☉浙江臺(tái)州市白云中學(xué) 張安軍

☉浙江臺(tái)州市教育局教育室 蔣榮清

前段時(shí)間，筆者應(yīng)四校聯(lián)盟邀請(qǐng)，開(kāi)設(shè)一節(jié)期末復(fù)習(xí)公開(kāi)課，復(fù)習(xí)的內(nèi)容是人教版教材七年級(jí)（上）第二章“整式的加減”，開(kāi)課對(duì)象是七年級(jí)學(xué)生，開(kāi)課時(shí)間是該班學(xué)生本學(xué)期新授課內(nèi)容剛好結(jié)束，此時(shí)離期末考試還有三周左右.復(fù)習(xí)的形式是多樣的，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性，初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課可分為單元復(fù)習(xí)課、章節(jié)復(fù)習(xí)課、期末復(fù)習(xí)課、學(xué)段復(fù)習(xí)課等.接到這一課題，筆者思忖著，期末復(fù)習(xí)課和單元復(fù)習(xí)課、章節(jié)復(fù)習(xí)課有何不同？期末復(fù)習(xí)課的價(jià)值和作用是什么？如何有效開(kāi)設(shè)期末復(fù)習(xí)課？帶著這些問(wèn)題進(jìn)行思考，并執(zhí)教了“整式的加減”的期末復(fù)習(xí)課，課后得到聽(tīng)課同行們的好評(píng).本文先呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并記錄教學(xué)生成的片段，進(jìn)一步給出教后反思，供研討.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：整體構(gòu)建，融會(huì)貫通.

例1 計(jì)算：（1）3×（-2）2×（-5）-2×（-2）×（-5）-2×（-2）2×（-5）+3×（-2）×（-5）；

（2）3a2b-2ab-2a2b+3ab.

預(yù)設(shè)意圖：（1）式是具體的有理數(shù)運(yùn)算，其計(jì)算結(jié)果是一個(gè)有理數(shù)；（2）中的算式是整式的加減運(yùn)算，若把（1）中的數(shù)（-2）和（-5）分別用字母a、b替代，就可得到（2）中的算式，可見(jiàn)（2）中的算式是（1）中具體數(shù)運(yùn)算的一般化.

把具體的數(shù)推廣到更一般的數(shù)，用字母表示數(shù)，是人類認(rèn)識(shí)史和數(shù)學(xué)史上一次大飛躍，字母、字母和字母組成的式子本質(zhì)上也是一種數(shù)，有理數(shù)有加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方運(yùn)算.數(shù)式通性，類比有理數(shù)，整式不僅有加、減運(yùn)算，也有乘、除、乘方和開(kāi)方運(yùn)算，讓學(xué)生感受到數(shù)式通性，從有理數(shù)的各種運(yùn)算推廣到整式的各種運(yùn)算，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)條理化和系統(tǒng)化，接著以（2）式為背景設(shè)計(jì)本章相關(guān)概念的練習(xí).

練習(xí)：

（1）說(shuō)出單項(xiàng)式-2ab2的系數(shù)與次數(shù)，你是如何確定單項(xiàng)式的次數(shù)的？

（2）說(shuō)出多項(xiàng)式3a2b-2ab-2a2b+3ab的次數(shù)與項(xiàng)數(shù)，多項(xiàng)式的次數(shù)是如何確定的？

（3）在多項(xiàng)式3a2b-2ab-2a2b+3ab中有同類項(xiàng)嗎？如何判定同類項(xiàng)？

（4）計(jì)算：①3a2-2a-a2-6a；

②-a+3（a-b）-4（a-2b）；

③先化簡(jiǎn)，再求值：5（3a2b-ab2）-（ab2+3a2b），其中a＝0.5，b＝-1.

