吳朝陽

我們先來說一件趣事。比利時布魯日市有一個巧克力名牌叫“The Chocolate Line”，它有一款供多人分享的巧克力，是5×13小塊的長方形，如圖1。

有一天，中學數(shù)學教師馬蒙（P.Mammone）買了一塊這樣的巧克力，準備帶到課上給學生分享。在拿出巧克力的瞬間，馬蒙突然發(fā)現(xiàn)他可以做一件有趣的事情。于是，他拿出這塊巧克力，掰下右上角的一小塊吃掉，把剩下的部分畫在了黑板上（圖2）。

接著，他把黑板上的巧克力分成3部分（圖3）

然后移動拼接成為8×8的正方形（圖4）。

接下來，他又把這個正方形分成4塊（圖5），拼接成了5×13的長方形（圖6）。

這樣，馬蒙老師把一塊5×13的巧克力吃掉了1個小單元，最后又拼成了原來的5×13的形狀。吃了等于沒吃？所以這塊巧克力會永遠吃不完？演示完畢，馬蒙老師把真正的巧克力分給他的學生，然后向他們提出問題——黑板上這“吃不完的巧克力，到底是怎么回事？

學生們二二兩兩地喃咕著，但好久都沒有發(fā)現(xiàn)問題。于是，馬蒙老師說，大家都習慣于“眼見為實”，雖然明擺著與常識不符，卻迷惑于眼睛所見，不能很快發(fā)現(xiàn)問題的所在。

事實上，我們首先清楚，8×8=64，5×13=65，因此最后一個拼接肯定是錯誤的。那么，錯誤產(chǎn)生在什么地方呢？我們看到，所有直角邊的邊長，即3、5、8這些數(shù)字，銜接得毫無問題，而直角之間的銜接自然也都天衣無縫。因此，問題肯定出在斜線上！

馬蒙老師接著說，理性讓我們很快發(fā)現(xiàn)問題出在斜線上，剩下的事情就簡單了，我們馬上進行計算——三角形上斜邊的斜率是3/8=0.375，而梯形上則是2/5=0.4，二者并不相等！換句話說，梯形和三角形拼接出來的形狀，其“斜線”不是直線！實際拼接出來的圖形是這樣的（圖7）。

它的中間有一條很細的縫！馬蒙老師接著說，現(xiàn)在，不用計算大家都知道，這條縫的面積肯定恰好等于1小塊巧克力的大?。?/p>

這個故事告訴我們理性分析的重要性，沒有理性的支撐，則“眼見”未必“為實”。然而，故事的背后有一個非常重要的事實，就是：

事實：移動平面幾何圖形并不會改變它的面積。兩個平面幾何圖形拼接成的圖形，其面積等于原來那兩個圖形的面積之和。

上述這條事實是很多幾何證明的基礎(chǔ)。例如，大家所熟知的勾股定理，它的很多種證明就都應用了上述事實。比方說，勾股定理的如下證明，它唯一用到的就是上述事實。

大家都知道，長方形的面積等于它的長乘以寬，但是，大家有沒有想過它是怎么來的？事實上，如果我們將邊長等于1長度單位的正方形（即單位正方形）的面積定義為1（面積單位），那么長方形的面積公式是可以由這個定義出發(fā)證明的。

首先，我們考慮邊長分別為1和1.1的長方形，它的面積是多少呢？顯然，這個長方形的長可以分為11個0.1，寬可以分為10個0.1。因此，這個長方形可以分割成110個邊長為0.1的小正方形。而100個這種小正方形正好可以拼成1個單位正方形。根據(jù)分割的形式，我們不難得到結(jié)論：這個長方形的面積等于它的長乘以寬，即l×1.1。

循著這種思路，我們不難證明：邊長是有理數(shù)的長方形的面積等于它的長乘以寬。而對于某邊長等于無理數(shù)的情形，只要我們具備極限的概念，公式的成立也是順理成章的事情。顯然，除了極限的思想，長方形面積公式的證明，同樣只依賴于前述事實。

最后我們指出，前述事實自古以來就在幾何證明中扮演著最關(guān)鍵的角色。在古代中國，它體現(xiàn)為“出入相補原理”。這條原理的名稱毋須多加解釋，而根據(jù)這條原理，大家可以很快地自行推導出平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積公式，甚至常見立體的體積公式，從未自己推導過的小讀者不妨立刻動手嘗試。endprint