摘要：舉辦初等數(shù)論“同課異構(gòu)”活動(dòng)是一件很有重要意義的事情，在初等數(shù)論中的一次不定方程充當(dāng)著舉足輕重的角色。所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)且其解受到某種條件的限制的方程或方程組。不定方程作為數(shù)論中比較古老的一個(gè)分支，同時(shí)也是數(shù)論中有著重要研究意義的課題之一，不定方程由于它的不定性，所以不定方程的解具有較大的靈活性以及局限性，在解題時(shí)必須根據(jù)問題的特點(diǎn)，細(xì)仔觀察，靈活思考才可以達(dá)到迅速求解的效果。本文主要是針對(duì)“一次不定方程”展開了“同課異構(gòu)”的討論。

關(guān)鍵詞：同課異構(gòu) 初等數(shù)論 一次不定方程

引言

現(xiàn)今社會(huì)，“同課異構(gòu)”無論是在校園還是生活中都已家喻戶曉，實(shí)際上關(guān)于“同課異構(gòu)”的概念很多的老師存在著錯(cuò)誤的理解，從而對(duì)校園的教育質(zhì)量產(chǎn)生了很大的不利影響，嚴(yán)重地引起了“同課異構(gòu)”的意義?！巴n異構(gòu)”的理念是本著創(chuàng)新、真實(shí)以及開放性展開，另外在整個(gè)具體的實(shí)踐中需要避免進(jìn)入到與目標(biāo)分離的誤區(qū)。要想保證“同課異構(gòu)”能夠很好地開展就需要博提前備課，多多準(zhǔn)備些有利于學(xué)生理解課程的道具。[1]

通過引導(dǎo)學(xué)生整理分類入手來研究數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在分類的過程中，去偽存真，不斷討論，在思維火花的碰撞中歸納概括，建立概念。然后通過數(shù)線模型幫助學(xué)生真正理解概念，提升有序思考問題的能力。在和孩子們整節(jié)課的探討中，聊著聊著就對(duì)了，聊著聊著就會(huì)了。這種巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，諱莫高深、獨(dú)辟蹊徑的課堂教學(xué)藝術(shù)如沐春風(fēng)，若一簇激浪持久地澎湃了參會(huì)的每一個(gè)人。在課堂上，不僅是用數(shù)學(xué)的真諦來撥亮孩子們的心靈，更是用她對(duì)孩子們的愛、真情來感染他們，用自己的人格魅力來塑造他們。[2]

一、開展“同課異構(gòu)”的意義

開展“同課異構(gòu)”可以給老師一個(gè)很好的溝通平臺(tái)，在這個(gè)平臺(tái)上，老師們可以根據(jù)其中的一個(gè)主題進(jìn)行討論，每個(gè)老師都有其自己的教學(xué)方案，在整個(gè)過程中，會(huì)因?yàn)槊總€(gè)老師不同的教學(xué)方案從而產(chǎn)生激烈的討論。通過討論，彼此都能學(xué)到很多，這樣也有利于教師自身專業(yè)能力的加強(qiáng)以及師資水平的提高。[3]

1.提高教育質(zhì)量

要想提高教學(xué)質(zhì)量，需要經(jīng)過重重的實(shí)踐，最后再進(jìn)行改革，然而如果改革過程總沒有很好地對(duì)改革的意義加深理解，那么就會(huì)導(dǎo)致最終效果并不理想。現(xiàn)在我國的大部分改革采取的方式都是從上而下的，也就是說教育行政部門推行命令后再進(jìn)一步實(shí)施到各個(gè)學(xué)校中去。很多的改革方案中缺失了與教師的溝通性，從而導(dǎo)致了執(zhí)行力度不夠。[4]

2.益于教師專業(yè)提高

隨著社會(huì)的飛速進(jìn)步，教育是一門需要足夠?qū)I(yè)性的技術(shù)。同時(shí)在很多人眼里看來，教師職業(yè)和律師甚至醫(yī)生一樣都是專業(yè)性很強(qiáng)的職業(yè)，教師職業(yè)需要的知識(shí)主要包括了管理學(xué)、心理學(xué)以及專業(yè)學(xué)等。有的知識(shí)是可以從課堂上學(xué)到的，但是有的課程只有在社會(huì)的實(shí)踐中才能學(xué)到一位合格的教師除了需要有著專業(yè)技術(shù)知識(shí)外還需要有豐富的理論知識(shí)。[5]