（5）能說(shuō)說(shuō)（4）中運(yùn)算的依據(jù)嗎？得到哪些運(yùn)算法則？這些法則體現(xiàn)數(shù)學(xué)中哪些思想？

預(yù)設(shè)意圖：對(duì)先前所學(xué)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行回顧，由于學(xué)習(xí)這些概念相隔時(shí)間長(zhǎng)，容易遺忘，因此先讓學(xué)生回顧單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式等相關(guān)概念，再把分散的知識(shí)點(diǎn)建立成簡(jiǎn)約的知識(shí)體系.由于單元（章節(jié)）復(fù)習(xí)課中是按先后所學(xué)的順序或章節(jié)的整體性建立相關(guān)的知識(shí)體系，對(duì)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)之間沒(méi)有建立橫向的聯(lián)系，這些概念在這本學(xué)期所學(xué)教材中的地位、作用未必能揭示清楚，通過(guò)期末復(fù)習(xí)，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)整體聯(lián)系.例如，學(xué)生做完練習(xí)（4）后，追問(wèn)：“合并同類項(xiàng)法則和去括號(hào)法則”的依據(jù)是什么？為什么這兩個(gè)法則能統(tǒng)一到更簡(jiǎn)單、更本質(zhì)的原理———數(shù)系運(yùn)算的分配律水平上？這是因?yàn)檎绞蔷唧w數(shù)的抽象，整式加減的運(yùn)算本質(zhì)上是字母表示數(shù)和運(yùn)算律，這樣學(xué)生甚至不用記憶合并同類項(xiàng)法則和去括號(hào)法則，只要在數(shù)或字母運(yùn)算中應(yīng)用運(yùn)算律，就可以自如地進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)式通性，有理數(shù)和整式之間建立起有機(jī)聯(lián)系.

圖1

活動(dòng)2：提煉經(jīng)驗(yàn)，形成思想.

例2 如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫作“和諧數(shù)”.例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個(gè)位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“和諧數(shù)”.

（1）試判斷33、121、2233是不是“和諧數(shù)”.

（2）請(qǐng)你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除，并說(shuō)明理由.

（3）已知一個(gè)四位“和諧數(shù)”個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，且和諧數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是11的倍數(shù)，請(qǐng)寫出這個(gè)四位“和諧數(shù)”.

（4）試判斷：任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”一定被11整除嗎？若一定是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不一定是，請(qǐng)?zhí)剿鱾€(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字應(yīng)滿足什么條件，才能使三位“和諧數(shù)”一定被11整除.

預(yù)設(shè)意圖：先定義了什么是“和諧數(shù)”，第（1）問(wèn)先給出具體的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，試判斷它們是否是“和諧數(shù)”，考查對(duì)閱讀材料的理解；第（2）問(wèn)在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，當(dāng)學(xué)生理解“和諧數(shù)”后，對(duì)四位“和諧數(shù)”進(jìn)行性質(zhì)的探究，從特例到歸納，從歸納到猜想，再?gòu)牟孪氲嚼硇缘尿?yàn)證，凸顯字母表示數(shù)更具一般性；第（3）問(wèn)具體的一個(gè)四位“和諧數(shù)”滿足一定的條件，求出這樣的一個(gè)四位“和諧數(shù)”，實(shí)際上用字母表示數(shù)，列出式子尋求等量關(guān)系，體會(huì)方程思想；第（4）問(wèn)對(duì)三位“和諧數(shù)”是否被11整除展開(kāi)研究，列式用字母表示這樣三位“和諧數(shù)”，然后構(gòu)建等量關(guān)系，讓學(xué)生感受所謂“方程就是未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系，未知數(shù)無(wú)非就是一個(gè)字母，用這個(gè)字母表示問(wèn)題中相關(guān)的量，而解方程就是將未知還原出來(lái)”［1］.讓方程不再神秘化，從具體的數(shù)到字母，再用字母列式表示數(shù)量關(guān)系，各數(shù)量關(guān)系之間的相等關(guān)系即方程，讓學(xué)生形成如圖2所示的一個(gè)整體性的知識(shí)，從而形成本章最核心的思想“從具體數(shù)到字母表示的一般數(shù)的抽象思想”.

圖2

活動(dòng)3：欣賞意境，彰顯字母魅力.

