任志偉

（鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院，河南 鶴壁 458000）

現(xiàn)如今，混沌現(xiàn)象不僅是物理界研究的熱點(diǎn)，同時(shí)也受到了工程技術(shù)界的廣泛關(guān)注，越來越多的技術(shù)研究?jī)A向于混沌現(xiàn)象。由于近年來對(duì)混沌系統(tǒng)的控制與同步成為控制理論與控制工程領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容，在對(duì)控制和同步混沌系統(tǒng)更深刻理解的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者針對(duì)各類混沌系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究。然而以上研究大多是基于整數(shù)階混沌系統(tǒng)，近年來在整數(shù)階混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上又出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)值分析混沌系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階微積分是研究分?jǐn)?shù)階次的微積分算子特性以及分?jǐn)?shù)階微分方程的理論，已經(jīng)有逾300年的歷史。隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分研究的不斷深入，研究者普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的自然推廣，極大地?cái)U(kuò)展了人們所了解的整數(shù)階微積分的描述能力。所以，現(xiàn)今分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)值分析以及物理和工程等不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，越來越多地引起了廣泛的關(guān)注。分?jǐn)?shù)階微積分理論在不同領(lǐng)域應(yīng)用研究的顯著增加，同樣也引起了控制領(lǐng)域?qū)＜液蛯W(xué)者們的重視，有關(guān)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步問題研究也日益增多。

近年來，由于智能控制的不斷完善和發(fā)展，特別是模糊控制的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的模糊控制也得到了一定的發(fā)展，很多學(xué)者針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，利用分?jǐn)?shù)階T-S模糊模型，研究了其控制問題；有些文獻(xiàn)針對(duì)分?jǐn)?shù)階區(qū)間不確定系統(tǒng)，利用分?jǐn)?shù)階T-S模型建模，設(shè)計(jì)了能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，并應(yīng)用到一類帶有不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中。另一方面，滑模變結(jié)構(gòu)控制已經(jīng)形成了一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究分支，適用于線性與非線性系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)等，并且在實(shí)際工程中逐漸得到推廣應(yīng)用。在混沌系統(tǒng)的同步研究中，滑?？刂埔驳玫搅藦V泛的應(yīng)用，有些文獻(xiàn)針對(duì)一類帶有外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，研究了自適應(yīng)滑模同步控制問題。更進(jìn)一步，采用主動(dòng)滑模控制器，有些文獻(xiàn)通過探討分?jǐn)?shù)階主從結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步控制問題。針對(duì)帶有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，基于自適應(yīng)模糊滑?？刂?，但是對(duì)于有關(guān)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的T-S模糊滑?？刂?，仍有許多亟待解決的問題。

文章在深入分析研究分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用T-S模糊模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)?；跔顟B(tài)反饋和模糊控制思想，研究了分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)的模糊控制算法。并大膽引入了滑?？刂撇呗?，成功設(shè)計(jì)了能夠使分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)漸近同步的模糊滑模自適應(yīng)控制器，特別是文章所討論的系統(tǒng)充分兼顧了實(shí)際系統(tǒng)中含有不確定和外部擾動(dòng)的情況。文章最后利用Matlab-Simulink軟件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，取得了令人滿意的結(jié)果，從而證實(shí)了文章提出的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)T-S模糊滑模自適應(yīng)控制算法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

在此章節(jié)，考慮如下含均勻氣隙的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

其中，ω、id和iq是狀態(tài)變量，分別表示角速度，d軸電流和q軸電流。σ和γ是系統(tǒng)的操作參數(shù)且為正常數(shù)和q分別表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩，d軸電壓和q軸電壓。系統(tǒng)（1）中，令外部輸入為零，即。其中，當(dāng)σ和γ的取值在特定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)（2）能產(chǎn)生混沌特性，例如σ=5.45，γ=20。這種混沌行為會(huì)破壞永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為了消除或控制混沌現(xiàn)象，可將ud作為一個(gè)可調(diào)變量，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中也是可以實(shí)現(xiàn)的。接下來，令

可得到

由于系統(tǒng)內(nèi)部阻尼所引起的動(dòng)態(tài)效果可以通過分?jǐn)?shù)階微積分來進(jìn)行描述，根據(jù)系統(tǒng)（3），將分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

其中，當(dāng) σ=5.45，γ=20，α=0.95 時(shí)，其混沌吸引子如圖 1所示。

圖1 加入控制前系統(tǒng)（4）相軌跡

2 系統(tǒng)重構(gòu)

考慮如下分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

由T-S模型描述的模糊規(guī)則i：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2且…且zn（t）是Fin，則對(duì)于系統(tǒng)（4）采用單點(diǎn)模糊化，乘積推理，中心加權(quán)平均解模糊，可得到模糊系統(tǒng)的整個(gè)狀態(tài)方程為：

式中：x（t）∈Rn為狀態(tài)變量；Fij（zj（t））是zj（t）關(guān)于模糊集Fij的隸屬度函數(shù)；Ai∈Rn×n；N表示模糊推理規(guī)則數(shù)

