張海燕,張立毅,2，孫云山,2

(1.天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院,天津 300072;2.天津商業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,天津 300134)

1 引言

由于CT技術(shù)具有快速、準(zhǔn)確、無創(chuàng)傷、無痛苦等特點(diǎn)，被越來越多地應(yīng)用于臨床診斷。但是，X射線在透射過程中會將部分能量轉(zhuǎn)移到人體，引起身體損傷甚至致癌[1，2]。近年來，由于CT的廣泛使用，輻射風(fēng)險也越來越受到關(guān)注，低劑量CT問題逐漸成為研究熱點(diǎn)。

當(dāng)前臨床上為獲得高質(zhì)量的CT重建圖像，所用CT設(shè)備X射線管電流強(qiáng)度都較高，一般臨床診斷X射線管電流強(qiáng)度一般超過200 mA[3]，一次CT掃描通常需要上千視角[4]。常見的降低CT劑量的方法主要有兩種，一是降低X射線管電流強(qiáng)度來降低每個視角下的曝光劑量[5-10]。降低管電流強(qiáng)度能降低單次掃描的輻射劑量，但會使投影數(shù)據(jù)信噪比下降，噪聲強(qiáng)度呈指數(shù)倍增長。二是在不改變單個視角曝光劑量的前提下，減少掃描視角的數(shù)量[11 - 16]。掃描視角的減少可以降低一次掃描的總輻射劑量，但會使投影數(shù)據(jù)的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于待建CT圖像的像素數(shù)目，使圖像重建問題變成一個欠定問題。

對于第一種降低劑量的策略，通常對投影數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪預(yù)處理[5 - 8]或使用統(tǒng)計迭代方法SIR(Statistical Iterative Reconstruction)[9,10]。對于第二種降低劑量的策略，可以通過引入待建圖像的先驗(yàn)知識來作為正則化項，使高度病態(tài)的不完備投影數(shù)據(jù)獲得穩(wěn)定而準(zhǔn)確的重建。其中最常見的是全變分TV(Total Variation)正則化迭代算法[11 - 13]。但是，當(dāng)投影數(shù)據(jù)含噪聲時，利用上述算法得到的重建圖像中出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的噪聲干擾和條形偽影，且部分細(xì)節(jié)被噪聲掩蓋，不能得到滿意的重建圖像。并且，臨床診斷CT圖像重建時使用TV最小化這一先驗(yàn)仍然存在一些問題：首先，TV最小化表達(dá)圖像特征的能力有限，對其進(jìn)行稀疏性約束時容易導(dǎo)致在消除噪聲的情況下?lián)p失信號；其次，TV最小化約束建立在圖像分片光滑的基礎(chǔ)上，實(shí)際中的CT圖像并不能精確滿足這一條件。因此，基于TV最小化約束的不完備數(shù)據(jù)CT重建中，重建結(jié)果常常存在圖像邊緣不清晰、表達(dá)細(xì)小結(jié)構(gòu)能力差、高噪聲下產(chǎn)生塊狀偽影等問題[10,16]。因此，尋找更合適的圖像稀疏變換和稀疏表達(dá)方式，是進(jìn)一步提高不完備投影數(shù)據(jù)重建質(zhì)量的關(guān)鍵。

圖像的稀疏度對圖像重建質(zhì)量有著重要的影響[17]，CT圖像中常常包含了大量的曲線和局部信息，所以需要尋找更易于有效地捕捉局部圖像特征的變換域。剪切波(Shearlet)是由Guo等[18，19]采用具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造的一種多維函數(shù)，繼承了曲波變換和輪廓波變換平移不變性和方向選擇性的優(yōu)點(diǎn)，通過對基函數(shù)縮放、剪切和平移等仿射變換，生成具有不同特征的剪切波基函數(shù)，是多尺度幾何分析的最新發(fā)展，可以對圖像的細(xì)節(jié)信息給出最優(yōu)的表示性能。目前在圖像修復(fù)、壓縮、融合等領(lǐng)域取得了很好的效果[20 - 24]。對于二維信號，剪切波變換不僅可以檢測到所有的奇異點(diǎn)，而且還可以自適應(yīng)跟蹤奇異曲線的方向，且隨著尺度參數(shù)變化，可精確描述函數(shù)的奇異性特征，從而獲得更好的圖像稀疏表示能力。因此，基于離散剪切波變換的稀疏表示約束比基于離散梯度變換的TV最小化約束具有更好的欠完備投影CT圖像重建性能。

本文利用CT圖像信號在剪切波變換中的稀疏特性，提出基于離散剪切波變換的CT圖像統(tǒng)計迭代重建算法，將離散剪切波變換作為正則化項，實(shí)現(xiàn)低管電流掃描、少視角掃描以及兩種情況同時存在的情況下的低劑量CT圖像重建。

