王中林，張寧斌

(1.速波機器人無錫有限公司，江蘇 無錫 214000；2.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200072)

0 引 言

與串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機器人具有精度高、剛度大、誤差小以及承載能力強等優(yōu)勢。與6自由度并聯(lián)機器人相比，少自由度并聯(lián)機器人在系統(tǒng)設計制造、控制、維護等方面能夠有效地降低成本，因而，越來越受到國際社會的廣泛關注。但是常規(guī)并聯(lián)機構存在難以克服的缺點，例如：位置正解困難、工作空間小、運動控制精度不高等。

冗余并聯(lián)機構能夠在不減弱非冗余并聯(lián)機構優(yōu)點的基礎上克服一些非冗余并聯(lián)機構無法克服的缺點。冗余的存在能減少并聯(lián)機構奇異位型[1-5]，擴大工作空間[6-8]，提高機構的整體剛度[9-11]。MERLET[12-13]指出冗余的存在對運動學正解、奇異的規(guī)避、系統(tǒng)的控制以及運動學標定等都具有一定的提高。

與常規(guī)并聯(lián)機構的研究相比，對冗余驅動并聯(lián)機構系統(tǒng)的研究則比較少。冗余在并聯(lián)機構中分為兩類[14-16]：驅動冗余和運動冗余[17]。運動冗余是通過添加額外的驅動關節(jié)增加運動的自由度[18]；而驅動冗余的引入只是增加了驅動關節(jié)，不會影響機構的自由度?，F(xiàn)有驅動冗余并聯(lián)機構的實現(xiàn)方式主要有3種：在非冗余并聯(lián)機構的某些支鏈的被動關節(jié)處添加主動驅動；在非冗余并聯(lián)機構上添加具有主動驅動的運動學支鏈；既驅動已有支鏈的被動關節(jié)，又添加帶驅動的運動學支鏈。

基于雅克比矩陣的局部條件指標(local condition index，LCI)由GOSSELIN和ANGELES[19]首次提出，用于并聯(lián)機構運動學優(yōu)化設計。之后，劉辛軍[20]首次提出了適用于并聯(lián)機構的基于螺旋理論的LTI，可以描述并聯(lián)機構力/運動傳遞效率，具有與坐標系選取、量綱無關等特性，已被成功用于并聯(lián)機構性能的分析和優(yōu)化設計。

本研究將以2URR-2RRU為研究對象，首先運用螺旋理論以及修正的G-K公式對該機構自由度進行分析；接著通過并聯(lián)機構的空間位姿關系建立機構位置正反解關系式，并通過該關系式推導得到2URR-2RRU機構的雅克比矩陣，利用雅克比矩陣對機構進行奇異分析[21-26]；然后結合該機構桿長條件、干涉現(xiàn)象以及運動副條件限制，繪制出冗余并聯(lián)機構2URR-2RRU的工作空間；最后探索2URR-2RRU機構傳遞性能情況，利用LIU[27-28]提出的性能指標對該機構進行力/運動傳遞性能的分析，以得出LTI性能圖譜。

1 機構簡介及坐標系建立

2URR-2RRU并聯(lián)機構如圖1所示。

圖1 2URR-2RRU并聯(lián)機構示意圖

2URR-2RRU并聯(lián)機構整個機構由定平臺、動平臺與4條分支運動鏈構成。整個機構對稱分布，分支1、2為兩條相同支鏈，通過兩個轉動副(R)與一個萬向鉸(U)順次鏈接定平臺與動平臺，構成了URR分支；分支3、4為兩條相同支鏈，通過U鉸與兩個R副順次連接定平臺和動平臺，構成了RRU分支。整個機構的驅動部件是4個分支上中間的轉動副(R)。

