魏廣明，秦娟娟，王 坤，張 茜

(1. 天津財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，天津 300222； 2. 天津財經(jīng)大學(xué)商學(xué)院，天津 300222)

1 引言

商業(yè)信用是賣方向買方提供的一種信用，允許買方從賣方購得商品而不需要立刻支付貨款，是企業(yè)間普遍采用的融資方式[ 1-2]。據(jù)金融時報報導(dǎo)，2007年全球商品貿(mào)易的資金90%是通過商業(yè)信用來提供的，約25萬億美元；2009年3月，Wal-Mart的資產(chǎn)負債表中，有28.8萬億美元的應(yīng)付賬款，占其持有庫存的75%。許多采用商業(yè)信用支付的企業(yè)會銷售易逝產(chǎn)品，如Wal-Mart銷售蔬菜水果等易變質(zhì)產(chǎn)品。同時，這些企業(yè)會通過一定的技術(shù)投入來降低產(chǎn)品的變質(zhì)率，如Wal-Mart會通過提供保鮮等冷藏設(shè)備來降低蔬菜等產(chǎn)品的變質(zhì)率。因此，論文從現(xiàn)實情景出發(fā)，整合易逝品供應(yīng)鏈中，商業(yè)信用和保鮮技術(shù)投入的研究，探討易逝品供應(yīng)鏈中，商業(yè)信用和保鮮技術(shù)投入下，采購商的最優(yōu)庫存和技術(shù)投入問題，豐富有關(guān)的理論研究。

Goyal[3]首先提出了基于商業(yè)信用的EOQ模型。此后，有許多學(xué)者許多方面對上述模型進行了擴展，如缺貨[ 4-5]、兩級商業(yè)信用[6]、不同的市場需求函數(shù)[7]等。但上述研究常假設(shè)產(chǎn)品不會發(fā)生變質(zhì)，但現(xiàn)實中許多產(chǎn)品價值會隨著時間的推移發(fā)生變質(zhì)而產(chǎn)生損耗，如電腦芯片，新鮮果蔬等。因此，許多學(xué)者在商業(yè)信用框架下探討易逝品的庫存策略。Aggarwal和Jaggi[8]和Chu等[9]考慮了損耗性商品在固定需求和商業(yè)信用期限下的批量問題。Jamal等[10]和Dye[11]研究了信用支付情況下，變質(zhì)產(chǎn)品在允許缺貨條件下的訂貨策略。Chen和Kang[12]擴展了Jamal等[10]的模型，考慮持有費用比率、收入利息、支出利息均為模糊的情形。Ouyang等[13]研究非瞬時變質(zhì)產(chǎn)品的情形。

近年來，Balkhide[14]考慮資金的時間價值，假設(shè)存在時變變質(zhì)率和時變需求率，構(gòu)建了庫存優(yōu)化模型，結(jié)合搜索算法給出了求解步驟。Liao和Huang[15]考慮了延期支付及常數(shù)變質(zhì)率下兩倉儲的庫存決策問題。Liang Yanlai和Zhou Fangming[16]同樣研究了延期付款條件下的常數(shù)變質(zhì)率的庫存決策問題，但其模型中租賃倉庫的保管成本要高于自有倉庫。Mahata[17]在指數(shù)變質(zhì)率及兩級商業(yè)信用下，探討了在供應(yīng)鏈管理中采用經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型的采購商最優(yōu)補貨策略，其中假設(shè)采購商提供給顧客部分商業(yè)信用。Chang等[18]在指數(shù)變質(zhì)率及兩級商業(yè)信用下，構(gòu)建了經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型。Sarkar等[19], Mahata[20]，Teng等[21]等慮了商業(yè)信用下，易逝品存在固定生命期限的采購商最優(yōu)策略。