2 基本原理

2.1 剪切波變換原理

剪切波是合成小波的一個特例，剪切波變換通過對一個函數(shù)ψ進(jìn)行伸縮、平移和旋轉(zhuǎn)生成一組類似小波的多尺度幾何分析工具，具有簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。對于二維圖像，剪切波可以檢測到所有的奇異點(diǎn)，而且可以自適應(yīng)跟蹤奇異曲線的方向，具有很強(qiáng)的方向敏感性。因此，函數(shù)ψ在剪切波系統(tǒng)中起著至關(guān)重要的作用。

假設(shè)函數(shù)ψ進(jìn)行伸縮、平移和旋轉(zhuǎn)生成一組基用矩陣ψ表示，那么圖像f由剪切波進(jìn)行稀疏表示可描述為如下優(yōu)化問題:

s.t.f=ψα

(1)

其中，α為稀疏系數(shù)向量，其中只有少數(shù)非零元素，‖‖0表示l0范數(shù)。

2.2 CT圖像重建原理

CT不能直接觀察到人體內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只能得到探測器記錄下的不同視角的X射線通過人體后的投影數(shù)據(jù)，然后利用重建算法得到掃描斷層的線性衰減系數(shù)圖。重建算法具體可分為解析法和迭代法兩類。解析重建算法在投影數(shù)據(jù)不滿足數(shù)據(jù)完備性條件時，不能精確重建斷層圖像，所以一次CT掃描通常需要上千個掃描視角[4]。迭代重建運(yùn)算時間高于解析重建算法，但對投影數(shù)據(jù)的完備性要求較低，在數(shù)據(jù)缺失和信噪比較低情況下有較好的表現(xiàn)，因此是低劑量CT圖像重建通常使用的方法。

Af=p

(2)

那么，CT圖像重建的過程可以描述為已知p和A，求解f的一個逆問題。由于噪聲的存在，一般轉(zhuǎn)化為最小化如下目標(biāo)函數(shù):

(3)

其中，‖‖2表示向量的l2-范數(shù)。

通過迭代最小化式(3)實(shí)現(xiàn)CT圖像重建。

3 基于剪切波變換的低劑量CT圖像重建

剪切波變換具有很強(qiáng)的二維圖像稀疏表示及去噪性能，本文提出一種基于剪切波變換的低劑量CT圖像重建算法。即在求解式(3)時加入待建圖像的剪切波稀疏表示作為正則化項，以縮小解空間，提高重建質(zhì)量，變?yōu)榍蠼馊缦聠栴}:

s.t.f=ψαandAf=p

(4)

式(4)是一個約束最優(yōu)化問題，它所對應(yīng)的增廣拉格朗日方程為:

(5)

其中，μ和η為增廣拉格朗日系數(shù)，取固定值；向量λ和β為增廣拉格朗日系數(shù)向量，分別隨稀疏表示誤差以及重建圖像的投影誤差的減小而增大。

當(dāng)X射線管電流強(qiáng)度下降，投影數(shù)據(jù)信噪比降低時，考慮投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性可以提高算法的抗噪性能。根據(jù)低管電流條件下真實(shí)投影數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果，文獻(xiàn)[4-8]提出經(jīng)系統(tǒng)校準(zhǔn)及對數(shù)變換后的低劑量CT投影數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為是理想投影數(shù)據(jù)經(jīng)加性噪聲n污染的結(jié)果，其中n近似服從空間非平穩(wěn)高斯分布，其各個投影數(shù)據(jù)上的噪聲均值為0，方差與各投影數(shù)據(jù)自身的統(tǒng)計均值呈現(xiàn)非線性解析關(guān)系，其解析式可用如下公式描述:

(6)

Figure 1 Value of si圖1 si的值

由式(6)可知，噪聲強(qiáng)度隨著投影數(shù)值的增長呈指數(shù)增長，為了降低噪聲對重建效果的影響，在式(5)的目標(biāo)函數(shù)中加入統(tǒng)計加權(quán):

wi=exp(-pi)

(7)

其中，pi為第i個探測器(Detector)上獲得的投影數(shù)據(jù)。那么式(5)的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?

(8)

其中，拉格朗日系數(shù)μ和η取固定值，而向量λ和β分別隨稀疏表示誤差以及重建圖像的投影誤差的減小而增大，βi為β中的第i個元素，1≤i≤M。λ和β分別如式(9)和式(10)所示:

λt=λt-1-μ(ft-1-ψαt-1)

(9)

(10)

其中，t≥1表示迭代次數(shù)。

式(8)存在兩個變量f和α，本文使用交替最小化的方法來求解這兩個變量。具體過程如下：

步驟1初始化。

初始化CT圖像為投影數(shù)據(jù)經(jīng)濾波反投影FBP(Filtered Back Projection)算法重建的圖像f0，μ和η分別取固定值25和210。

步驟2對ft-1(t≥1)進(jìn)行稀疏表示。假設(shè)，這時求剪切波系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)為:

(11)

由于求解l0范數(shù)問題是NP-hard問題，計算量太大，用l1范數(shù)代替[26]，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?