2URR-2RRU并聯(lián)機構坐標系如圖2所示。

圖2 2URR-2RRU并聯(lián)機構坐標系圖

令A1B1為分支1，A2B2為分支2，A3B3為分支3，A4B4為分支4。其中：Ai(i=1,2)—分支1、2與動平臺相連接的轉動副中心點；Ai(i=3,4)—分支3、4與動平臺相連接的U鉸中心點；Bi(i=1,2)—分支1、2與定平臺相連接的U鉸中心點；Bi(i=3,4)—分支3、4與動平臺相連接的轉動副中心點。本研究在機架上建立定坐標系O-XYZ，原點O位于B1B2連線中點，為簡化運動學模型，定義X軸與OB4重合，Y軸與OB2重合，Z軸垂直向下。動坐標系o-uvw建立于動平臺上，o點位于A1A2連線中點，u軸與oA4重合，v軸與oA2重合，w軸豎直向下。四邊形A1A2A3A4、B1B2B3B4為正方形，即oA1=oA2=oA3=oA4、OB1=OB2=OB3=OB4。

2 2URR-2RRU并聯(lián)機構自由度分析

本研究運用螺旋理論對2URR-2RRU并聯(lián)機構的各分支約束進行分析，建立在分支1上的分支坐標系B1-x1y1z1如圖3所示。

圖3 分支1運動螺旋及反螺旋

分支1的運動螺旋系為：

(1)

由約束螺旋與運動螺旋互易積為零，得到分支1的約束螺旋為：

(2)

由于分支1、2完全相同且關于定平臺上X軸對稱分布，分支2的約束螺旋與1相同，即：

(3)

同理，可以求出分支3、4的約束螺旋為：

(4)

(5)

由上述4條分支施加于動平臺的4個約束力偶方向相同，故整個機構存在一個公共約束，即λ=1。機構的階數(shù)為6-λ=5。又因為過A3、A4以及B1、B2的兩個力線矢是平行的，等效于一個平行于原方向的力線矢和一個垂直于定平臺的力偶，在去除一個公共約束的因素后，分支1、2以及分支3、4還分別產生了一個力偶，故存在兩個并聯(lián)冗余約束，即υ=2。

根據(jù)一般機構的通用自由度修正G-K公式：

(6)

式中：M—機構的自由度；d—機構階數(shù)；n—總的構件數(shù)(包括機架)；g—總的運動副數(shù)；fi—第i個運動副的自由度；υ—并聯(lián)機構冗余約束。

代入上式得：

M=5×(10-12-1)+4×4+2=3

(7)

即：2URR-2RRU并聯(lián)機構在該位型下具有3個自由度，分別是兩個轉動和一個移動。一條轉動軸為B1B2，一條轉動軸為oA3，移動方向為Oo方向。

由此可知，動平臺到定平臺的旋轉矩陣可以化簡為：

(8)

3 2URR-2RRU并聯(lián)機構位置分析

3.1 位置反解

機構位置反解是指已知動平臺位置和姿態(tài)β、γ、z0，求解驅動參數(shù)θ13、θ23、θ32、θ42的問題。各分支坐標系以及輸入?yún)?shù)如圖4所示。

圖4 各分支坐標系以及輸入?yún)?shù)

由圖4可以看出各分支待求參數(shù)，其中分支坐標系建立原則為x1、x2軸線方向與萬向鉸中的一個轉動副軸線重合，y1、y2軸與B1B2軸重合。令P=[x0y0z0]T表示動坐標系的原點o在固定坐標系中的位置矢量。機構相關尺寸定義如下：oA1=oA2=oA3=oA4=e1；OB1=OB2=OB3=OB4=e2。各分支中兩兩運動副之間的桿長l，計算過程中動平臺上點A1、A2、A3、A4分別用向量b1、b2、b3、b4來表示，則b1、b2、b3、b4在動坐標系下的坐標為：

(9)

利用旋轉矩陣以及位置矢量P可得到b1、b2、b3、b4在固定坐標系下的坐標為：

(10)

