歐陽運芳，李建蘭

（1.上海中航商用航空發(fā)動機制造有限責任公司，上海 201306；2.華中科技大學，湖北武漢 430074）

1 前言

喘振是航空發(fā)動機壓氣機的一種非常危險的不穩(wěn)定工況，如不能及時消喘則有可能導致機毀人亡的嚴重事故。目前主要采用主動控制和被動控制來預防壓氣機喘振［1，2］。而喘振監(jiān)測是控制手段介入的前提。Moore和Greitzer發(fā)現(xiàn)壓氣機系統(tǒng)不穩(wěn)定狀態(tài)主要取決于一個無因次參數(shù)——B參數(shù)，B參數(shù)的大小決定了壓氣機系統(tǒng)是否發(fā)生喘振。但目前對B參數(shù)的研究并不太多［3，4］。

Yu等發(fā)現(xiàn)發(fā)生喘振時增大B值或在發(fā)生旋轉(zhuǎn)失速時減小B值［5］，Lyapunov指數(shù)譜是一條從原點出發(fā)的譜線。張杰、黃偉等分別研究了B參數(shù)變化對系統(tǒng)狀態(tài)及壓氣機氣動穩(wěn)定性的影響［6，7］。Gravdahl和陳策在研究了 B 參數(shù)對軸流壓氣機失速和喘振的影響以及壓縮系統(tǒng)中對應的靜態(tài)分叉行為［8～10］。Hu研究了B參數(shù)、級數(shù)目以及級負荷增加對喘振的影響［11］。Eyad發(fā)現(xiàn)B參數(shù)值范圍和振蕩初始位置條件是確定不穩(wěn)定行為的決定性因素［12］。Wei利用B參數(shù)Hopf分叉理論設計控制律用來對喘振進行主動控制［13］。

綜上所述，目前研究主要集中于定性分析B參數(shù)大小對壓氣機穩(wěn)定性的影響，但缺乏對判斷喘振發(fā)生的臨界B參數(shù)的定量研究。因此，本文利用穩(wěn)定性理論和分叉理論對軸流壓氣機進行分析，推導臨界B參數(shù)的表達式，建立全工況下的臨界B參數(shù)曲面，為航空發(fā)動機喘振監(jiān)測提供依據(jù)。

2 壓氣機穩(wěn)定性分析

Greitzer和Moore將軸流壓氣機系統(tǒng)分為上、下游平直管道、帶進口導向器的N軸流壓氣機、集氣箱、以及排氣管道和排氣閥門等部分［3，4］。

假設壓氣機內(nèi)的流動是低速、二維流動，擾動速度勢為一階諧波，根據(jù)動態(tài)壓升平衡方程、連續(xù)性方程和理想氣體定律，可以推導出MG模型［3，4］：

式中 Φ——平均流量系數(shù)

Ψ——系統(tǒng)總靜壓升系數(shù)

J——軸向擾動速度幅值的平方

式（1）中B表示壓氣機系統(tǒng)B參數(shù)。B參數(shù)是壓氣機系統(tǒng)在容腔內(nèi)氣體壓力和作用在容腔中內(nèi)力的比值［3］。Greitzer認為B參數(shù)的大小決定了壓氣機不穩(wěn)定狀態(tài)是旋轉(zhuǎn)失速還是喘振，當B參數(shù)較大時，系統(tǒng)進入喘振狀態(tài)，但B參數(shù)較小時，系統(tǒng)進入旋轉(zhuǎn)失速狀態(tài)。因此，存在一個臨界B參數(shù)。

壓氣機穩(wěn)態(tài)時的流量—壓升特性曲線近似為三次曲線，即壓氣機穩(wěn)態(tài)特性曲線，一般可寫成：

式中 Ψc0——特性線在縱軸的節(jié)距

H——特性線的半高

W——特性線的半寬

為分析喘振的影響，令式（1）中J＝0，可以將MG模型簡化為二階微分方程：

對于一般的二階微分方程：

其平衡點為：

則式（4）的雅克比常系數(shù)方程為：

式（6）的系數(shù)矩陣為：

令式（7）的特征方程為：

則式（8）的解的一般形式為：

根據(jù)穩(wěn)定性定理：如果在某個鄰域內(nèi)，二階微分方程的兩個解（x1（t），x2（t）），從這個領域內(nèi)的某個（x1（t0），x2（t0））出發(fā)，使得：

若方程的解滿足式（10），則平衡點是（漸進）穩(wěn)定的，否則，平衡點是不（漸進）穩(wěn)定的。

因此，對于式（9），只有當λ1，λ2均為負數(shù)或均有負實部時，才能滿足式（10），該平衡點是穩(wěn)定平衡點；若λ1，λ2有一個為正數(shù)或有正實部時，不能滿足式（10），平衡點不穩(wěn)定。

對式（5）求取雅克比矩陣：

設（Φ0，Ψ0）是系統(tǒng)的平衡點，系統(tǒng)的特征方程為：

求解特征值方程可以得到：

在式（10）中，使λ1，λ2均為負數(shù)或均有負實部才能保證平衡點是穩(wěn)定平衡點。λ1，λ2的大小與特性線、節(jié)流參數(shù)r和B參數(shù)有關。當轉(zhuǎn)速不變時，僅與B參數(shù)有關。計算特征值實部隨B參數(shù)變化的關系，如圖1所示。