(12)

步驟3固定剪切波系數(shù)αt，更新重建圖像ft。

這時的優(yōu)化目標(biāo)為:

(13)

步驟4驗(yàn)證是否滿足終止條件。

4 實(shí)驗(yàn)分析

通過仿真實(shí)驗(yàn)來定量分析本文提出的重建算法的性能。實(shí)驗(yàn)對人體肺部進(jìn)行掃描，并在相同條件下分別使用FBP、聯(lián)立迭代重建技術(shù)SIRT(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique)、TV正則化以及本文提出算法進(jìn)行CT圖像重建，以對比重建效果。

4.1 少視角掃描實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證少視角投影時的重建效果，本實(shí)驗(yàn)使用一幅充足劑量CT圖像作為數(shù)字模體進(jìn)行計算機(jī)仿真。模體圖像共512×512像素，如圖2所示。

Figure 2 Numerical phantom圖2 仿真模體

仿真使用扇形投影，888個等角探測器單元，X線源掃描軌跡半徑為400 mm，探測器陣列與X-射線源呈同心圓配置。臨床上一次CT掃描通常需要上千視角[4]，為了驗(yàn)證本文算法在少視角掃描時的有效性，本實(shí)驗(yàn)分別在0°～360°內(nèi)均勻選取了180和90個視角，并對每組投影數(shù)據(jù)分別用FBP、SIRT、TV正則化以及本文提出算法進(jìn)行了圖像重建，重建圖像均為512×512像素。如圖3所示，分別給出了用FBP、SIRT、TV正則化以及本文提出的算法分別對180、90個視角的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行重建得到的CT圖像。

Figure 3 Comparison of images reconstructed from limited-angle projection data圖3 少視角投影重建效果對比

從重建效果圖可以看出，隨著掃描視角減少，F(xiàn)BP算法偽影最嚴(yán)重，效果最差；SIRT算法比FBP算法重建效果稍好，但是偽影仍然較為嚴(yán)重，圖像模糊；TV正則化算法雖然沒有明顯的條紋狀偽影，但是圖像過于平滑，細(xì)節(jié)丟失較多；而本文算法無論在清晰度、對比度還是細(xì)節(jié)保留度上，效果都是最好的。當(dāng)掃描視角降到90個時，雖然由于掃描視角過少而在邊緣出現(xiàn)了一些偽影，但左右肺部細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)仍然比其它算法清晰。為了更清晰地看到細(xì)節(jié)保留效果，本文對圖3中各子圖分別取右肺的一部分進(jìn)行放大對比，如圖4所示。

Figure 4 Detail comparison of right lung in images reconstructed from limited-angle projection data圖4 少視角投影重建圖像右肺部細(xì)節(jié)對比

從圖4可以看出，本文所提出算法對于細(xì)小的血管和氣管的重建最為清晰，細(xì)節(jié)最為明顯，重建效果最好。FBP和SIRT算法偽影嚴(yán)重，TV正則化算法雖然沒有明顯偽影，但是過于平滑，細(xì)節(jié)丟失過多。

為了對所提算法進(jìn)行定量的評價，本文對圖3中的重建圖像與理想模體圖像從均方根誤差RMSE(Root Mean Square Error)和圖像質(zhì)量評價指標(biāo)SSIM(Structural SIMilarity)[27]兩個指標(biāo)來判斷重建圖像質(zhì)量，分別見表1和表2。SSIM反映了兩幅圖像之間的結(jié)構(gòu)相似性，SSIM值越靠近1，圖像相似度越高。RMSE定義為:

(14)

Table 1 RMSE comparison among the FBP,SART,TVregularization and the proposed algorithm from limited-angleprojection in human lung simulation experiments

RMSE越小，說明重建圖像與理想模體的差距越小，由表1可知，本文所提出的算法的RMSE要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于另外三種算法。雖然隨著投影視角的減少，RMSE有所增加，但性能仍然好于其他三種算法。

Table 2 SSIM comparison among the FBP,SIRT,TVregularization and the proposed algorithm from limited-angleprojection in human lung simulation experiments

由表2可以看到，本文所提出的算法得到的重建圖像與理想模體圖像的結(jié)構(gòu)相似度最高。

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，傳統(tǒng)的解析重建算法或迭代重建算法在投影數(shù)據(jù)不滿足數(shù)據(jù)完備性條件時，不能精確重建斷層圖像。本算法在掃描視角降到90個時，仍然能重構(gòu)出與理想模體結(jié)構(gòu)相似度較高的圖像，重建質(zhì)量比傳統(tǒng)的迭代重建算法以及目前受到廣泛關(guān)注的TV最小化迭代算法都要好。本文提出的算法在大大降低了輻射劑量的同時保證了重建圖像質(zhì)量。