通過對機構的分析，向量b1、b2、b3、b4在固定坐標系下面的坐標可以通過另外一種方法求解出來，即利用分支坐標系求解。從圖4上可以看出，分支坐標系1、2分別繞固定坐標系的Y軸轉動θ11和θ21角度，分支坐標系3、4的3個軸線方向與固定坐標系3個軸向方向相同，可以得到分支1、2、3、4坐標系向固定坐標系的旋轉矩陣為：

(11)

(12)

(13)

(14)

分支坐標系1、2、3、4的原點在固定坐標系上的位置矢量分別為：

(15)

向量b1、b2、b3、b4在分支坐標系1、2、3、4下面的坐標分別為：

(16)

通過上面的坐標轉換可以得到b1、b2、b3、b4在固定坐標系下面的坐標為：

(17)

公式(10)與式(17)都表示同一點的位置矢量，得到以下等式：

(18)

根據(jù)上述自由度分析結果以及機構在空間中的幾何關系可以得到：y0=0，x0=z0tβ，即P=(z0tβ0z0)，其中t表示tan。因此可將式(18)化簡為：

(19)

其中：

a1=z0secβ-e1sγ
c1=e2-e1cγ
a2=z0secβ+e1sγ
c2=-e2+e1cγ
a3=e2-e1cβ+z0tanβ
c3=e1sβ+z0
a4=e1cβ-e2+x0
c4=z0-e1sβ

利用Matlab符號工具箱對式(19)求解，可得機構的位置反解為：

(20)

3.2 位置正解

機構的位置正解即為已知機構的3個輸入運動參數(shù)θ13、θ23、θ32、θ42求解動平臺的位置參數(shù)β、γ、z0。由式(19)可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

對式(21，23)平方差后化簡得：

(25)

其中：u4=2le1sγ(sθ13+sθ23)，

u5=2l(cθ13+cθ23)(e1cγ-e2)。

將f(γ)代入式(21)中，消去z0secβ：

f1(γ)+f2(γ)=0

(26)

其中：f1(γ)=(f(γ)-e1sγ)2-2lsθ13(f(γ)-e1sγ)，f2(γ)=(e2-e1cγ)2-2lcθ13(e2-e1cγ)。

該方程中只含有未知變量γ，最終化簡為關于變量γ的一元八次方程，對該方程只能求出數(shù)值解，因此2URR-2RRU并聯(lián)機構的位置正解解析解很難求解，只能給出數(shù)值解。

3.3 數(shù)值實例

如上所述，任意選取幾組輸入?yún)?shù)(θ13、θ23、θ32、θ42)的數(shù)值，本文可以通過等式(21～24)求解出動平臺的位置參數(shù)(β、γ、z0)的數(shù)值。為了驗證求解正確性，本研究選取4組任意的輸入?yún)?shù)，如表1所示。

表1 機構輸入?yún)?shù)

其中：l=400 mm,e1=250 mm,e2=400 mm。

根據(jù)表1中4組參數(shù)值，代入到等式(21～24)中可以得到并聯(lián)機構動平臺的輸出參數(shù)，即位置正解的數(shù)值解，如表2所示。

表2 機構輸出參數(shù)

4組正解構型如圖5所示。

圖5 位置正解構型圖

3.4 刀具末端坐標

(27)

可以得到工具末端在定坐標系下坐標為：

(28)

4 2URR-2RRU并聯(lián)機構機構速度分析

對公式(21～24)等式兩邊求全微分可得到：

(29)

其中：

T11=a1lcθ13-c1lsθ13
T22=a2lcθ23-c2lsθ23
T33=c3lcθ32-a3lsθ32
T44=a4lsθ42+c4lcθ42
G11=z0secβtβ(a1-lsθ13)
G12=e1sγ(c1-lcθ13)-e1cγ(a1-lsθ13)
G13=secβ(a1-lsθ13)
G21=z0secβtβ(a2-lsθ23)
G22=e1cγ(a2-lsθ23)-e1sγ(c2-lcθ23)
G23=secβ(a2-lsθ23)

