江蘇省徐州市賈汪中學(xué) 魏玉禮

向量是現(xiàn)代物理學(xué)與數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵工具，將數(shù)與形融為一體，不僅有代數(shù)的抽象性，還有幾何的直觀性，是連接兩者的天然紐帶。在高中教育階段，向量具有較強(qiáng)的實用性，能用來解決多種數(shù)學(xué)問題，不僅是有效的解題手段，還可以把數(shù)學(xué)知識有機(jī)串聯(lián)在一起。因此，在高中數(shù)學(xué)中，教師需要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用向量解決問題，幫助他們構(gòu)建完善的知識體系和提高解題能力，從而不僅優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，更培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。本文筆者結(jié)合教學(xué)實際就此略談點(diǎn)滴感悟，與同行共研。

一、向量知識在解決線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用

簡單線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可用數(shù)形結(jié)合方法求出。應(yīng)用向量知識解決線性規(guī)劃問題時，主要分析有關(guān)向量的數(shù)量積，將z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)用來表示平面內(nèi)向量AB=（x，y）和AM（a，b）的數(shù)量之積。如果|AM|的值固定，x的值是向量AN在向量AM方向投影的倍數(shù)，在該情況下,投影的最值點(diǎn)即為最優(yōu)點(diǎn)。

比如，在教學(xué)“向量的線性運(yùn)算”環(huán)節(jié)，向量作為一個新的概念，學(xué)生開始接觸時自然會感到困難，需要學(xué)習(xí)向量的概念、向量的線性運(yùn)算和平行向量基本定理等知識。當(dāng)他們學(xué)會向量的加法、減法、數(shù)乘向量和向量共線的條件與坐標(biāo)軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算等知識后，教師設(shè)計題目：如果存在z=x+4y中的未知變量x，y滿足以下條件：①x＞1；②x+2y＜3；③x-8y＜0，嘗試求出未知數(shù)z的最小值和最大值。解析：學(xué)生首先需要假設(shè)存在點(diǎn)N（x，y）是任意一點(diǎn)，而且點(diǎn)M能夠用（2，4）來表示，所以得到z=A·AN，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義能夠輕松計算出：如果N（x，y）在點(diǎn)（2，4）處時，z=x+4y有最小值，即為z=2+4×4=2+16=18；假如N（x，y）在點(diǎn)（2，18）時，z=x+4y有最大值：z=2+4×18=2+72=74。

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生把向量知識很好地應(yīng)用到解決簡單線性規(guī)劃問題中，思路將會變得更加清晰，會快速確定解題思路和方向，并在一定程度上降低解題難度和提高解題正確率，從而優(yōu)化問題的解決效率。

二、向量知識在解決常見幾何問題中的應(yīng)用

向量指的是存在方向和大小特征的量，向量大小則指的是該向量的模。在高中數(shù)學(xué)向量知識中，主要包括共線向量、零向量和相等向量等，當(dāng)有向量（a，b）（b≠0）時，則a∥b的充要條件是有實數(shù)λ，且a=λb。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可組織學(xué)生應(yīng)用向量解決一些常見的幾何問題，包括直線與方程、圓與方程等，為他們提供新穎的解題渠道。

如在進(jìn)行“直線與方程”的教學(xué)時，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完教材中的知識內(nèi)容，知道直線的五個方程形式之后，教師可引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用向量知識來解決有關(guān)直線與方程的問題。如：已知三角形AOM的頂點(diǎn)分別是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），點(diǎn)B、C、D則分別是三角形三邊AO、AM、OM的中點(diǎn)，據(jù)此研究直線BC、BD、CD的方程表達(dá)式。解析：由于三角形AOM三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），得出三條邊中點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，-1）、（-2，-1）、（-1，1）。假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）位于直線BD上，因為DB∥DB，那么直線BD的方程能夠輕松求出，以此類推，采用同樣的方法把直線BC和CD的方程計算出來，而且應(yīng)用直線向量和共線向量將問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，同樣可以計算出直線BC和CD的方程。

教學(xué)實踐中，學(xué)生應(yīng)用向量知識解決關(guān)于直線與方程的問題，能夠有效培養(yǎng)他們的思維轉(zhuǎn)換能力，將其數(shù)學(xué)思維鍛煉得更加靈活和敏捷，最終快速求出直線方程。為此，我們教師在教學(xué)中要契合學(xué)生的心理需求，盡可能培養(yǎng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下得以快速發(fā)展。

三、向量知識在解決立體幾何問題中的應(yīng)用

立體幾何既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，還是難點(diǎn)，不少空間圖形比較抽象復(fù)雜，對學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力要求較高，他們在學(xué)習(xí)和解題過程中均感覺難度較大。對此，高中數(shù)學(xué)教師在講授立體幾何知識時，需要引領(lǐng)學(xué)生把向量知識應(yīng)用其中，把復(fù)雜問題變得簡單化，或者借助平面直角坐標(biāo)系知識，把立體幾何問題轉(zhuǎn)換成易于計算的代數(shù)問題。

例如，在學(xué)習(xí)“立體幾何”時，教師設(shè)計問題：有正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)，那么在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)M，能夠讓B1M和平面A1BE相互平行，且進(jìn)行驗證。解析：第一步以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長是2，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0，0），點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（2，0，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2，1），所以BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。設(shè)平面A1BE的法向量用M=（x，y，z）來表示，那么m·BE=-2x+2y+z=0，m·B=2x+2z，如果x=1，那么y=32，z=-1，得出m=（1，32，-1）。當(dāng)點(diǎn)M在棱C1D1上，而且B1M∥平面A1BE，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（xa，2，2），（0≤xa≤2），有BM=（xa-2，2，2），能夠得出m·BM=1×（xa-2）-32×2-（-1）×2=0，則xa=1，即當(dāng)M是棱C1D1的中點(diǎn)時，B1M和平面A1BE平行。

在上述案例中，當(dāng)學(xué)生應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題時，能夠有效降低題目的難度，將抽象的立體幾何知識變得形象具體，借此鍛煉他們的空間想象能力和轉(zhuǎn)換意識，極大地發(fā)展學(xué)生的解題能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，從而在不經(jīng)意間提升了學(xué)生的解題能力。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，向量是相當(dāng)重要的知識內(nèi)容，將向量知識滲透在學(xué)生平時的解題訓(xùn)練中，不僅可以夯實學(xué)生對向量知識本身的理解，還可助推他們的思維能力，優(yōu)化學(xué)生的解題能力，在解決實際問題時有著關(guān)鍵作用。因此，我們教師要引導(dǎo)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)變解題思路，靈活運(yùn)用已有知識，在教學(xué)中善于將已學(xué)知識與新知教學(xué)巧妙融合起來，既讓新知教學(xué)實現(xiàn)積極遷移，更深化學(xué)生對舊知的理解。