但是上述研究都沒有考慮產(chǎn)品變質(zhì)率的可控性，變質(zhì)率常被假定為外生變量，然而現(xiàn)實中，通過技術(shù)的投入可影響產(chǎn)品的變質(zhì)率的大小。但是，保鮮技術(shù)一方面可以降低易逝品的變質(zhì)率，另一方面因保鮮技術(shù)投資會增加總成本的支出，因此，對商業(yè)信用下易逝品庫存管理產(chǎn)生了難以忽略的影響(尤其是對一些高變質(zhì)率的產(chǎn)品，如鮮花、水果)。在不考慮商業(yè)信用支付方式下，有些學(xué)者對易逝品的技術(shù)投入做了探討。如Yang 和 Wee[22]發(fā)現(xiàn)了高變質(zhì)率會導(dǎo)致高成本和低需求率。Ouyang等[23]研究了在允許延期付款的條件下，非瞬時易逝品的最優(yōu)補貨策略，最后提出了如果采購商通過提高易逝品儲存能力可以有效地降低易逝品變質(zhì)率，那么相關(guān)庫存總成本也會相應(yīng)降低。許多企業(yè)都投資保鮮設(shè)備來降低變質(zhì)率，并且延長產(chǎn)品的保質(zhì)期。Hsu等[24]在考慮缺貨的情況下探討了允許采購商進行保鮮技術(shù)投資的易逝品的最優(yōu)庫存策略。Dye和Hsieh[25]在此基礎(chǔ)上，假設(shè)了易逝品的變質(zhì)率隨時間變化，最終證明了存在唯一的最優(yōu)補貨策略，并且發(fā)現(xiàn)了在給定的補貨周期下每單位時間的總利潤是保鮮技術(shù)成本的凹函數(shù)。上述文獻中，都假設(shè)需求為常數(shù)。Hsieh和Dye[26]同樣建立了一個考慮保鮮技術(shù)投資的易逝品庫存模型，但假設(shè)需求隨時間變化。而He Yong和Huang Hongfu[27]假設(shè)了需求與價格呈線性關(guān)系，討論了考慮保鮮技術(shù)投資的季節(jié)性易逝品的最優(yōu)庫存策略和價格政策。

因此，本文將可以降低易逝品變質(zhì)率的保鮮技術(shù)引入商業(yè)信用下易逝品庫存模型中，從采購商的角度出發(fā)，考慮到保鮮技術(shù)對總利潤的影響，分析了在商業(yè)信用支付策略下易逝品的最優(yōu)庫存策略及技術(shù)投入策略。首先，分兩種情形討論了考慮保鮮技術(shù)投入后，采購商的利息收入和利息支出，建立了相應(yīng)的決策模型。其次，通過模型的分析求解，得出了采購商的最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)保鮮技術(shù)投資水平的判定方法；最后，通過數(shù)值分析對有關(guān)結(jié)論進行了驗證，并進一步分析了各參數(shù)對采購商最優(yōu)決策的影響。

2 符號與假設(shè)

2.1 主要符號

論文用到的主要符號如下：

A: 采購商的固定訂貨成本；

s：采購商的單位銷售價格；

c：采購商的單位采購價格，s≥c;

h:采購商的單位庫存持有成本(不計利息支出)；

D：產(chǎn)品的市場需求量；

Ie：單位利息收入率；

Ik：單位利息支出率；

T：采購商的訂貨周期，為決策變量；

Q：采購商的訂貨批量；

M：供應(yīng)商提供給采購商的商業(yè)信用期；

θ：產(chǎn)品的自然變質(zhì)率；

β：單位時間內(nèi)保鮮技術(shù)的投資成本，為決策變量；

I(t)：隨著時間t變化的庫存水平；

TP: 單位時間采購商的銷售利潤。

2.2 模型假設(shè)

(1)考慮由供應(yīng)商和采購商組成的兩級供應(yīng)鏈，采購商只采購一種產(chǎn)品，不允許缺貨。

(2)訂貨提前期為0，即瞬時補貨。

(3)供應(yīng)商提供給采購商的商業(yè)信用期為M。在商業(yè)信用期內(nèi)，采購商不需要支付貨款，且可以利用銷售收入獲得一定的利息。

(4)為了減少產(chǎn)品變質(zhì)給企業(yè)所帶來的損失，企業(yè)可以通過保鮮技術(shù)的投入來降低其變質(zhì)率。例如，企業(yè)可以通過運行冷藏設(shè)備等來降低蔬菜水果的變質(zhì)率，那么在單位時間內(nèi)，冷藏設(shè)備的運營成本即為單位時間內(nèi)保鮮技術(shù)的投資成本。引入保鮮技術(shù)后產(chǎn)品的變質(zhì)率為θ-η(β)，且η(β)=θ(1-e-?β)，其中?η(β)/?β<0，?2η(β)/?β2>0。θ為自然變質(zhì)率，滿足0≤θ<1；是保鮮技術(shù)投資對變質(zhì)率的敏感系數(shù)，?≥0；β為單位時間內(nèi)保鮮技術(shù)的投資成本，β≥0，為決策變量[26-27]。