例3 假如有一根很長(zhǎng)的繩緊貼地球表面，繞赤道一周，然后把緊貼的繩子增加20m，這時(shí)繩子與地球赤道之間會(huì)有縫隙（假設(shè)各處縫隙是均勻的），下面四個(gè)估計(jì)最接近縫隙的高度的是（ ）

A.一張紙的厚度 B.數(shù)學(xué)書(shū)本的寬度

C.學(xué)生課桌的高度 D.籃球架的高度

預(yù)設(shè)意圖：通過(guò)這一問(wèn)題的解決，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)有時(shí)和實(shí)際相距甚大，用字母表示數(shù)，列式計(jì)算求得縫隙的高度，從而讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的奇異美.

例4 求證：所有大于11的整數(shù)一定可以表示成兩個(gè)合數(shù)之和.

預(yù)設(shè)意圖：先回顧什么是合數(shù)及什么是質(zhì)數(shù)，由于這個(gè)問(wèn)題的起點(diǎn)比較高，所以可以讓學(xué)生將大于11的整數(shù)表示為兩個(gè)正整數(shù)之和，例如，12＝1+11＝2+10＝3+9＝4+8＝5+7＝6+6，13＝1+12＝2+11＝3+10=4+9＝5+8＝6+7，等等，進(jìn)行枚舉，從有限個(gè)大于11的整數(shù)中歸納共性并進(jìn)行猜想，即“大于11的偶數(shù)都可以表示成2對(duì)或2對(duì)以上合數(shù)之和，且在每一對(duì)中總含有合數(shù)4或6；大于11的奇數(shù)只有一對(duì)合數(shù)之和，且這對(duì)合數(shù)中總有一個(gè)合數(shù)9”，這個(gè)猜想對(duì)于所有大于11的整數(shù)都成立嗎？引導(dǎo)學(xué)生在一般層面對(duì)猜想加以驗(yàn)證，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象的思維，用歸納推理提出和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用演繹推理驗(yàn)證猜想.

無(wú)獨(dú)有偶，在數(shù)學(xué)史上也有類似的命題“任一大于6的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，這個(gè)命題就是著名的“哥德巴赫猜想”，哥德巴赫（1690年—1764年）是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了這個(gè)有趣的命題，由于這個(gè)命題看似簡(jiǎn)單，但他又無(wú)法證明，于是在1742年哥德巴赫寫信向大數(shù)學(xué)家歐拉求教，歐拉終其一生也未能解決這個(gè)問(wèn)題，此后這個(gè)問(wèn)題就成為數(shù)學(xué)史上懸而未決的問(wèn)題之一.1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在法國(guó)巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)中提出23個(gè)重要問(wèn)題，其中“哥德巴赫猜想”又成為23個(gè)重要問(wèn)題之一.在解決這個(gè)問(wèn)題漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們前仆后繼，最終雖未取得圓滿解決，但也取得局部性的突破，中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在前人的基礎(chǔ)上，證明了“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成1個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)2個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”，簡(jiǎn)稱“1+2”.

預(yù)設(shè)：在學(xué)生證明“所有大于11的整數(shù)一定可以表示成兩個(gè)合數(shù)之和”后追問(wèn)，你們還會(huì)提出什么問(wèn)題？此時(shí)，教師出示：“8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7，14＝11+3，…”，讓學(xué)生歸納共性，提出猜想，然后介紹這一猜想就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱愛(ài)的情懷，同時(shí)在幼小心靈中播下數(shù)學(xué)家的種子.

二、課堂生成

生成片段1：（活動(dòng)1中練習(xí)5環(huán)節(jié)）.

師：計(jì)算整式加減，如“3a2b-2ab-2a2b+3ab和-a+3（a-b）-4（a-2b）”的依據(jù)是什么？

生：（眾）合并同類項(xiàng)和去括號(hào)法則.

師：那么合并同類項(xiàng)和去括號(hào)法則的依據(jù)又是什么？

（大家停頓片刻）

生1：根據(jù)分配律.

師：乘法對(duì)加法的分配律適用于數(shù)系運(yùn)算，以字母符號(hào)組成的整式加減運(yùn)算為什么也適合分配律呢？

生2：字母是一般的數(shù)，本質(zhì)上也是數(shù).

