李瑾，馮曉毅

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基于各向異性粒子介電常數(shù)張量重構(gòu)的散射特性研究

李瑾1.2，馮曉毅2

（1.陜西學(xué)前師范學(xué)院計算機與電子信息系，西安 710100； 2.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，西安 710072）

簡化各向異性介質(zhì)中的光電傳播、目標(biāo)散射識別等問題?；陔妶鰪姸仁噶亢碗娢灰剖噶康年P(guān)系，提出將各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)張量重構(gòu)為對角張量通用方法。給出了對角張量元素的表達式和對應(yīng)單位特征矢量，并作了詳細的數(shù)值計算。得到了單位特征矢量坐標(biāo)系中電磁場與原坐標(biāo)系中電磁場的變換關(guān)系以及磁導(dǎo)率張量的變換關(guān)系；所用方法具有通用性，所得結(jié)果具有實用性。在各向異性介質(zhì)研究領(lǐng)域，可實現(xiàn)特征坐標(biāo)系中的電磁場及介質(zhì)參數(shù)與主坐標(biāo)系的電磁場與介質(zhì)參數(shù)的相互定量轉(zhuǎn)換。

張量；介質(zhì)重構(gòu)；單位矢量；變換關(guān)系

近年來，隨著空間深度探測及現(xiàn)代隱身等技術(shù)的不斷發(fā)展，對各向異性介質(zhì)中光電傳播及目標(biāo)散射提出了一系列新的要求。將一般介電常數(shù)張量重構(gòu)為對角張量可以有效地解決各向異性介質(zhì)中的相關(guān)課題，為相關(guān)現(xiàn)代技術(shù)發(fā)展提供理論支持，因而研究介電常數(shù)張量為對角張量的電磁問題受到人們的重視[1-6]。當(dāng)介電常數(shù)張量為對角張量時，其中的電磁波傳播、反射等基本問題得到詳細的解決[7]。當(dāng)對角張量的元素為負值時[8]，電磁波在強各向異性材料中傳播的機制以及基于此原理的超透鏡等問題已獲得有效的解決。文獻[9-10]基于假設(shè)的傳播方向?qū)⒔殡姵?shù)張量分成縱向和橫向兩個張量，得到了電磁波在各向異性介質(zhì)中的傳播方程。當(dāng)介電常數(shù)張量為對角張量，采用非標(biāo)準(zhǔn)單位制可以獲得電磁理論中的基本定律如庫侖定律的解析表達式以及各向異性介質(zhì)球的內(nèi)外電場分布[11-12]，文獻[13]通過有限元數(shù)值模擬方法，討論同時存在起伏地形以及電導(dǎo)率為對角張量時二維大地電磁測深法中ＴＭ極化模式的響應(yīng)等。當(dāng)介電常數(shù)張量為對角張量，可以得出其中電源輻射的解析表達式[14]?？傊?，將介電常數(shù)張量重構(gòu)為對角張量可以有效地解決各向異性介質(zhì)中的光電問題，但如何具體地將任意的各向異性介質(zhì)重構(gòu)為介電常數(shù)張量為對角張量的介質(zhì)未見詳細的研究報道。另外，介質(zhì)參數(shù)為對角張量下獲得的電磁場與介質(zhì)參數(shù)為非對角張量下的電磁場存在的定量關(guān)系，以及其他介質(zhì)參數(shù)如磁導(dǎo)率張量等定量關(guān)系成為各向異性介質(zhì)中電磁結(jié)果應(yīng)用與工程實際的瓶頸問題。

文中首先將各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)張量重構(gòu)為對角張量，給出特征坐標(biāo)系中介電常數(shù)的張量表達式，并進行了數(shù)值計算與討論。在笛卡爾坐標(biāo)系中，給出了介質(zhì)重構(gòu)之前與重構(gòu)之后兩坐標(biāo)系之間電磁場的轉(zhuǎn)換關(guān)系、磁導(dǎo)率張量的轉(zhuǎn)換關(guān)系等，最后對其他坐標(biāo)系下如球坐標(biāo)系如何轉(zhuǎn)換介質(zhì)的電磁參數(shù)以及電磁場做了簡單地討論。