3 模型構(gòu)建

在訂貨周期T內(nèi)，庫存水平的下降由市場需求和產(chǎn)品的變質(zhì)引起，因此，采購商的庫存水平變化可以用以下微分方程來表示：

dI(t)/dt=-D-[θ-η(β)]I(t)

(1)

其滿足的邊界條件為.

由式(1)，計算可得采購商的庫存水平為：

(2)

采購商單位周期的訂貨量為：

(3)

采購商的單位周期利潤由以下幾部分構(gòu)成：銷售收入，固定訂貨成本，采購成本，庫存保管成本，保鮮技術(shù)投資成本，利息支出和利息收入。

(1) 單位時間保鮮技術(shù)投資成本：β；

(2) 銷售收入：sD；

(5) 單位時間的庫存保管成本(不包括庫存資金成本)：

(6) 利息收入和利息支出的分析見3.1 和3.2。

根據(jù)商業(yè)信用期M和訂貨周期T之間的關(guān)系，采購商的利息收入和利息支出分為以下2種情況：M>T和M≤T.

3.1 情形一.M>T

當(dāng)供應(yīng)商提供給采購商的商業(yè)信用期M大于銷售商訂貨周期T時，采購商在信用期M內(nèi)取得了所有的銷售貨款，可以及時地向供應(yīng)商支付采購費用，因此，無需支付庫存資金成本，即利息支出為0。

采購商在T時刻取得了全部銷售收入，因此在[0,T]內(nèi)可以獲得已取得銷售收入的利息收益，而在[T,M]內(nèi)可以獲得全部銷售收入的利息收益。因此，利息收入為：

(4)

3.2 情形二.M≤T

由于供應(yīng)商允許延遲付款，因此在[0,M]內(nèi)采購商可以取得已取得銷售收入的利息收益。因此，利息收入為：

(5)

由于M≤T，在信用期M內(nèi)，采購商沒有取得所有銷售貨款，因此需要支付在[M,T]內(nèi)的庫存資金成本。因此，利息支出為：

(6)

通過以上分析，可得采購商的利潤表達式：

采購商單位周期的利潤=銷售收入-固定訂貨成本-采購成本-庫存保管成本-保鮮技術(shù)投資成本-利息支出+利息收入

其中，

(7)

(8)

4 最優(yōu)解分析

4.1 最優(yōu)訂貨周期T

情形一 .T≤M

為了求解該區(qū)間內(nèi)采購商的最優(yōu)訂貨周期，可以對T求一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，計算一階導(dǎo)數(shù)可得：

其中：

(9)

易得：

(10)

TP1(T|β)對T的二階導(dǎo)數(shù)為：

滿足以上條件的T1就是可以使式(7)取得最大值的T。如果0

通過分析，我們可以得到命題1。

命題1.對于任意β≥0

(1)T1不但存在而且是唯一解。

(2)如果0

(3)如果T1≥M，TP1(T|β)在T≤M的條件下可以在M處取得最大值。

情形二.M≤T

為了得到最優(yōu)的訂貨周期，我們可以求TP2(T|β)對T的一階偏導(dǎo)：

(11)

其中：

(12)

f2(T|β)對T求偏導(dǎo)可得：

(13)

TP2(T|β)對T求二階偏導(dǎo)為：

通過以上分析，可得命題2。

(1)T2不但存在而且是唯一解。

(2)如果0

(3) 如果T2≥M，函數(shù)TP2(T|β)在T≥M的條件下可以在T2處取得最大值。

通過以上命題1、2的分析，易得定理1(關(guān)于最優(yōu)訂貨周期的決策)。令：

Δ=f1(T|β)|T=M=f2(T|β)|T=M

定理1. 對于任意β≥0,當(dāng)A-sDIeM2/2>0時

(1)如果Δ>0,采購商的最優(yōu)訂貨周期是T2.