圖1 特征值實部隨B參數(shù)變化

假設其他特征值保持穩(wěn)定，隨著B參數(shù)的增大，動力系統(tǒng)的雅克比矩陣的一對共軛特征值穿越虛軸，從左半復平面到右半復平面，在穿越虛軸的時刻，共軛特征值的實部變?yōu)榱?，平衡點的穩(wěn)定性將發(fā)生變化，同時在平衡點產(chǎn)生極限環(huán)。這種分叉行為稱為Hopf分叉［14］。

圖1中B參數(shù)作為分叉參數(shù)時，當特征值實部從負值向上穿越實軸，即發(fā)生了Hopf分叉，也就是喘振開始的時刻。

根據(jù)Hopf分叉定理，系統(tǒng)極限環(huán)是穩(wěn)定且唯一的，從穩(wěn)定性角度來說，出現(xiàn)了極限環(huán)即出現(xiàn)了穩(wěn)定的周期，意味著發(fā)生了喘振［10］。因此可以通過Hopf分叉求解喘振發(fā)生的臨界點，得到臨界Bcr參數(shù)為：

3 全工況臨界B參數(shù)曲面

根據(jù)式（14）及航空發(fā)動機壓氣機實際性能參數(shù)，可計算得到壓氣機的臨界B參數(shù)，實現(xiàn)對壓氣機喘振的在線監(jiān)測。由于作者目前缺乏壓氣機實際運行數(shù)據(jù)及實驗數(shù)據(jù)，本文將根據(jù)參考文獻［3，4］來組織壓氣機性能參數(shù)（如表1所示），以獲得壓氣機的臨界B參數(shù)。

表1 壓氣機性能參數(shù)

節(jié)流參數(shù)r=0.5時，代入式（14）可以計算出Bcr=0.45，此時轉(zhuǎn)速約為35 m/s。將表1各值代入式（2），可以得到壓氣機特性線，表示壓氣機增壓能力隨流量變化而變化，即壓升系數(shù)為流量系數(shù)的函數(shù)。軸流壓氣機特性線隨轉(zhuǎn)速的變化而變化，一般表示成等轉(zhuǎn)速線的形式［15～20］，如圖 2 所示，圖中每條曲線都代表了一定轉(zhuǎn)速下壓升系數(shù)和流量系數(shù)的函數(shù)關系，從下到上依次表示轉(zhuǎn)速從低到高。當轉(zhuǎn)速變化時，H，W值也隨之變化。根據(jù)文獻［19］，轉(zhuǎn)速增大，H，W增大，反之轉(zhuǎn)速降低，H，W減小，且等轉(zhuǎn)速線特性線近似于平行關系。文獻資料指出當轉(zhuǎn)速升高時特性線上移，反之特性線下移，可得到一族特性曲線，即等轉(zhuǎn)速特性曲線族。

圖2 壓氣機特性曲線

則Bcr與轉(zhuǎn)速U的關系曲線：

影響B(tài)cr另一個重要的參數(shù)為節(jié)流參數(shù)r。對式（14）分析發(fā)現(xiàn)，節(jié)流參數(shù)r越小，Bcr也越小。對于給定的轉(zhuǎn)速U，根據(jù)式（14）可得到Bcr與節(jié)流參數(shù)r的關系曲線：

由式（15）和式（16）可以計算出所有U和r組 合條件下的Bcr值，因此可以得到壓氣機臨界Bcr隨轉(zhuǎn)速U、節(jié)流參數(shù)r變化的三維曲面，即壓氣機的全工況Bcr曲面圖，如圖3所示。

圖3 壓氣機臨界Bcr曲面

在圖3全工況Bcr曲面中，每一個節(jié)流參數(shù)r和轉(zhuǎn)速U都對應一個臨界B參數(shù)。根據(jù)上文分析，當系統(tǒng)參數(shù)運行在Bcr曲面以下時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)或者旋轉(zhuǎn)失速狀態(tài)，不會發(fā)生喘振。因此，對于每一個壓氣機系統(tǒng)，都可以將運行中將B參數(shù)作為一個監(jiān)控指標，控制節(jié)流參數(shù)和轉(zhuǎn)子線速度（轉(zhuǎn)速）在一定范圍內(nèi)變化，只要使B參數(shù)值處于臨界Bcr曲面之下，即可防止喘振的發(fā)生。

4 結(jié)語

本文提出了一種壓氣機喘振監(jiān)測的新方法。在MG模型的基礎上，研究了壓氣機系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性問題，并利用穩(wěn)定性理論和Hopf分叉理論推導了臨界B參數(shù)的表達式，得到了壓氣機全工況Bcr參數(shù)曲面。壓氣機運行過程中的B參數(shù)僅由運行參數(shù)決定，運行過程中只要控制壓氣機的B參數(shù)在臨界Bcr參數(shù)曲面之下，壓氣機就不會進入喘振狀態(tài)。該方法不同于傳統(tǒng)喘振監(jiān)測方法，不需要監(jiān)測壓氣機的實時流量和壓力信號，可為航空發(fā)動機壓氣機喘振的實時監(jiān)測及預防提供一種新思路。

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