二、二元一次不定方程和解

不定方程的含義指的是方程的數(shù)量小于未知數(shù)的數(shù)量，同時(shí)方程的解會(huì)被一些條件所限制的。在不定方程中通常會(huì)涉及到一個(gè)問題那就是不定方程解的個(gè)數(shù)，包括了3種可能，有唯一解，有多個(gè)解，無解。針對(duì)這幾個(gè)問題就可以知道在現(xiàn)今的教學(xué)中依然存在著很多的未解之謎。所以在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域范圍中，不定方程存在著很大的爭(zhēng)議。而且在很多的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，不定方程常常被引入到課堂中。

比如mx+ny=d，其中a，b，c都是屬于整數(shù)，且ab不等于0，這種方程形式被稱為二元一次不定方程。整個(gè)求解的過程又稱為二元一次不定方程。因?yàn)榍蟮梅匠痰慕鉃檎麛?shù)，同時(shí)又可以是負(fù)數(shù)抑或是0，因此本文只研究正整數(shù)的解。比如6x-5y=18和6x+5y=18，這2個(gè)方程公式y(tǒng)的系數(shù)只是互為正反數(shù)而已。[6]

當(dāng)d等于0的時(shí)候，假如（m，n）=d，將方程的兩邊除以d，那么讓x，y之間的系數(shù)是質(zhì)數(shù)，所以可以設(shè)置（m，n）=1，從而得出方程的解等于-ny/m，因?yàn)椋╩，n）=1，所以如果y能夠被m除盡，這樣mx+ny=0才有解，因此令y=mt，其中t是整數(shù)，此時(shí)x=-nt，得出的解分別是x=-nt，y=mt。如果當(dāng)c不等于0的時(shí)候，僅僅要考慮大于0的情況就可以，如果c小于0，那么能夠在方程的兩邊都乘以-1，從而得出mx+ny=c，所以二元一次不定方程僅僅需要考慮的是m，n，d均大于0的情況。

方法一：觀察法，所謂的觀察法主要是通過已積累的經(jīng)驗(yàn)，從而進(jìn)行觀察得出方程的解。比如：3x+y=12，根據(jù)觀察就能夠得出一組解就是x=2，y=6。[7]

方法二：輾轉(zhuǎn)相除法，輾轉(zhuǎn)相除法主要是根據(jù)最大公約數(shù)從而推導(dǎo)出特解。

方法三：整數(shù)分離法，整數(shù)分離法主要是運(yùn)用系數(shù)最大的未知數(shù)來表示系數(shù)較小的未知數(shù)，最終得出方程的解。[8]

方法四：同余法，該方法主要是根據(jù)解同余式從而求解二元一次不定方程。比如：4x+5y=23。根據(jù)同余法能夠得出5y=23（mod4），y=3（mod4），因此y=3+4。

三、常規(guī)設(shè)計(jì)——以教師甲為例

教師甲在大部分的眼里是嚴(yán)謹(jǐn)，因此都會(huì)每次上課的到來而精心準(zhǔn)備。如果教學(xué)的時(shí)間較久，那么就會(huì)更加地對(duì)課程熟悉。本文主要是簡(jiǎn)單地闡述下一次不定方程。其中不定方程最大的特征就是方程數(shù)量與未知量之間的大小關(guān)系。此外方程的解也正好是整數(shù)。不定方程后來又被古希臘數(shù)學(xué)家稱呼為番圖方程，英文名稱是Diophantus。關(guān)于研究一次不定方程有整數(shù)解問題如下所示：定理 設(shè)a，b，c都為整數(shù)，且a，b都不為0，那么ax+by=c解為整數(shù)的充要條件是d|c。

比如，求二元一次不定方程21x+15y=6的解。解答：d=（21，15）=3|6這說明了該方程是有解的，比如x=1，y=-1，就是其中的一個(gè)解。針對(duì)一次不定方程在現(xiàn)實(shí)學(xué)校中沒有進(jìn)行系統(tǒng)化的教育，所以導(dǎo)致了很多學(xué)生可能對(duì)一次不定方程理解存在偏差。N元一次不定方程的表達(dá)式是q1x1+q2x2+q3x3+...+qnxn=r，其中q1，q2，p3...qn均是正整數(shù)，這種方程被稱為是n元一次不定方程。通常情況而言，這種方程有著多個(gè)無窮解。然而這種解是正整數(shù)解集內(nèi)。但是有時(shí)候，其解也可以是無解貨值是有限解。比如x+y=4，該方程就有無數(shù)個(gè)解，同時(shí)這些解都是在正常的范圍以內(nèi)的，比如x=1，y=3與x=2，y=2，就是其中的兩種解。其中k是任意的整數(shù)，最后吧y=3+4k代入方程，就能夠知道x=（5-20k）/4。