(2)如果Δ=0，采購商的最優(yōu)訂貨周期是M.

(3)如果Δ<0，采購商的最優(yōu)訂貨周期是T1.

4.2 最優(yōu)保鮮技術(shù)投資ζ

情形一.T≤M

由式(8)，可知利潤函數(shù)TP1(|β|T)可寫為：

由泰勒展開式可證：

(15)

(16)

(17)

δ′(x)=-Tη′(x)<0;δ″(x)=-Tη″(x)>0

(18)

λ′(x)=-cDTη′(x)<0;λ″(x)=-cDTη″(x)>0

(19)

由此，可計算：

[λ(x)φ(δ(β))]′=λ′(x)φ(δ(β))+λ(x)φ′(δ(β))δ′(β)

[λ(x)φ(δ(β))]″=λ″(x)φ(δ(β))+2λ′(x)φ′(δ(β))δ′(β)+λ(x)φ″(δ(β))δ(β)2+λ(x)φ′(δ(β))δ′(β)>0

情形二.M≤T

由式(9)，可知利潤函數(shù)TP2(|β|T)可寫為

(20)

與情形一的分析類似，可得定理3.

5 數(shù)值分析

5.1 算例

為了說明模型及定理的可行性，下面我們來舉例說明。

例：設(shè)定某采購商制定某產(chǎn)品的進貨策略，數(shù)據(jù)如下：A=20元/次，D=100件/年，s=25元/件，c=15元/件，h=5元/件/年，M=0.1天/年，θ=0.2/年，?=0.5，Ie=0,09，Ik=0.14.

易證：A-sDIeM2/2=17.75>0，滿足命題2的條件。因此，計算可得采購商的最優(yōu)策略為：

5.2 敏感性分析

在算例的基礎(chǔ)上，調(diào)整模型各參數(shù)值，可以得到采購商的最優(yōu)決策結(jié)果見表1。通過敏感性分析，可以更清楚的看出參數(shù)的變化對零售商的最優(yōu)訂貨策略和最優(yōu)技術(shù)投入策略的影響。

表1 參數(shù)對最優(yōu)決策的敏感性分析

從表1的各參數(shù)對最優(yōu)解的靈敏度分析，可以得出以下結(jié)論：

(1) 當(dāng)保鮮技術(shù)投資對變質(zhì)率的敏感系數(shù)增加時，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量會降低，最優(yōu)訂貨周期和總利潤會增加。也就說，對企業(yè)而言，如果保鮮技術(shù)投資對產(chǎn)品變質(zhì)率有較強影響時，采購商不需要太多的保鮮技術(shù)投資投入，同時由于技術(shù)投入引起產(chǎn)品變質(zhì)率的降低，因此采購商不需要太頻繁的訂貨，可以延長最優(yōu)訂貨周期。反之，當(dāng)保鮮技術(shù)投資對變質(zhì)率的敏感系數(shù)減小時，為了降低變質(zhì)率，采購商會增加對保鮮技術(shù)的投資。

(2) 當(dāng)產(chǎn)品的自然變質(zhì)率增加時，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量會增加，最優(yōu)訂貨周期不變，總利潤會減少。當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率減小時，采購商會降低保鮮技術(shù)投資量，則其利潤會增加。

(3) 隨著采購商訂貨費用的增加，采購商的最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量和最優(yōu)訂貨周期增加，總利潤減少。結(jié)論表明，當(dāng)采購商的單次訂貨費用支出較高時，采購商可能會增加每次的訂貨量從而增加了訂貨周期的長度，由于訂貨數(shù)量的增加需要加大保鮮技術(shù)投資以降低變質(zhì)率。

(4) 隨著市場需求率的增加，采購商的最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量和總利潤會增加，最優(yōu)訂貨周期減小。當(dāng)市場需求較好時，采購商為了滿足市場需求將提高訂貨頻率，相應(yīng)的訂貨周期長度會減小，由于市場需求增加，產(chǎn)品的庫存時間相應(yīng)縮短，保鮮技術(shù)的投資也會降低。

