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        用方程思想解決實際問題

        2018-03-05 05:38:00福建省南安市康美中學(xué)戴燦陽
        數(shù)學(xué)大世界 2018年3期

        福建省南安市康美中學(xué) 戴燦陽

        一、用方程方法解決幾何問題

        例1如圖所示,用一塊長方形鐵片,在它的四角上各自剪去一個邊長是4cm的小正方形,然后把四邊折起來,恰好做成一個沒蓋的盒子。已知鐵片的長是寬的2倍,做成的盒子容積是1536cm3,求這塊鐵片的長和寬。

        解析:本題是求長方形的長和寬,已知是把該圖形折成長方體并已知容積,長方體的容積公式即為本題的等量關(guān)系式。

        由已知,假設(shè)寬為xcm,則長為2xcm,長方體盒子的底面是一個長方形,長是(x-8)cm,寬為(2x-8)cm它的底面積為(x-8)(2x-8)cm2。長方體的容積為1536 cm3,所以就可以列出方程:(2x-8)(x-8)×4=1536。

        解此方程,求得方程的根并檢驗,確定方程的根,從而求得這塊鐵片的長和寬。

        本題考查幾何體的容積,通過假設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),再利用長方體的容積公式就得到了一元二次方程,利用一元二次方程的解法求出它的解,檢驗答案的合理性,就解決了這個問題。

        例2求直線y=-x+2與直線y=3x-1的交點坐標(biāo)。

        分析:這種求函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的問題是與函數(shù)有關(guān)問題中的一類常見問題,要直接利用函數(shù)圖象準(zhǔn)確地找出交點坐標(biāo),對于尺規(guī)作圖的方法很難做到,把求直線與直線的交點坐標(biāo)看作求方程組的解就可以解決了。

        ∴這兩直線的交點坐標(biāo)為(2,-1)。

        兩條直線的交點實際上就是它們的公共點,這和方程組的思路是相通的,即兩個方程的公共解,所以采用方程組的方法。

        二、用方程思想解決經(jīng)濟問題

        如華東師大(2008)版九年級(上)有一題:

        例3陽江市政府考慮在兩年后實現(xiàn)市財政凈收入翻一番,那么這兩年中財政收入的平均年增長率應(yīng)為多少?

        解析:本題要理解翻一番的意義??梢约僭O(shè)原來的財政凈收入為a,兩年以后財政凈收入就是2a,再假設(shè)平均年增長率為x,相等關(guān)系就是財政凈收入翻一番??闪蟹匠蹋?/p>

        A(1+x)2=2a。

        解得方程的兩個解,檢驗把不符合題意的解舍去,確定方程的解,從而求出這兩年的年平均增長率。

        本道問題沒有一個數(shù)據(jù),需要大膽假設(shè),用什么不同的思路去思考問題,最后找到方程的方法,要有不怕失敗的精神,才能使問題得以解決。

        例4某商場將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售,一天可售出100件,后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元,其銷售量可增加10年。

        (1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利多少元?

        (2)若商場經(jīng)營該商品一天要獲利2160元,則每件商品應(yīng)降價多少元?

        解析:關(guān)于利潤問題,有公式:總利潤=每件商品的利潤×銷售數(shù)量,每件商品的利潤=銷售單價-進價。本題的關(guān)鍵是銷售量和銷售單價緊密相關(guān),是一個函數(shù)關(guān)系,也是本題的難點,應(yīng)采用逐步解決、化繁為簡的方法解決。(1)求出原來一天可獲利潤是一個代數(shù)問題,即:100×(100-80)=2000(元)。而第(2)題應(yīng)綜合運用兩個公式,利用(1)的方法及銷售量和銷售單價之間的關(guān)系,若假設(shè)每件應(yīng)降價x元,則依據(jù)題意“每降低1元,其銷售量可增加10件”得:銷售量為(100+10x)件,類似(1)就可列方程:(100+10x)(100-80-x)=2160。本方程是一元二次方程,求出它的解并檢驗,就可以得到問題(2)的答案了。

        通過以上的例子我們可以看出,不論在代數(shù)或是幾何等數(shù)學(xué)分支,我們都可以利用方程的方法解決實際問題,可見方程對于解決問題的重要性。法國著名數(shù)學(xué)家笛卡兒曾說過:“自然界的一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而所有的代數(shù)問題都可以歸納為方程問題求解?!边@句話似乎說得太絕對了,但無形之中又告訴我們:方程在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位,對解決問題發(fā)揮著巨大作用,它是解決問題的有力工具,它是一把頂省力的“杠桿”。 總而言之,方程對我們?nèi)粘I钇鹬浅V匾淖饔?,利用方程這個杠桿解決實際問題,就可以起到事半功倍的功效。

        [1]魯曉琴.談方程模型思想的滲透[J].文化教育,2007(2):36.

        [2]張楚廷.?dāng)?shù)學(xué)文化[M].北京:高等教育出版社,2002.

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