師：數(shù)是字母的特殊化，字母是數(shù)的一般化，類比數(shù)的運(yùn)算，整式還要研究哪些運(yùn)算？

生：（眾）整式的乘、除、乘方運(yùn)算.

生成片段2：（活動(dòng)2）.

師：請(qǐng)仔細(xì)閱讀一段有關(guān)“和諧數(shù)”的材料，而后，同桌為一組，其中一個(gè)任意說(shuō)出一個(gè)數(shù)，另一個(gè)判斷是否為和諧數(shù).

（學(xué)生激烈交流后）

師：下面給出幾個(gè)數(shù)：“33，121，2233”，是“和諧數(shù)”嗎？為什么？

生：（眾）2233不是“和諧數(shù)”.

師：你們能交換數(shù)字的位置，使它變成“和諧數(shù)”嗎？

生4：2332.

生5：3223.

師：還有嗎？

生6：3333或2222.

生：（眾）不符合題意，題目中要求交換數(shù)字的位置.

師：那么3333或2222是不是“和諧數(shù)”？

生：（眾）是.

師：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：2332＝11×212，3223＝11×293，他推測(cè)四位“和諧數(shù)”都能被11整除.他的推測(cè)有道理嗎？

（過(guò)了幾分鐘后，一名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了證明，非常激動(dòng)，等大部分學(xué)生都發(fā)現(xiàn)證明后，讓這名學(xué)生回答）

生7：記四位“和諧數(shù)”為“abb a”，則abba＝103a+102b+10b+a=1001a+110b=11（91a+10b）.

師：你是怎么想到用字母表示四位“和諧數(shù)”的呢？

生7：因?yàn)樗奈弧昂椭C數(shù)”的特點(diǎn)是首尾兩個(gè)數(shù)字相同，中間兩個(gè)數(shù)字相同，因此用字母表示才能窮盡所有的四位“和諧數(shù)”.

師：對(duì)于生7，你們有什么想法？

生8：四位“和諧數(shù)”還有一種可能是aaaa，則abba＝1111a＝11×101a.

師：這位同學(xué)想問(wèn)題非常嚴(yán)謹(jǐn)，把四位“和諧數(shù)”分兩種情形，即abba和aaaa，然后分別加以證明……

生成片段3：（活動(dòng)3中的例3）.

師：請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)一下貼近地球赤道的繩子增加20m，它們的縫隙高度大約是多少.

（大家議論紛紛，有的說(shuō)接近針的厚度，有的說(shuō)1毫米左右，有的說(shuō)比一張紙的厚度還要?。?/p>

生9：大約一張紙的厚度，應(yīng)選A.

師：還有不同的答案嗎？

生10：大約是數(shù)學(xué)教材的寬度，應(yīng)選B.

師：說(shuō)說(shuō)你們所選答案的依據(jù).

生9：地球的半徑這么大，只增加20m的繩子的長(zhǎng)度，均勻地分配各處，感覺(jué)應(yīng)很小很小，所以選A.

生10：和生9的想法差不多.

師：你們都是憑感覺(jué)得到答案，感覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)有時(shí)會(huì)欺騙我們，你們能驗(yàn)證自己的答案嗎？

（這時(shí)大部分學(xué)生不知從何思考，實(shí)際上反映出學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力薄弱）

師：你能根據(jù)題意畫(huà)一個(gè)草圖嗎？或者引進(jìn)一些符號(hào)驗(yàn)證自己的答案嗎？

生11：假設(shè)地球的半徑為r，增加的高度為x，那么2π（r+x）-2πr=20，解得x=≈3.18（m）.

師：這位同學(xué)把赤道看成一個(gè)圓，通過(guò)引進(jìn)符號(hào)，設(shè)未知數(shù)得到一個(gè)方程，有根據(jù)地得到答案，從中你們有什么啟發(fā)？

生9：不要太相信自己的感覺(jué).

生12：猜測(cè)到的答案還需要驗(yàn)證.

師：數(shù)學(xué)課需要大膽猜想，更需要謹(jǐn)慎求證，數(shù)學(xué)答案的得出，要有根據(jù)且合乎邏輯.我想，這就是數(shù)學(xué)給予人理性思維的熏陶……

三、對(duì)期末復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與反思

1.重視構(gòu)建各章節(jié)層次清楚、相互聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)，達(dá)到融會(huì)貫通.