(5) 當(dāng)供應(yīng)商給予采購商的商業(yè)信用期增加時，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量和最優(yōu)訂貨周期都會減小，而利潤會增加。當(dāng)供應(yīng)商給予采購商的商業(yè)信用期較長時，采購商可以相應(yīng)獲得更多的利息收益，因此可以抵消由于訂貨周期減少而帶來的訂貨成本的增加，并且因為訂貨批量的下降，可以進一步減少變質(zhì)損失，減少保鮮技術(shù)投資量。

(6) 當(dāng)產(chǎn)品的售價增加時，采購商的最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量和最優(yōu)訂貨周期會減少，總利潤會增加。當(dāng)易逝品價格增加時，消費者需求會降低，采購商為了降低成本，會縮短訂貨周期和保鮮技術(shù)的投資量。

(7) 隨著采購商單位庫存持有成本的增加，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量、最優(yōu)訂貨周期和總利潤都會減小。對于采購商來說，當(dāng)單位庫存持有成本增大時，采購商會減少訂貨周期來降低庫存持有成本，相應(yīng)也會減小保鮮技術(shù)投資。

(8) 隨著采購商采購產(chǎn)品的成本增加，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量會增加，最優(yōu)訂貨周期不變，總利潤會減少。當(dāng)采購商采購產(chǎn)品的成本增加，采購商為了節(jié)約成本會加大保鮮技術(shù)的投資以降低產(chǎn)品變質(zhì)率。

6 結(jié)語

文章在商業(yè)信用支付模式下，探討了考慮產(chǎn)品保鮮技術(shù)投入下，采購商的最優(yōu)訂貨策略及技術(shù)投入策略。首先，分兩種情形構(gòu)建了采購商的庫存模型；其次，根據(jù)采購商的庫存模型，求解其最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨量及其最優(yōu)技術(shù)投入策略；最后，通過數(shù)值分析對文章中的有關(guān)結(jié)論進行了驗證，并對有關(guān)參數(shù)進行了靈敏度分析。

研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)保鮮技術(shù)投資對產(chǎn)品變質(zhì)率有較強影響時，采購商不需要太多的保鮮技術(shù)投資，同時由于技術(shù)投入引起產(chǎn)品變質(zhì)率的降低，因此采購商不需要太頻繁的訂貨，可以延長最優(yōu)訂貨周期；產(chǎn)品的自然變質(zhì)率增加時，采購商為了降低變質(zhì)率會增加保鮮技術(shù)投資量，總利潤會減少。當(dāng)產(chǎn)品的自然變質(zhì)率減小時，采購商會降低保鮮技術(shù)投資量，利潤會增加；當(dāng)采購商的單次訂貨費用支出較高時，采購商可能會增加每次的訂貨量從而增加了訂貨周期長度，由于訂貨數(shù)量的增加需要加大保鮮技術(shù)投資以降低變質(zhì)率；當(dāng)市場需求較高時，采購商為了滿足市場需求將提高訂貨頻率，相應(yīng)的訂貨周期長度會減小，由于市場需求增加，產(chǎn)品的庫存時間相應(yīng)縮短，保鮮技術(shù)的投資也會降低；當(dāng)供應(yīng)商給予采購商的商業(yè)信用期增加時，最優(yōu)保鮮技術(shù)投資量和最優(yōu)訂貨周期都會減小，而利潤會增加。

[1] Fisman R, Love I. Trade credit, financial intermediary development, and industry growth[J]. Journal of Finance, 2003, 58(1): 353-374.

[2] Yang S, Brige J. How inventory is (should be) financed: Trade credit in supply chains with demand uncertainty and costs of financial distress[R].Social Science Research Netwrok，2011， http://dx.doi.org/102139/ssrn.1734682.

[3] Goyal SK. Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments [J].The Journal of the Operational Research Society, 1985, 36(4):335-338.

[4] Khanra S, Mandal B, Sarkar B. An inventory model with dependent demand and shortages under trade credit policy [J].Economic Modelling, 2013, 35(9):349-355.

[5] Zhong Yuanguang, Zhou Yongwu. Improving the supply chain’s performance through trade credit under inventory-dependent demand and limited storage capacity [J].International Journal of Production Economics, 2013, 143(2):364-370.