1.非常規(guī)設(shè)計(jì)

假如整數(shù)和整數(shù)的和以及積都屬于整數(shù)，那么現(xiàn)在就能夠討論下整數(shù)乘以m加上n乘以整數(shù)，那么mx+ny就能夠得出所有的整數(shù)，其中x，y屬于整數(shù)，假如設(shè)置3x+4y=15此時(shí)用excel演算下，結(jié)果如下：

教師甲的設(shè)計(jì)是十分合理的，該教師的設(shè)計(jì)理念中充滿著嚴(yán)謹(jǐn)性，該教師體現(xiàn)了教學(xué)的特征是導(dǎo)入、定理、例題、習(xí)題等。非常規(guī)的設(shè)計(jì)采取的方案是想要得到方程的解但是又不給出方程公式。而是根據(jù)mx+ny=c的整數(shù)解以及利用計(jì)算機(jī)從而最終得出特征解。猜想數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比證明來得更重要，非常規(guī)設(shè)計(jì)

主要是借助于4個(gè)猜想從而尋求一條學(xué)習(xí)的道路。

2. 提高“同課異構(gòu)”質(zhì)量的方案

要想提高“同課異構(gòu)”首先需要做的是提高教師團(tuán)隊(duì)的師資力量，經(jīng)過集體備課的形式從而將群體的智慧釋放出來，站老師的角度而言，教學(xué)同樣能夠提高自身的能力，要想使得“同課異構(gòu)”得到很好地成效，就需要經(jīng)過多種模式來推動(dòng)。

（1）集體備課：集體備課實(shí)踐的方式主要涉及到五種，分別是理想的、正式的、理解的、運(yùn)作的以及經(jīng)驗(yàn)的。正式的課程出現(xiàn)形式是文本，運(yùn)作形式是實(shí)施的課程，經(jīng)驗(yàn)方式是學(xué)生體驗(yàn)到的實(shí)際課程。[9]

（2）時(shí)刻反思：反思能夠很好地幫助老師成長(zhǎng)，而且還能夠很好地增強(qiáng)老師的教學(xué)智慧，反思還能夠給老師的專業(yè)進(jìn)行相應(yīng)指導(dǎo)。同課異構(gòu)的目的是增強(qiáng)老師的額師資水平，一方面能夠經(jīng)過專家點(diǎn)評(píng)從而進(jìn)行課程指導(dǎo)，另外還能夠經(jīng)過說課環(huán)節(jié)從而給教師提供反思的機(jī)會(huì)。[10]

（3）集思廣益：需要采取多種模式從而完成活動(dòng)的推展，首先就是老帶新模式，教師在工作的過程中除了知識(shí)之外還需要有相應(yīng)的技能，這份工作并不是所有人都能夠做到的，在大學(xué)生入校接受職前教育時(shí)都是需要入職教育的。

結(jié)語

“同課異構(gòu)不變的是教學(xué)內(nèi)容，萬變的是教學(xué)形式。同中求異，異中求同。本次同課異構(gòu)活動(dòng)為老師們提供了一個(gè)很好的互動(dòng)交流平臺(tái)，有效促進(jìn)了我校教師的專業(yè)提升?！巴n異構(gòu)”的含義是每個(gè)教師都各自有著自己一套教學(xué)方案從而進(jìn)行教學(xué)?！巴n異構(gòu)”在教師自身的事業(yè)發(fā)展上以及教學(xué)質(zhì)量都能起到很大的益處。初等數(shù)論中比較核心的內(nèi)容是一次不定方程，因此本文就“一次不定方程”展開了論述。傳統(tǒng)意義上的教學(xué)只能確保嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)，但是無法確保學(xué)生能夠得到很好的交流，時(shí)刻讓學(xué)生有種疏離感，實(shí)際上，數(shù)學(xué)家也只是個(gè)普通人，在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程中也是歷經(jīng)波折。

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作者簡(jiǎn)介

林慕凡（1996.4.12—）男，漢族，2014年9月至2018年6月在加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校文理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)四年制全日制本科學(xué)習(xí)并畢業(yè)，學(xué)士學(xué)位。