在分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)中具有兩個(gè)非線性項(xiàng)x1x3和x1x2為構(gòu)造成式（6）的模糊系統(tǒng)，需要將兩個(gè)非線性項(xiàng)表示成一些線性函數(shù)的權(quán)重線性和。

式中，g1（x（t））=M1，g2（x（t））=M2，M1和M2為模糊集。因此，針對(duì)系統(tǒng)（4），為了得到形如式（6）的模糊系統(tǒng)，可以建立如下模糊規(guī)則：

分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)處于混沌時(shí)，假設(shè)x1的取值范圍是［-20，20］，因此取 M1=-20，M2=20。通過 T-S模糊模型重構(gòu)后的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)其吸引子形狀與重構(gòu)之前的吸引子相同?？紤]到實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的不確定性和外部擾動(dòng)都是不可避免的，因此通過重構(gòu)系統(tǒng)，帶有模型不確定和外部擾動(dòng)的全局模糊系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可以描述如下：

同理，依照上述模糊規(guī)則，將系統(tǒng)（5）按照相同的方式進(jìn)行系統(tǒng)重構(gòu)，則重構(gòu)后的響應(yīng)系統(tǒng)如下：

其中，Δf（x，t）和Δg（y，t）分別表示系統(tǒng)（4）和（5）的不確定性，dx（t）和 dy（t）分別表示系統(tǒng)（4）和（5）的外部擾動(dòng)，且滿足

假設(shè)1：系統(tǒng)（4）和（5）中的不確定項(xiàng)Δf（x，t），Δg（x，t）是有界的，且滿足其中（i=1，2，3）是正實(shí)數(shù)。

假設(shè) 2：系統(tǒng)（4）和（5）中的外部擾動(dòng)項(xiàng) dx（t），dy（t）是有界的，且滿足，其中ξi（i=1，2，3）是正實(shí)數(shù)。

定義1：針對(duì)分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）和分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)（5），如果存在一個(gè)控制器ui（t）（i=1，2，3）使得下列等式成立：

則分?jǐn)?shù)級(jí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（5）實(shí)現(xiàn)漸近同步。

因此，我們目標(biāo)就是設(shè)計(jì)一個(gè)能夠保證誤差系統(tǒng)ei（t）=yi（t）-xi（t）漸近穩(wěn)定的控制器。

3 模糊滑模自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

在此章節(jié)，首先選取如下滑模平面如下：

根據(jù)滑模控制方法可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模平面時(shí)，則滿足

考慮到現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，系統(tǒng)的不確定和外部擾動(dòng)是是未知或者不可測(cè)得的，因此根據(jù)式s·（t）=0，等效控制率ueq可以設(shè)計(jì)如下：

這里，為了保證到達(dá)速率，一種新的滑模到達(dá)率ur設(shè)計(jì)如下：

其中為自適應(yīng)參數(shù)且滿足 k1，k2，k3，α，β＞0 且自適應(yīng)率

結(jié)合式（11）和（12），可將模糊控制器設(shè)計(jì)如下：

定理1 若存在一個(gè)如式（16）的控制器，則系統(tǒng)（4）和（5）可以實(shí)現(xiàn)漸近同步。

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述所提控制方法及控制器的有效性，現(xiàn)選取系統(tǒng)的參數(shù)如下：

利用上述參數(shù)，通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，可得到如下仿真結(jié)果。圖2為目標(biāo)系統(tǒng)（4）和（5）受控后的狀態(tài)響應(yīng)x1（t），y1（t），圖 3 為滑模平面 s（t）的狀態(tài)響應(yīng)。

圖2 受控后系統(tǒng)（4）和（5）的狀態(tài)響應(yīng)x1（t），y1（t）

圖3 滑模平面si（t）（i=1，2，3）

5 結(jié)語

文章研究了帶有不確定以及外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)的同步問題，基于T-S模糊模型，首先對(duì)分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)重構(gòu)，給出了重構(gòu)后的模糊系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，然后結(jié)合滑模控制，自適應(yīng)控制理論，設(shè)計(jì)出了能夠保證分?jǐn)?shù)階誤差系漸近穩(wěn)定的模糊滑模自適應(yīng)控制器。仿真結(jié)果表明，文章所設(shè)計(jì)的控制是有效的。

［1］Zeng H，Park J H，Xiao S.Further results on sampled-data control for master-slave synchronization of chaotic Lur’e systems with time delay［J］.Nonlinear Dyn，DOI 10.1007/s11071-015-2199-6.

［2］盧俊國，魏榮，汪小帆，等.連續(xù)混沌系統(tǒng)控制與同步的自適應(yīng)方法［J］.控制與決策，2002，17（1）：114-116.

［3］GE S S，Wang C.Uncertain chaotic system control via adaptive neural design［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12（5）.

［4］劉恒，李生剛，孫業(yè)國.帶有未知非對(duì)稱控制增益的不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)模糊同步控制［J］.物理學(xué)報(bào)，2015，64（7）.

［5］潘光，魏靜.一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)［J］.物理學(xué)報(bào)，2015，64（4）.