1 各向異性介質(zhì)電磁參數(shù)的重構(gòu)研究

當(dāng)各向異性介質(zhì)為無損耗介質(zhì)時，其介電常數(shù)張量為對稱張量[12]，因此各向異性介質(zhì)中，電位移矢量與電場強度矢量的關(guān)系可以寫為：

其中為一對成矩陣，表達式為：

矩陣元素記為0ε，采用愛因斯坦重復(fù)求和規(guī)定，式（1）可簡寫為

設(shè)在某一方向上，即：

其中為一個待定的乘子。將式（2）代入式（3）可得：

其中 I是一個單位張量，當(dāng)=時，I=1；當(dāng)I≠1時，I=0。求解方程（4）可得三個特征根，記為λ（=1，2，3）。令：

式中：=－（++）

式（6）表明，特征根1，2，3是相對介電常數(shù)張量元素的函數(shù)。將特征根1，2，3代入式（5）可得到三個特征矢量：

1=（11，12，13），2=（21，22，23），3=（31，32，33）

為了直觀起見，設(shè)相對介電常數(shù)張量為：

代入式（6）可得：1=1.8435，2=3.4514，3=9.7051。

代入式（5）可得三個特征矢量，具體為：1=

（0.5709，0.4633，－0.6778），2=（－0.7089，0.6946，－0.1223），3=（0.4142，0.5503，0.7250）。

以上三個特征矢量互相正交，且：

2 主坐標(biāo)系中電磁場與特征坐標(biāo)系中電磁場的關(guān)系

三個特征矢量可以寫為：

設(shè)為主坐標(biāo)系中的磁感應(yīng)強度矢量，在主坐標(biāo)系與特征坐標(biāo)系的表達式分別為：

則

同法可得：

寫成矩陣形式為：

其中：

電磁場的變換為：

式（9）為直角主坐標(biāo)系與直角特征坐標(biāo)系間電磁場量的變換關(guān)系。

3 在各向異性介質(zhì)電磁散射中的應(yīng)用

各向異性介質(zhì)目標(biāo)的內(nèi)電場求解十分復(fù)雜，人們往往在特征坐標(biāo)系中研究目標(biāo)的內(nèi)場，給各向異性目標(biāo)的散射、識別及隱身等應(yīng)用帶來困難。利用上面的結(jié)果可以解決各向異性目標(biāo)在柱坐標(biāo)系的散射問題。為簡單起見，下面結(jié)合有關(guān)文獻給出各向異性目標(biāo)的瑞麗散射結(jié)果以及磁導(dǎo)率在主坐標(biāo)系的表達式。由文獻[12]可得在平面電磁波的照射下，當(dāng)球的半徑遠小于電磁波的波長時，特征坐標(biāo)系中各向異性介質(zhì)球的內(nèi)電場為：

由式（10）可得各向異性介質(zhì)目標(biāo)[14]的散射振幅：

由于介電常數(shù)張量已經(jīng)對角化處理，不再討論。下面討論基于介電常數(shù)張量對角化后磁導(dǎo)率的變換，在主坐標(biāo)系和特征坐標(biāo)系中，磁場強度與磁感應(yīng)強度的關(guān)系分別為：

與式（9）的第:2式比較可得：

由此可得逆變換為：

由式（9）可以看出：主坐標(biāo)系中電場強度矢量E的大小除了和特征坐標(biāo)系中電場強度矢量E′的大小有關(guān)外，還和特征矢量的分量vij有關(guān)， vij的部分數(shù)值結(jié)果如圖1—圖6所示。