知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，遺忘和保持是同時(shí)發(fā)生的，為了使知識(shí)有序地儲(chǔ)存到長(zhǎng)時(shí)記憶中，減少對(duì)所學(xué)知識(shí)的遺忘，要及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)復(fù)習(xí).復(fù)習(xí)課有各種形式，日常教學(xué)中教師都要開(kāi)展相應(yīng)的單元復(fù)習(xí)課或章節(jié)復(fù)習(xí)課，為什么還要進(jìn)行期末復(fù)習(xí)課呢？這是因?yàn)檎鹿?jié)（單元）復(fù)習(xí)雖能把某些概念系統(tǒng)化，但是這些概念在章、節(jié)乃至整個(gè)學(xué)期所學(xué)教材中的地位、作用未必能揭示清楚，期末復(fù)習(xí)課和章節(jié)（單元）復(fù)習(xí)課雖有相同的目的和功能，但又有著不同的作用和價(jià)值，下面對(duì)這兩種復(fù)習(xí)課的異同進(jìn)行比較（如表1）：

表1

“整式的加減”一章中，教材先類比數(shù)，用字母表示數(shù)量關(guān)系得到單項(xiàng)式，然后給出單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)等相關(guān)的概念，單項(xiàng)式和單項(xiàng)式相加減得到多項(xiàng)式，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，為了研究整式的運(yùn)算，引進(jìn)了同類項(xiàng)和去括號(hào)法則，整式有了運(yùn)算，應(yīng)用變得更廣泛.在章節(jié)復(fù)習(xí)課中可以沿著教材的脈絡(luò)，梳理各概念之間的關(guān)系，構(gòu)建有序、結(jié)構(gòu)清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；期末復(fù)習(xí)課，在此基礎(chǔ)上，需要重新梳理整式加減與有理數(shù)、一元一次方程知識(shí)之間的聯(lián)系，使相關(guān)知識(shí)形成層級(jí)清楚、相互聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通［2］.

2.重視提煉方法，形成數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和核心所在，在期末復(fù)習(xí)課中需要學(xué)生進(jìn)行特定的認(rèn)知加工活動(dòng)，開(kāi)展這些活動(dòng)的核心價(jià)值是提高認(rèn)知加工的水平，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.具體到在“整式的加減”一章中，用字母表示數(shù)和列式表示數(shù)量關(guān)系是后繼學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)的基礎(chǔ)，從具體數(shù)到字母表示的一般數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從特殊到一般的抽象化思想，化整式加減運(yùn)算為系數(shù)加減運(yùn)算蘊(yùn)含化歸思想.

整式加減運(yùn)算的基礎(chǔ)是合并同類項(xiàng)，而同類項(xiàng)的依據(jù)就是分配律，把整式加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)系運(yùn)算的依據(jù)是分配律，分配律是數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ).從數(shù)到字母，是具體感性思維上升到一般化的抽象思維，這樣具體數(shù)的運(yùn)算拓展到以符號(hào)化為體系的代數(shù)運(yùn)算，字母是數(shù)的一般化，數(shù)是字母的具體化，數(shù)和式在這種意義上具有相通性，數(shù)不僅有加減運(yùn)算，還有其他運(yùn)算，同樣整式也有乘、除、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算，這樣整式可以拓展到分式、二次根式等，也可以進(jìn)一步發(fā)展方程、不等式和函數(shù).在整式加減期末復(fù)習(xí)課中，把分散在教材中的各章節(jié)如有理數(shù)、方程等用數(shù)學(xué)思想為線索統(tǒng)一起來(lái).

根據(jù)上述分析，本節(jié)課以數(shù)學(xué)思想為主線，展開(kāi)題組訓(xùn)練，如課的開(kāi)頭先類比有理數(shù)的運(yùn)算，拓展到整式加減運(yùn)算，以字母符號(hào)組成的式子為什么可以運(yùn)算進(jìn)行追問(wèn)，感悟數(shù)學(xué)類比方法和轉(zhuǎn)化思想.而后創(chuàng)設(shè)情境相對(duì)復(fù)雜的和諧數(shù)等問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生觀察、操作、歸納得到猜想，然后用字母表示一般數(shù)在一般層面上進(jìn)行推理驗(yàn)證，發(fā)展學(xué)生的概括能力、從特殊到一般的抽象化思想.

