèi)錯(cuò)角，所以考慮證明兩直線平行，由此可得出結(jié)論：在已知直線與圓有公共點(diǎn)的情況下，看題中是否存在90°，若存在，則觀察已知角和待證明角之間的位置關(guān)系，然后進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)化。再看到這道題，雖然題中未給出90°，但已知直線l∥BC，則思考能否證明∠BGO=90°，這是發(fā)現(xiàn)題中已給條件AE平分∠BAC，根據(jù)圓周角定理知∠BOE=∠COE，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠BGO=90°。這道題屬于拓展層次結(jié)構(gòu)水平，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)切線證明的思路進(jìn)一步得到提升，從而在題目的分析和歸納中達(dá)到拓展結(jié)構(gòu)水平！

4.結(jié)語

從以上案例分析可以看出，從前結(jié)構(gòu)水平到拓展抽象結(jié)構(gòu)水平， SOLO 分類評(píng)價(jià)理論提供了一種一次遞增的結(jié)構(gòu)來測量學(xué)習(xí)質(zhì)量的方法，把不同的學(xué)生指向不同的認(rèn)知水平，有利于教師掌握學(xué)生的已有知識(shí)水平，學(xué)習(xí)能力。教師在教學(xué)中可以根據(jù)這樣一中結(jié)構(gòu)層次通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的例題將學(xué)生一步步引導(dǎo)上更高一級(jí)的層次水平。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]Biggs，J. Teaching for Quality Learning at University，Society for Research in Higher Education， Open University Press. 1999.

[2]王敏. SOLO分類評(píng)價(jià)理論在化學(xué)試題設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.2009.

[3]李英杰.SOLO分類評(píng)價(jià)理論在閱讀能力評(píng)價(jià)上的應(yīng)用.首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.

[3]官慶源.圓的切線的判定方法.中學(xué)生理科月刊，1995.