G31=(e1sβ+z0secβ2)(a3-lcθ32)+e1cβ(c3-

lsθ32)G32=0

G33=tβ(a3-lcθ32)+(c3-lsθ32)

G41=(z0secβ2-e1sβ)(a4+lcθ42)-e1cβ(c4-

lsθ42)G42=0

G43=tβ(a4+lcθ42)+(c4-lsθ42)

建立2URR-2RRU并聯(lián)機構的速度方程為：

(30)

5 2URR-2RRU并聯(lián)機構奇異性分析

奇異性是并聯(lián)機構的固有特性。通常利用雅克比矩陣判斷并聯(lián)機構奇異性時，可以把奇異類型分為3類：反解奇異、正解奇異以及混合奇異。

(1)當|T|=0,|G|≠0時，機構處于反解奇異位形，也稱為邊界奇異。當T11、T22、T33、T44中任一個為零時，則|T|=0。

若T11=0則有l(wèi)(a1cθ13-c1sθ13)=0可以得到：

z0=cβtθ13(e2-e1cγ)

(31)

若T22=0則有l(wèi)(a2cθ23-c2sθ23)=0可以得到：

z0=cβtθ23(e1cγ-e2)

(32)

若T33=0則有l(wèi)(c3cθ32-a3sθ32)=0可以得到：

(33)

若T44=0則有l(wèi)(a4sθ42+c4cθ42)=0可以得到：

(34)

(2)當|G|=0,|T|≠0時，機構處于正解奇異位形。

G矩陣中各元素表達式較長，如果直接對G矩陣進行行列式符號運算的話運算量較大，并且找不到規(guī)律，無法判斷G矩陣行列式是否為零。這種情況下需要采用數(shù)值搜索的方法來對G矩陣行列式進行判斷。通過計算，筆者發(fā)現(xiàn)參數(shù)在-50°≤β≤50°、-50°≤γ≤50°、250 mm≤z0≤650 mm范圍內時，G矩陣的行列式是不為零的，即不存在正解奇異。

(3)當|G|=0,|T|=0時，機構處于混合奇異位形。

由前所述|G|=0不成立，所以機構不存在混合奇異。

綜上所述，并聯(lián)機構2URR-2RRU不存在正解奇異和混合奇異，只存在反解奇異，且反解奇異有4種情況，即T11=0時，分支1處于奇異位形；T22=0時，分支2處于奇異位形；T33=0時，分支3處于奇異位形，T44=0時，分支4處于奇異位形，機構各分支奇異位置如圖6所示。

圖6 機構各分支奇異位置

6 工作空間分析

并聯(lián)機構的工作空間主要受以下幾個條件的約束：

(1)并聯(lián)機構各分支桿件長度限制。結合本研究中的2URR-2RRU并聯(lián)機構的結構特點以及動平臺和定平臺的結構尺寸可以選取桿長為l=400 mm；

(2)并聯(lián)機構桿件之間的相互干涉。因為該并聯(lián)機構只有4個分支，并且各分支的驅動關節(jié)為轉動副，使得各分支之間不可能出現(xiàn)交叉情況，不存在干涉現(xiàn)象；

(3)奇異位形的影響?？紤]到該機構只有反解奇異，故只需要使如下等式成立即可：

(35)

(4)運動副轉角的限制，運動副轉角約束如圖7所示。

圖7 運動副轉角約束

要滿足：

(36)

式中：θTi—轉動副和萬向鉸的傳動角度；θTimax—最大轉角，θTimax=50°。

綜上所述，本研究給出三維模型基本參數(shù)e1=250 mm、e2=400 mm、H=50 mm。動平臺3個參數(shù)取值范圍如下：

(37)