圖2 vij隨主坐標(biāo)系ε22的變化

圖3 vij隨主坐標(biāo)系ε33的變化

圖4 v33隨主坐標(biāo)系ε33的變化

圖5 εi隨主坐標(biāo)系ε11的變化

圖6 εi隨主坐標(biāo)系ε22的變化

在圖1—圖6中，除橫坐標(biāo)參數(shù)外，其他參數(shù)采用：

計算步長采用0.1。圖1表明，主坐標(biāo)系中的11對分量23影響較小，其余分量13，12，11受11的影響較大。由圖2可以看出，主坐標(biāo)系中的22對分量23的影響較為敏感。圖3為33對13，12，11及23的影響，13，12，11隨著33的變化劇烈的變化。圖4表明，33，13隨主坐標(biāo)系33的變化較大，其余的分量變化較小。圖5和圖6表明，特征坐標(biāo)系中介電常數(shù)張量元素隨著主坐標(biāo)系中元素的增大而增大，這一內(nèi)在的一致性表明了同一物理參數(shù)如介電常數(shù)因參照系選擇的不同可以有所不同，但其特性與參照系的選擇無關(guān)。

4 結(jié)語

文中研究了無損耗各向異性介質(zhì)的重構(gòu)規(guī)律，得到了一系列研究結(jié)果。結(jié)果表明，基于電場強度矢量和電位移矢量的關(guān)系，可以將各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)張量重構(gòu)為介電常數(shù)張量為對角張量的各向異性介質(zhì)，有確定的特征坐標(biāo)系存在，該特征坐標(biāo)系中的矢量與主坐標(biāo)系中的矢量有著確定的變換關(guān)系。得到了特征坐標(biāo)系中描述介質(zhì)參數(shù)的二階張量與主坐標(biāo)系中描述介質(zhì)的二階張量之間的變換關(guān)系，對所得結(jié)果進行了數(shù)值計算。數(shù)值結(jié)果表明，特征坐標(biāo)系中介電常數(shù)張量的元素隨著主坐標(biāo)系中相應(yīng)元素的增大而增大，表明了同一物理參數(shù)如介電常數(shù)因參照系選擇的不同其大小可以有所不同，但其特性與參照系的選擇無關(guān)，所用方法具有通用性。各向異性電磁問題一般在特征坐標(biāo)系中可以得到解析解，所得結(jié)果為從特征坐標(biāo)系中的相關(guān)電磁結(jié)果獲得主坐標(biāo)系中各向異性介質(zhì)的電磁問題解等提供了方法與途徑，可用于各向異性介質(zhì)的光電傳播、各向異性目標(biāo)隱身、各向異性介質(zhì)中的光電散射以及輻射研究等應(yīng)用領(lǐng)域。

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Scattering Characteristics Based on Reconstruction of Permittivity Tensor for Anisotropic Particle

LI Jin,FENG Xiao-yi

(1.Department of Physics and Electronic Engineering, Shaanxi Xueqian Normal University, Xi′an 710100, China; 2.College of Electronic Information, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

To simplify the photoelectric transmission, target scattering etc. in anisotropic medium.Based on relation between electric-field vector and electric displacement vector, reconstructing tensor of dielectric constant for anisotropic medial was proposed as the universal method for diagonal tensor.The element expressions and corresponding unit eigenvectors of diagonal tensor were developed with detailed numerical calculation. The transformation relation of electromagnetic field in the unit characteristic vector coordinates system and the primary coordinate system and the transformation relation of permeability tensor were presented. The method was universal and the result obtained was practical.In the domain of anisotropic media, the result is able to quantitatively transform the E.M. field and medium parameter from the eigen coordinates system to the primary coordinates system and vice versa..

tensor; medium reconstruction; unite vector; transform relation

10.7643/ issn.1672-9242.2017.12.017

TJ01

A

1672-9242(2017)12-0088-05

2017-09-27；

2017-11-02

國家自然科學(xué)基金資助項目（60971079）；陜西省教育廳自然科學(xué)基金資助項目（16JK1185）和陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究項目（2014JM8312）

李瑾（1986—），女，陜西西安人，碩士，主要研究方向為光電散射與傳播。