福建省安溪縣第五小學(xué) 陳小玲

小學(xué)生心理特點的發(fā)展局限會影響他們對分?jǐn)?shù)除法的理解運算。他們往往不能理解為什么要顛倒相乘，分子與分母之間該如何轉(zhuǎn)換運算，這也與他們對分?jǐn)?shù)除法的基本概念不清楚或者理解不夠透徹有關(guān)。分?jǐn)?shù)除法是在分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)變的一種形式，是逆運算，與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個因數(shù)的積，求另外一個因數(shù)。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，除法的意義也逐漸被擴(kuò)充，這就進(jìn)一步要求小學(xué)生的全面了解和掌握。

一、借助一題多解的模式開闊學(xué)生的視野

在分?jǐn)?shù)除法的運算過程中，一般有兩種解題方法：一種是直接用分子除以被除數(shù)，一種是把除法轉(zhuǎn)化為乘法來計算。第一種方法在某些情況下可能不會奏效，因為分子除以整數(shù)有時除不盡，而第二種方法就是轉(zhuǎn)化為倒數(shù)來約分，而得到的結(jié)果不管是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)都是比較準(zhǔn)確的。在小學(xué)階段，低年級的學(xué)生沒有學(xué)過方程思想，某些復(fù)雜的除法計算就不能簡化，而對于六年級的學(xué)生來說，除法的運算要復(fù)雜很多，這時他們就可以設(shè)未知數(shù)來簡化運算。

例如，把一張紙的五分之四平均分為兩份，每份是這張紙的幾分之幾？學(xué)生可以動手操作來找出答案，把五分之四平均分成兩份就是把四個五分之一分為兩份，每份就是兩個五分之一，即五分之二。或者說把五分之四平均分成兩份，也就是五分之四的二分之一，即從這個簡單的問題中可以看出，解題方法的多樣性與學(xué)生思維能力的提高密切相關(guān)。通過互相間的交流溝通，它能夠讓學(xué)生對于題目內(nèi)部之間的聯(lián)系與貫通有進(jìn)一步的認(rèn)識。有幾類問題比較典型，已知一個問題的幾分之幾是多少，求這個數(shù)的解法。設(shè)單位一的量為x列方程解答，或者已知量除以已知量占單位一的幾分之幾等于單位一的量。用分?jǐn)?shù)除法解決實際問題時可以從多個角度出發(fā)，加深對于數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和理解。已知比一個數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)。列舉一個實際問題：爸爸的年紀(jì)是35歲，他的年紀(jì)比爺爺?shù)哪昙o(jì)小求爺爺?shù)哪昙o(jì)。①根據(jù)數(shù)量關(guān)系，單位1的量×（1±幾分之幾）＝已知量；單位1的量±單位1的量×幾分之幾＝已知量。列方程解答：解得x＝75。②確定單位1的量，計算單位一的量占已知量的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列式解答：這兩種解題的方法都可以很好地體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用和多元化的思維模式。

因此，學(xué)生在重復(fù)練習(xí)除法運算時，遇到實際問題時，要理清已知量的含義是被除數(shù)還是除數(shù)以及等量關(guān)系，多總結(jié)歸納這類問題在解決上的不同方法、總量與部分的占比關(guān)系，這也為初高中各種公式定理的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。

二、借助對比分析模式幫助構(gòu)建模型

分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法可以對比聯(lián)系起來，事物的本質(zhì)是相同的，加減乘除都可以相互轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生明白解題的基本結(jié)構(gòu)和內(nèi)在關(guān)系，就可以在此基礎(chǔ)上形成以分?jǐn)?shù)除法為原則的模型。借助對比分析的手段，不管是初學(xué)除法時整數(shù)相除、一位兩位乃至多位數(shù)的除法，還是深入掌握后整數(shù)與分?jǐn)?shù)相除、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相除，都可以類比乘法來計算，還可以延伸到初中數(shù)學(xué)中多因式相除以及含未知變量的除法，皆相得益彰。

