☉北京教育學(xué)院宣武分院 刁衛(wèi)東

求某個待定字母取值范圍問題一直是近幾年中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一類試題，現(xiàn)以北京市近幾年中考試題為例，從另一個角度來看看此類問題的解法，供讀者參考.

例1 （2017年北京中考第23題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=（x＞0）的圖像與直線y=x-2交于點A（3，m）.

（1）求k、m的值.

（2）已知點P（n，n）（n＞0），過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=x＞0）的圖像于點N.

圖1

①當(dāng)n=1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出n的取值范圍.

分析：（1）、（2）①略.對于（2）②，它的已知條件“PN≥PM”是幾何條件，而要求的“實數(shù)n的取值范圍”是一個代數(shù)目標(biāo)，因此，解決本小題的關(guān)鍵是如何將這個幾何條件代數(shù)化.通過畫圖可以看到點P既可以在點N的下方（如圖2），也可以在點N的下方（如圖3），而PM的長度恒為2，所以本問的解題思路大致有兩個方向：一是利用所畫的函數(shù)的圖像，先確定當(dāng)PN=PM時點P、M、N的位置，然后解出此時的實數(shù)n的值為1和3，最后結(jié)合函數(shù)圖像直接寫出符合題目要求的實數(shù)n的取值范圍；二是先利用平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式將PN≥PM轉(zhuǎn)化為含有實數(shù)n的不等式，然后通過解這個不等式，得出符合題目要求的實數(shù)n的取值范圍.對于第一種解題過程，本文不作闡述，現(xiàn)將第二種解題過程呈現(xiàn)如下.

圖2

圖3

考慮到n＞0，得到n≥3或0＜n≤1.

說明：本題（2）②第一種解題思路是先確定滿足條件的n的臨界值，然后結(jié)合圖像得出實數(shù)n的取值范圍，這也是初中階段解決此類求取值范圍問題所采取的一般方法；第二種解題思路對于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，它要求學(xué)生在深刻理解條件的基礎(chǔ)上，不僅能夠利用條件列出含有實數(shù)n的不等式，而且能解這個不等式，同時最后的結(jié)果還要滿足n＞0的條件.盡管初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不涉及絕對值不等式、一元二次不等式及分式不等式的解法，但對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好的學(xué)生來說，可以通過此種解題思路的呈現(xiàn)，增強他們對此類數(shù)學(xué)試題本質(zhì)的理解及理性看待數(shù)學(xué)問題的能力.

例2 （2015年北京中考第23題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b（k≠0）與雙曲線y=的一個交點為P（2，m），與x軸、y軸分別交于點A、B.

（1）求m的值；

（2）若PA=2AB，求k的值.

分析：（1）略（.2）本問的解題思路大致有兩個方向：一是利用所畫的函數(shù)的圖像，并由PA=2AB確定點A、B、P的位置后，運用相應(yīng)的幾何和代數(shù)知識求出k的值；二是將PA=2AB這一幾何條件轉(zhuǎn)化為含有實數(shù)k的代數(shù)方程，然后通過解這個方程求出k的值.

解：（2）思路1：

由條件PA=2AB，可知點A、B的位置有兩種情況，所以需要分別求出相應(yīng)的k的值.當(dāng)點B在線段PA上時，易得點B是線段PA的中點，如圖4所示，知OB=OA=2，求得此時k=1；當(dāng)點B在線段PA的延長線上時，如圖5所示，易得點B的坐標(biāo)為（0，-2），求得此時k=3.

圖4

圖5

因為PA=2AB，所以：

整理，得k2-4k+3=0.

解得k=1或k=3.

說明：（1）本小問所呈現(xiàn)的兩個解題思路分別從“形”和“數(shù)”兩個角度展開思考.從“形”的角度展開思考，需要依據(jù)條件結(jié)合函數(shù)圖像分情況在確定點A、B的位置后，去求相應(yīng)的k的值；從“數(shù)”的角度展開思考，則需要首先將幾何條件PA=2AB轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后求出所列方程的解.