由上述條件，本研究結合公式(26)利用Matlab數(shù)值搜索求解出工作空間，流程圖如圖8所示。

圖8 工作空間計算流程圖

得到并聯(lián)機構的工作空間如圖9所示。

圖9 可達工作空間三維視圖

由工作空間圖可看出：該機械手在Y軸上的空間大小有刀具長度決定。

7 力/運動傳遞性能分析

7.1 螺旋分析

分支1上的螺旋$11、$12、$13以及$14在固定坐標系下的表示為：

(38)

根據(jù)(38)求解其反螺旋，得分支1的約束螺旋為：

(39)

由于并聯(lián)機構的驅動關節(jié)為分支中間的R副，得到：$13=$I1。此處對[$11,$12,$14]求解力反螺旋，可得分支傳遞螺旋TWS為：

$T1=(-asθ11,b,acθ11;-ae2cθ11,0,-ae2sθ11)

(40)

同理得到分支2、3、4的約束螺旋$C3、$C4、$C5、$C6、$C7、$C8以及傳遞力螺旋$T2、$T3、$T4：

(41)

(42)

其中：

a=l(sθ12+sθ13)，
b=l(cθ12+cθ13)，
f=l(sθ22+sθ23)，
g=l(cθ22+cθ23)，

ss=tθ11(lcθ31+lcθ32-e2)-l(sθ31+sθ32)sss=

tθ11(lcθ41-lcθ42+e2)-l(sθ41+sθ42)，

z=l(cθ31+cθ32)，
v=l(sθ31+sθ32)。

機構分支鎖定組合如表3所示。

表3 機構分支鎖定組合

對其求反螺旋，可得動平臺輸出運動螺旋$Oi(i=1～6)。

7.2 局部傳遞指標

機構力/運動傳遞可分為輸入傳遞以及輸出傳遞兩部分。輸入傳遞性能可以反應能量從輸入端至分支的效率，輸出性能反應能量從分支到輸出端的效率。輸入輸出傳遞性能的求解表達式分別為：

(43)

(44)

式中：λi—第i個分支關于$Ii與$Ti的功率系數(shù)，i=1～6；ηi—第i個分支關于$Oi與$Ti的功率系數(shù)，i=1～6。

顯然當功率系數(shù)值接近于1時，力/運動傳遞性能越好；功率系數(shù)值接近于0的時，力/運動傳遞性能很差。因此定義總體性能指標為γ=min{λi,ηi}。

根據(jù)7.1節(jié)所求的輸入輸出螺旋以及傳遞螺旋，且機構角度參數(shù)β、γ與工作空間中參數(shù)一致，z0=300 mm。將螺旋代入到等式(43-44)中求解，繪制力/運動傳遞性能圖，LTI性能圖譜如圖10所示。

圖10 LTI性能圖譜

從圖10可以看出：并聯(lián)機構2URR-2RRU的功率系數(shù)值大于0.7的區(qū)域中角度參數(shù)β、γ取值范圍大，表明該機構的力/運動傳遞性能良好。

8 結束語

本研究分析了一種新型兩轉一移冗余驅動并聯(lián)機構2URR-2RRU，首先運用螺旋理論對機構自由度進行了分析，并得到了該并聯(lián)機構動平臺轉定平臺旋轉矩陣，依次建立了各分支坐標系并進行位置分析，得到了該機構運動學反解解析解及正解數(shù)值解。根據(jù)反解解析解推導出該機構雅克比矩陣，利用雅克比矩陣對2URR-2RRU進行了奇異分析。

結果顯示：該機構只存在反解奇異，不存在正解奇異以及混合奇異。綜合該機構桿長、干涉、奇異位型、運動副轉角等約束條件，求解出該機構工作空間。通過對2URR-2RRU機構的LTI性能指標計算發(fā)現(xiàn)，該機構的力/運動傳遞性能優(yōu)越區(qū)域大，很好地說明了該機構力/運動傳遞性能佳。

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