4.2 低管電流掃描實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證低X-射線管電流強(qiáng)度投影時的重建效果，本實(shí)驗(yàn)在投影數(shù)據(jù)中加入了文獻(xiàn)[5-8]提出的在10 mAs的管電流強(qiáng)度掃描得到的噪聲模型。

本實(shí)驗(yàn)仍使用圖2所示的數(shù)字模體進(jìn)行計算機(jī)仿真，模體圖像共512×512像素。仿真使用扇形投影，共888個等角探測器單元，旋轉(zhuǎn)中心與探測器的距離是400 mm，探測器陣列與X-射線源呈同心圓配置。本實(shí)驗(yàn)在0°～360°內(nèi)均勻選取了800個視角的投影數(shù)據(jù)，加入均值為0，方差如式(6)所示的高斯噪聲，并對每組投影數(shù)據(jù)分別用FBP、SIRT、TV正則化以及本文提出算法進(jìn)行了圖像重建，重建圖像均為512×512像素。如圖5所示。

Figure 5 Effect of images reconstructed from low X-ray current intensity scanned projection data圖5 低X-射線強(qiáng)度管電流投影重建效果

由于噪聲方差與投影強(qiáng)度呈指數(shù)關(guān)系，圖5所示的FBP、SIRT以及TV正則化算法得到的重建結(jié)果均受噪聲影響較大，重建圖像模糊。而本文所提出的算法由于考慮了投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，在數(shù)據(jù)保真項中加入了統(tǒng)計加權(quán)wi，并且正則化系數(shù)λ和β在重建過程中是自適應(yīng)變化的，降低了噪聲對重建結(jié)果的影響，并且剪切波變換本身具有很強(qiáng)的去噪性能，因此本文所提出的算法重建出的圖像質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他重建算法。在10 mAs電流強(qiáng)度800個掃描視角時重建圖像仍然清晰，和傳統(tǒng)方法所需要的200 mA的電流強(qiáng)度及上千掃描視角相比[3，4]，在保證重建質(zhì)量的同時，輻射強(qiáng)度將為不足傳統(tǒng)方法的10%。

為了更清晰地看到細(xì)節(jié)保留效果，本文對圖5中各子圖分別取右肺的一部分進(jìn)行放大對比，如圖6所示。

Figure 6 Detail comparison of right lung in images reconstructed from low X-ray current intensity scanned projection data圖6 低X-射線管電流投影重建圖像右肺部細(xì)節(jié)對比

從圖6可以看出，本文所提出算法對于細(xì)小的血管和氣管的重建最為清晰，細(xì)節(jié)最為明顯，重建效果最好。FBP和SIRT算法偽影嚴(yán)重、圖像模糊，幾乎無法顯示任何細(xì)節(jié)。TV算法雖然偽影較輕，但是過于平滑，細(xì)節(jié)丟失嚴(yán)重。本文所提出的算法在10 mAs電流強(qiáng)度800個掃描視角時，重建圖像細(xì)節(jié)清晰，具有較強(qiáng)抗噪性能。

本實(shí)驗(yàn)所得的重建圖像和理想模體圖像的均方根誤差和結(jié)構(gòu)相似度見表3。

Table 3 RMSE and SSIM comparison among the FBP,SART,TV regularization and the proposed algorithms from10 mA X-ray current intensity scanned projection data

由表3可知，本文所提出的算法在X-射線管電流強(qiáng)度降低、投影數(shù)據(jù)信噪比下降時重建的圖像的RMSE要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于另外三種算法，而結(jié)構(gòu)相似度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它三種算法。

5 結(jié)束語

本文針對低劑量CT投影數(shù)據(jù)欠完備或低信噪比的特點(diǎn)，根據(jù)投影數(shù)據(jù)所特有的空間非平穩(wěn)噪聲特性，提出一種基于離散剪切波正則化的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法。在數(shù)據(jù)保真項加入符合投影數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性的加權(quán)系數(shù)，將待建圖像在剪切波域可以進(jìn)行稀疏表示作為正則化項加入目標(biāo)函數(shù)，并設(shè)置自適應(yīng)的正則化參數(shù)以增加算法的魯棒性。本算法能夠取得比TV正則化方法更好的重建效果，更適于低劑量不完備投影數(shù)據(jù)的重建。對所提出重建方法做了充分的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，數(shù)據(jù)表明本方法在輻射劑量降低到不足原來10%時仍能準(zhǔn)確重建CT圖像。

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