例如，同整數(shù)四則運算相同，含乘除加減運算則先乘除后加減，只有一級運算的，就按照從左至右依次算出。如：某項工程建設(shè)中，一條道路甲隊單獨修要12天才能完成，乙隊單獨修完需18天，問兩隊合修要多少天？甲、乙兩隊的工作效率不同，一般都是已知工作時間和工作效率，用分?jǐn)?shù)乘法來計算工作量，對比一下，都是已知三個量，分?jǐn)?shù)乘法是已知兩個因數(shù)，求它們的積，而分?jǐn)?shù)除法是已知兩因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)。形式不同，本質(zhì)相同。處理這類問題時，就要用到工作時間＝工作量÷工作效率。工作總量是未知的，把它看作單位1，那么完成此項工作的時間是幾，工作效率就是幾分之一，把后者當(dāng)作條件參與列式：再如：①某學(xué)校有1000名學(xué)生，女生人數(shù)是學(xué)生總數(shù)的女生人數(shù)是多少？②第二小學(xué)有400名男生，男生人數(shù)是學(xué)生總數(shù)的學(xué)生總數(shù)是多少？③第二小學(xué)有400名男生，女生比男生多女生人數(shù)是多少？列舉多個相似的分?jǐn)?shù)除法運算，讓學(xué)生在對比分析中探索、討論、觀察、交流，增強(qiáng)他們分析解決問題的能力。解題時常會出現(xiàn)一些量的增減變化，但是一直與這些量有關(guān)的另一些量卻不隨之改變，找出不變的量之間的恒等關(guān)系，就可以把復(fù)雜問題簡單化，找到突破口。對比已知量增減前后與總量之間的占比關(guān)系如何變化，帶來分?jǐn)?shù)的改變對最終除法計算的影響。

因此，可以運用一些基本規(guī)律：將被除數(shù)擴(kuò)大（縮?。﹏倍，而除數(shù)不變，則商也相應(yīng)的擴(kuò)大（縮小）n倍；將除數(shù)擴(kuò)大（縮?。﹏倍，而被除數(shù)不變，則商相應(yīng)的縮?。〝U(kuò)大）n倍。掌握這種計量關(guān)系可以通過情景還原式教學(xué)，不至于讓學(xué)生感到抽象無法理解。長除和短除的不同適用范圍對比理解有相同的效果。一些重視計算過程和商數(shù)的除法，適用于因式分解，多項式除法等是長除；重視倍數(shù)測試和連乘式，適用于快速除法和計算最小公倍數(shù)的是短除。被除數(shù)連續(xù)除以多個除數(shù)等于連乘這幾個數(shù)的倒數(shù)。這些思想的對比分析可使學(xué)生真切地領(lǐng)悟與歸納出借助分?jǐn)?shù)除法處理實際問題的基本特點及思路關(guān)鍵節(jié)點。

三、線段圖是形象與抽象的聯(lián)系紐帶

小學(xué)生對于圖形的了解是淺層次的，他們往往局限在代數(shù)思維愈漸復(fù)雜的道路上，對于抽象思維的培養(yǎng)則有所匱乏，除法計算用線段圖來表示就很直接地呈現(xiàn)了問題同條件之間的聯(lián)系，甚至可以把計算過程簡單化。直觀教學(xué)是小學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生的邏輯思維沒有達(dá)到和抽象思維無縫銜接的高度，所以考慮到他們的認(rèn)知能力，面對已知條件較多、變量關(guān)系較復(fù)雜的除法計算時，可以讓他們將已知量和未知量都標(biāo)注在線段圖上再去分析。

總之，除數(shù)就是條件主體，可以是總量、同階級其他量等，被除數(shù)就是已知量與未知量之間的比例換算條件。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)不斷深入的過程中，除數(shù)和被除數(shù)也由簡變難，但是計算的核心要點是不變的，在平時的教學(xué)中，要活學(xué)活用類比推理來尋求更新穎的解題方法。