（2）本小問實際上具有濃厚的解析幾何的“味道”，其解法除了將幾何條件PA=2AB轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)方程，然后求出這個方程的解，還可以應(yīng)用定比分點公式輕松解決.具體方法是：由條件易求得4-2k）、P（2，4），當(dāng)點B是線段PA的中點時，當(dāng)點B在線段PA的延長線上時，進而由定比分點公式列方程，可求得相應(yīng)的k的值為1或3.

例3 （2015年北京中考第27題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點（0，2）且平行于x軸的直線與直線y=x-1交于點A，點A關(guān)于直線x=1的對稱點為B，拋物線C1：y=x2+bx+c經(jīng)過點A、B.

（1）求點A、B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線C1的表達式及頂點坐標(biāo)；

（3）若拋物線C2：y=ax2（a≠0）與線段AB恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖像，求a的取值范圍.

分析：（1）、（2）略.對于（3），一種思路是：如圖6，應(yīng)先畫出滿足題意的函數(shù)圖像，由于線段AB是確定的，所以先畫好線段AB，然后依據(jù)題意，確定拋物線C2：y=ax2（a≠0）與線段AB相交時的臨界情況，進而求出此時a的值，最后結(jié)合畫出的函數(shù)圖像拋物線y=ax2（a≠0）的開口大小情況寫出滿足題意的實數(shù)a的取值范圍；另一種思路是：將已知條件“拋物線C2：y=ax2（a≠0）與線段AB恰有一個公共點”看成“方程y=ax2（a≠0）與方程y=2聯(lián)立后在-1≤x≤3內(nèi)只有一組解”，也就是“方程ax2=2（a≠0）在-1≤x≤3內(nèi)只有一個解”，問題變成求這種情況下實數(shù)a的取值范圍問題.

解：（3）思路1：如圖6，當(dāng)拋物線C2過點A（3，2）和B（-1，2）時為臨界情況.

圖6

說明：本小問的第二種解題思路是將函數(shù)的圖像的交點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)問題，從而運用方程的知識解決此問題.

一點思考：

從上面幾個題目的最后一問的求解過程來看，它們幾乎都可以用高中階段的數(shù)學(xué)知識來解決，如例1中涉及的解不等式≥2，再如例3的解法中涉及的“將解決函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解決方程的解的個數(shù)問題，即用方程來研究曲線”，體現(xiàn)的是解析幾何中核心內(nèi)容，即“曲線與方程的關(guān)系”等，它們的出現(xiàn)從一定程度上可能在傳遞一種命題導(dǎo)向：一些具備選拔功能的中考試題幾乎都具備高中數(shù)學(xué)知識背景，是在高觀點下構(gòu)思成的.我們知道中考是高利害的考試，其中的一些試題有一定的選拔功能，是對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測試，這些具備高中數(shù)學(xué)知識背景的試題的出現(xiàn)為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上能力突出的學(xué)生提供了一個施展自己才華的平臺.

另一方面，我們也看到，由于上述試題的一些解法用到的數(shù)學(xué)知識都不是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)涉及的知識，因此如果以課程標(biāo)準(zhǔn)來衡量的話，考題有一定的“超標(biāo)”之嫌，特別是例1和例2，值得商榷.當(dāng)然，作為平時解題教學(xué)使用的話，則可以引導(dǎo)學(xué)生反思這些試題，從中獲得解決這類問題深層次內(nèi)含的思想與方法，促進數(shù)學(xué)能力突出的學(xué)生進一步加深對數(shù)學(xué)知識的理解，即對于初中數(shù)學(xué)中所謂的一些難題，需要在“高觀點”下從多角度認識它們，把握它們，這對這些學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定有很大的幫助.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（12）.

3.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長遠利益［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（2）.

4.徐向清.中考命題“高觀點”，解題教學(xué)宜拓展——2015年河南卷第23題思路突破與解后反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（12）.

5.許玉萍.拋物線準(zhǔn)線、焦點考題的教學(xué)導(dǎo)向之思——從2015年江蘇宿遷中考第26題說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（10）.