3.重視數(shù)學(xué)欣賞，感悟數(shù)學(xué)之美.

復(fù)習(xí)課都是對(duì)已學(xué)知識(shí)的溫故，學(xué)生經(jīng)歷過(guò)單元復(fù)習(xí)和章節(jié)復(fù)習(xí)，在期末復(fù)習(xí)課時(shí)，若選題不新，很難激起學(xué)生聽(tīng)課的興趣，則老師上課費(fèi)力，學(xué)生聽(tīng)課無(wú)精打采，效率低下.如同新加坡數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生打了一個(gè)比方“……這個(gè)跟燒菜一樣，我這個(gè)廚師幾十年就是要用這個(gè)材料，沒(méi)有這個(gè)材料怎么能燒得出來(lái)？你如果還是用原來(lái)材料燒菜，盡管味道很地道，但顧客不喜歡，他們欣賞不了！怎么辦？現(xiàn)在是一個(gè)選擇的問(wèn)題.一是不改，就被顧客解雇拋棄；另一種，就是改，生存！那你選擇哪一個(gè)？”本節(jié)復(fù)習(xí)課對(duì)同樣內(nèi)容進(jìn)行老歌新唱，例如，估計(jì)地球赤道之間縫隙的高度，理性和經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)差距的反差，欣賞數(shù)學(xué)的奇異美.再如，例4“求證：所有大于11的整數(shù)一定可以表示成兩個(gè)合數(shù)之和”，課后一名學(xué)生感觸非常深，寫成一篇文章發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)》上，現(xiàn)摘錄部分：“……大于11的整數(shù)，列舉出12至17，雖然它們都能表示成兩個(gè)合數(shù)之和，有的甚至可以表示2個(gè)或3個(gè)合數(shù)之和，但是，這僅僅是有限個(gè)具有這樣的特征，而大于11的整數(shù)有無(wú)限個(gè)，用有限的生命去列舉，怎么也列舉不完，當(dāng)然舉幾個(gè)例子，肯定不是證明，這時(shí)我想到老師在這道題上予以我的啟發(fā)，必須要用字母表示才能讓人心服口服，因?yàn)樽帜缚梢匀我馊〈笥?1的整數(shù)，你要取多少個(gè)就有多少個(gè)，用字母對(duì)付無(wú)限是最好的武器，從中可以看出例子具有特殊性，而字母卻具有一般性.具體表現(xiàn)在本題，字母如何展現(xiàn)威力呢？我陷入困境.就當(dāng)我山窮水盡時(shí)，無(wú)意在表格中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大于11的偶數(shù)都可以表示成2對(duì)或2對(duì)以上合數(shù)之和，但其中總有合數(shù)4和6；奇數(shù)只有一對(duì)合數(shù)之和，且都有一個(gè)合數(shù)9.把這個(gè)想法在大于17的整數(shù)中繼續(xù)驗(yàn)證，都得到同樣的結(jié)果……”［3］.

要讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課欣賞到數(shù)學(xué)美，首先，要了解學(xué)生，了解學(xué)生對(duì)已學(xué)過(guò)知識(shí)的掌握程度（如對(duì)那些概念、法則、定理是否清楚，在解題方面有哪些不足等），了解學(xué)生學(xué)習(xí)上的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)，了解學(xué)生的興趣點(diǎn)是什么；其次，教師要欣賞數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，這需要一定的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，要求平常愛(ài)讀書(shū)，包括多看數(shù)學(xué)科普類書(shū)籍，養(yǎng)成看數(shù)學(xué)教育雜志的習(xí)慣，從而積累素材.

1.張安軍.發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2013.

2.吳增生.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容解析初探［J］.中學(xué)教研，2014（1）.

3.張同余.字母的魅力［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中版），2017（3）.