☉浙江省湖州市第四中學(xué) 陳孝鳳

一、問題起源

問題：如圖1，在Rt△AOBy中，∠OAB=90°，OA=6，OA為x軸的正半軸，OB、OA分別與雙曲線y=（k≠0），y=（k≠120）相交于點C和點D，且BC∶O CO=1∶2，若CD∥OA，則點E的橫坐標(biāo)為（ ）.

圖1

分析：本題是2016年湖州二模中的一道選擇題，閱卷時令筆者驚訝的是，竟然有不少學(xué)生沒有求得正確選項A.觀察圖像，由BC∶CO=1∶2，可以得到xC=4，結(jié)合圖形檢驗顯然xE＞4.為什么會有相當(dāng)一部分學(xué)生出現(xiàn)這樣的錯誤呢？值得筆者深深的思考.

思考：縱觀當(dāng)下初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在遇到煩瑣的運算時往往依賴計算器或者各種APP，這樣的手段加快了作業(yè)效率，但是也帶來了自主運算能力的下降，這與2016年新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的重視數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)之一數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)背道而馳.面對錯誤，學(xué)生往往以“粗心”為借口，殊不知這種“粗心”背后真正的原因是什么？更不知道如何解決這一困擾.筆者認(rèn)為，要實現(xiàn)解題的正確性，既要重視本身的運算能力的培養(yǎng)，也要注重檢驗手段的輔助，兩者相輔相成，幫助學(xué)生實現(xiàn)自我糾錯能力的提高.

二、切磋琢磨

自我糾錯是指學(xué)習(xí)者在解題過程中，根據(jù)自我監(jiān)控，對自己出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行改正.通常包括兩個方面的內(nèi)容：一是對所得的解的檢驗.例如，是否有多解、丟解或錯解.二是對解題過程的檢驗.例如，已知數(shù)據(jù)是否看錯、用錯或遺漏、圖形是否畫錯等，已知條件是否全用上、有否錯用條件、有否亂用法則、推理是否步步有依據(jù)，運算是否正確、數(shù)據(jù)有沒有看錯或抄錯，解題格式是否有錯、步驟是否完整、表述的語言是否達(dá)意等.但很多學(xué)生往往忽視了檢驗的重要作用，做完題目后不認(rèn)真檢驗，甚至不檢驗，導(dǎo)致出現(xiàn)很多不應(yīng)該的錯誤，也影響了學(xué)生對知識的掌握.

具體的檢驗途徑和方法是多種多樣的，我們熟知的常用的檢驗方法有：基本概念、法則、公式來檢驗；常識檢驗；數(shù)形結(jié)合檢驗；等價檢驗；整體檢驗；直接檢驗；回顧檢驗；逆運算檢驗；代入檢驗；精確作圖檢驗等.筆者依據(jù)在一線教學(xué)多年的經(jīng)驗，反思?xì)w納，根據(jù)不同的數(shù)學(xué)試題特征，以及數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部聯(lián)系出發(fā)，在下文中討論幾種既靈活又簡便的自我糾錯方法，以實現(xiàn)學(xué)生糾錯能力的提升.

1.估算檢驗法

根據(jù)題中條件，先粗略估計正確結(jié)果的取值范圍，如計算結(jié)果不在此范圍之內(nèi)，說明解答有誤.一切客觀事物，各自都有一定的量的規(guī)定性.如果有關(guān)的數(shù)據(jù)極大地超出了相應(yīng)的數(shù)值范圍，那么人們對它的真實性就會產(chǎn)生這樣或那樣的懷疑.當(dāng)解題過程是否等價變形難以把握時，可用估算的方法進(jìn)行檢驗，以避免忽視充要條件而產(chǎn)生邏輯性錯誤.估算能開拓思維，培養(yǎng)和提高分析能力和實際應(yīng)用能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，主要可以借助學(xué)生的自我經(jīng)驗和圖形手段實現(xiàn).

（1）經(jīng)驗估計檢驗.

經(jīng)驗估算是以人們的生活實踐經(jīng)驗，去估算答案的真實性.例如，人的高度不可能達(dá)到5米以上；在解速度應(yīng)用題時，人的速度不可能大于每秒20米；在工程問題中，合作完成所需時間必少于單獨完成所需時間等.一般說來，命題是以客觀事物的數(shù)量指標(biāo)為背景的，所以在通常情形下，經(jīng)驗估算是一種簡便易行的檢驗方法.為了用好這種方法，在生活實踐中，必須注意觀察周圍事物，熟悉它們的量的規(guī)定性.

（2）圖形估計檢驗.

幾何題目常常需要根據(jù)圖形來求解，但在平時的練習(xí)中，不可能也不需要每個題目都畫精確圖來求解.此時根據(jù)題意畫出草圖，可估算出答案的大致范圍，以便快速的檢驗.如求y=3x+2與y=x-2的交點坐標(biāo)時，根據(jù)草圖可得它們的交點在第三象限，如此解的范圍就有了，明顯的錯誤答案馬上可以排除.另外在其他的幾何作圖中（如作軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換等），我們同樣可以先估算出像的大致位置，以提高作圖的正確率.