[6] 趙忠, 王淑云, 李波. 時變需求下基于兩級信用支付的易腐品訂貨模型[J]. 系統(tǒng)管理學(xué)報, 2016, 25(1): 83-89.

[7] 秦娟娟. 時變供需下基于商業(yè)信用的零售商最優(yōu)訂貨策略[J]. 中國管理科學(xué), 2016, 24(3): 89-98.

[8] Aggarwal S P, Jaggi C K. Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments [J]. Journal of the Operational Research Society, 1995, 46(5):658-662.

[9] Chu P, Chung K H, Lan S P. Economic order quantity of deteriorating items under conditions of permissible delay in payments [J]. Computer and Operations Research, 1998, 25(10): 817-824.

[10] Jamal A M, Sarker B R, Wang S. An ordering policy for deteriorating items with allowable shortage and permissible delay in payment [J]. The Journal of the Operational Research Society, 1997, 48(8): 826-833.

[11] Chang H J, Dye C Y. An inventory model for deteriorating items with partial backlogging and permissible delay in payments [J]. International Journal of Systems Science,2001, 32 (3): 345-352.

[12] Chen L H, Kang F S. Integrated vendor-buyer cooperative inventory models with variant permissible delay in payments [J]. European Journal of Operational Research, 2007, 183(2): 658-673.

[13] Ouyang L Y, Wu K S, Yang C T. A study on an inventory model for non-instantaneous deteriorating items with permissible delay in payments [J]. Computers & Industrial Engineering, 2006, 51(4): 637-651.

[14] Balkhi Z T. Optimal economic order policy with deteriorating items under different supplier trade credits for finite horizon case [J]. International Journal of Production Economics, 2011, 133(1):216-223.

[15] Liao J J, Huang K N. Deterministic inventory model for deteriorating items with trade credit financing and capacity constraints [J]. Computers & Industrial Engineering, 2010, 59(4)：611-618.

[16] Liang Yanlai, Zhou Fangming. A two warehouse inventory model for deteriorating items under conditionally permissible delay in payment [J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35(5):2221-2231.

[17] Mahata G. An EPQ-based inventory model for exponentially deteriorating items under retailer partial trade credit policy in supply chain [J]. Expert Systems with Applications, 2012, 39(3):3537-3550.

[18] Chang C T, Teng J T, Chern M S. Optimal manufacturer’s replenishment policies for deteriorating items in a supply chain with up-stream and down-stream trade credits [J]. International Journal of Production Economics, 2010, 127(1)：197-202.

[19] Sarkar B, Saren S, Cárdenas-Barrón L E. An inventory model with trade-credit policy and variable deterioration for fixed lifetime products [J]. Annals of Operations Research, 2015, 229(1): 677-702.

[20] Mahata G C. Optimal ordering policy with trade credit and variable deterioration for fixed lifetime products [J]. International Journal of Operational Research, 2016, 25(3): 307-326.

[21] Teng J T, Cárdenas-Barrón L E, Chang H J, et al. Inventory lot-size policies for deteriorating items with expiration dates and advance payments [J]. Applied Mathematical Modelling, 2016, 40(19): 8605-8616.

[22] Yang P C, Wee H M. A collaborative inventory system with permissible delay in payment for deteriorating items [J]. Mathematical and Computer Modeling, 2006,43(3-4):209-221.

[23] Ouyang L Y, Wu K S, Yang C T. A study on an inventory model for non- instantaneous deteriorating items with permissible delay in payments [J]. Computers and Industrial Engineering, 2006, 51(4): 637-651.

[24] Hsu P H, Wee H M, Teng H M. Preservation technology investment for deteriorating inventory [J]. International Journal of Production Economics, 2010, 124(2): 388-394.

[25] Dye C Y, Hsieh T P. An optimal replenishment policy for deteriorating items with effective investment in Preservation Technology [J].European Journal of Operational Research, 2012, 218(1): 106-112.

[26] Hsieh T P, Dye C Y. A production inventory model incorporating the effect of preservation technology investment when demand is fluctuating with time [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013, 239: 25-36.

[27] He Yong, Huang Hongfu. Optimizing inventory and pricing policy for seasonal deteriorating products with preservation technology investment [J].Journal of Industrial Engineering,2013, 2013: 1-7.