2.對稱原理檢驗法

對稱，顧名思義，就是兩個事物（或同一事物的兩個方面）相對而又相稱.如果A、B是具有對稱性的兩個事物（或同一事物的兩個方面），那么把A、B交換順序，其結(jié)果不變.對稱原理不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中一個重要的概念，更是一種重要的思想方法.對稱的條件勢必導(dǎo)致結(jié)論的對稱，利用這種對稱原理可以對答案進(jìn)行快速檢驗.

比如，因式分解（ab+1）（a+1）（b+1）+ab=（ab-b+1）·（ab+a+1）.結(jié)論顯然錯誤.左端關(guān)于a、b對稱，所以右端也應(yīng)關(guān)于a、b對稱，正確答案應(yīng)為（ab+1）（a+1）（b+1）+ab=（ab+b+1）（ab+a+1）.

3.特殊值檢驗法

要證明一個判斷是假的，只要指出使這個判斷成立的一個必要條件不具備就可以了.特例檢驗正是基于上述思想，是用適合題意的某些特殊數(shù)值、特殊條件或特殊圖形，來確定答案是否錯誤的一種檢驗方法.

比如，在學(xué)（a+b）2=a2+2ab+b2時，很多同學(xué)經(jīng)常把2ab遺漏.其實，只要把a=1，b=2代入所求的式子，很快就可以得到等號的左右兩邊是不相等的，從而得知公式用錯了.在選擇題的處理中，筆者常常引導(dǎo)學(xué)生用特例去尋找正確選項，這種方式既有助于數(shù)學(xué)程度較弱的學(xué)生獲得正確答案，也提高了這些學(xué)生的自我糾錯能力.

4.條件檢驗法

解答數(shù)學(xué)題，關(guān)鍵在于充分利用題設(shè)條件與結(jié)論或條件與問題的內(nèi)在聯(lián)系.條件檢驗是從數(shù)學(xué)題的條件入手，全面檢查已知條件是否充分利用，題解的各個環(huán)節(jié)與已知條件是否矛盾的檢驗方法.題解的錯誤和無法求解，常常來自忽視了隱含條件.因此，在進(jìn)行條件檢驗時，要在觀察和分析題中的隱含條件上多下功夫.

比如，現(xiàn)有一凸多邊形，最小內(nèi)角∠A=120°，其他各內(nèi)角的度數(shù)依次為∠B=125°，∠C=130°，∠D=135°，…，求這一凸多邊形的邊數(shù).

解答如下：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則其內(nèi)角和為（n-2）180°.根據(jù)題意可得n［120°+120°+5°（n-1）］=2×180°（n-2）.整理后得n2-25n+144=0，解得n1=9，n2=16，即這是9邊形或16邊形.

思考：上述解答似乎無懈可擊，但細(xì)察題中條件，這是一個凸邊形，依據(jù)定義，它的任一內(nèi)角都應(yīng)小于180°，而當(dāng)n=16時，最大的內(nèi)角為120°+（16-1）×5°=195°＞180°.這就表明，n=16是不合題意的，應(yīng)當(dāng)舍去.條件檢驗是一種重要的檢驗方法，不僅可以排除錯誤，而且還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)正確的解題途徑.因此，解決問題過程中時時觀察條件的影響，有助于我們提高問題解決的效率，往往可以“柳暗花明又一村”.

三、方得始終

教學(xué)是一門值得教師深入研究的藝術(shù)，本文從一個問題的錯誤中，筆者思考了學(xué)生對于問題解決過程中常常犯的錯誤，如何引導(dǎo)學(xué)生去自我審視、自我發(fā)現(xiàn)、自我糾錯，成為教學(xué)更為高效的有效補充.本文中筆者從教學(xué)一線的實踐中，通過“切、磋、琢、磨”列舉了一些常用的、符合學(xué)生視角的檢測方式，旨在努力提升學(xué)生的糾錯能力.

最后，筆者想說自我糾錯是給出正確題解的一個重要環(huán)節(jié)，自己檢驗答案不僅能糾正錯誤，還能有效培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性，提高元認(rèn)知水平，從而提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.養(yǎng)成自我糾錯的習(xí)慣，減少解題時的失誤，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有效和高效，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得“方得始終”.

1.徐曉紅，黃加衛(wèi).習(xí)題解答的檢驗方法述評［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（9）.

2.王鵬飛.檢驗數(shù)學(xué)題解的常用方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（2）.

3.丁曉山.中國學(xué)生學(xué)習(xí)法（中學(xué)數(shù)學(xué)版）［M］.北京：大眾文藝出版社，2005.

4.沈恒.采菊東籬下悠然見南山——課堂教學(xué)行走在“兩極”之間［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（6）.H