☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 孫雨琴

☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 朱 哲

教科書是引起學(xué)生差異的一個關(guān)鍵因素，對學(xué)生成績存在著潛移默化的影響.通過對不同國家教科書內(nèi)容的比較，可以更好地了解學(xué)生適合什么樣的教學(xué)安排.反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)中的一種函數(shù)，對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題能力的培養(yǎng)有很大的幫助，且在中學(xué)階段具有重要的地位和作用.近年來，新加坡學(xué)生在國際數(shù)學(xué)測試中的優(yōu)秀表現(xiàn)，一直受人矚目，比如2015年的PISA測試結(jié)果顯示新加坡排名第一.PISA主要從科學(xué)、閱讀、數(shù)學(xué)三個領(lǐng)域來測試，而新加坡在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的平均分是564，在參與測試所有國家中成績最高，可見新加坡在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教育值得我國學(xué)習(xí)和借鑒.因此，筆者選取中國上海教育出版社2011年出版的初中數(shù)學(xué)教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡稱《數(shù)學(xué)》）與新加坡Shinglee Publishers PteLted出版，Dr Joseph Yeo等主編的2013年出版的數(shù)學(xué)教科書New Syllabus Mathematics（以下簡稱NSM），對兩種教科書中的“反比例函數(shù)”部分進行具體的比較和分析.

一、研究方法和內(nèi)容

本文主要采用文本分析法研究兩國教科書的異同.研究的對象不是整本教科書的內(nèi)容，但希望通過章節(jié)安排、呈現(xiàn)方式，以及例題和習(xí)題設(shè)置三個方面對其中“反比例函數(shù)”部分進行比較，得到相關(guān)結(jié)論和啟示，從而為我國教科書的編寫提供一些建議.

1.章節(jié)編排上的比較

《數(shù)學(xué)》將反比例函數(shù)安排在了八年級（上冊）第十八章“正比例函數(shù)與反比例函數(shù)”中的第二節(jié)，NSM則安排在第三冊第五章“函數(shù)圖和圖形解決方案”中的第二節(jié)，即反比例函數(shù)圖.兩種教科書都沒有單獨安排為一章，但前者在篇幅上較后者多.

以下是筆者所作的兩種教科書在反比例函數(shù)這一章的章節(jié)結(jié)構(gòu)圖（表1）.可以看出，兩種教科書雖然都涉及反比例函數(shù)這個知識點，但在學(xué)習(xí)的側(cè)重點上具有很大的差異性.比如，《數(shù)學(xué)》和NSM在這一節(jié)內(nèi)容上的標(biāo)題不一樣，前者標(biāo)題直接是反比例函數(shù)，NSM則是反比例函數(shù)圖.除此之外，《數(shù)學(xué)》在反比例函數(shù)這一節(jié)里設(shè)置了兩小節(jié)內(nèi)容，分別是反比例函數(shù)的概念和反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).而NSM則是y=的圖形和y=的圖形.

表1 章節(jié)結(jié)構(gòu)

總體而言，《數(shù)學(xué)》和NSM在本章的編排中都具有較強的系統(tǒng)性和邏輯性，各有側(cè)重.《數(shù)學(xué)》重視知識的整體性和綜合性學(xué)習(xí)，NSM則重視知識的應(yīng)用性和操作性學(xué)習(xí).

2.呈現(xiàn)方式的比較

“過程與方法”是三維目標(biāo)中的一個目標(biāo)，而知識的呈現(xiàn)方式是這個目標(biāo)有效落實的一個重要步驟.眾所周知，相對于結(jié)果，過程更能反映每個學(xué)生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學(xué)生成長的歷程.數(shù)學(xué)內(nèi)容在教學(xué)過程中離不開對知識的呈現(xiàn)，而這就關(guān)聯(lián)到什么樣的呈現(xiàn)方式能更好地幫助學(xué)生深入理解知識.若教科書的編寫只注重結(jié)果的理解和運用而忽視了教學(xué)過程，則學(xué)生的思維能力難以提高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也將無法落實.所以，教科書中知識的呈現(xiàn)方式關(guān)乎學(xué)生未來的發(fā)展.下面就知識的引入、知識的展開、性質(zhì)的探究過程和知識的鞏固進行具體的比較分析.

（1）知識的引入.

《數(shù)學(xué)》的前言部分：在現(xiàn)實生活中，有各種各樣的的數(shù)量問題.一個問題中常有處于變化狀態(tài)的多個數(shù)量，而且這些數(shù)量間相互聯(lián)系、相互影響.例如，在汽車勻速行駛過程中，如果車速v不變，那么行駛的路程s隨著行車時間t的變化而變化，關(guān)系式s=vt反映了路程隨時間變化而變化的規(guī)律.

函數(shù)是描述變化過程中的數(shù)量關(guān)系的工具，我們在本章將以研究數(shù)量問題為起點，以正比例函數(shù)與反比例函數(shù)為載體，學(xué)習(xí)函數(shù)的初步知識.

前言從生活中常見的例子引入，然后逐步導(dǎo)向與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的問題，引發(fā)學(xué)生思考，最后引出“本章將以研究數(shù)量問題為起點，以正比例函數(shù)與反比例函數(shù)為載體，學(xué)習(xí)函數(shù)的初步知識”.這樣設(shè)計，不僅使數(shù)學(xué)更加貼近生活，同時激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情和動力.

NSM的前言部分：一篇報紙文章指出，社交網(wǎng)絡(luò)成員數(shù)量的增長在其運營的第一年就顯著增加了.指數(shù)增長意味著什么？如何在圖表上表示這些信息？

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

在本章結(jié)尾處，您應(yīng)該能夠：_________________；

畫出冪函數(shù)y=axn的簡單圖形，其中n=3，2，1，0，-1和-2；

畫出指數(shù)函數(shù)y=ax的圖形，其中a是一個正整數(shù)；

通過繪制切線估計曲線的梯度；

解釋和分析數(shù)據(jù)表格和圖表，包括距離-時間和速度-時間圖.

前言也由實際問題引入，但其明確列舉出學(xué)習(xí)本章需要達到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生有的放矢，從而提高學(xué)習(xí)效率.可見，NSM引入的目的性更明確，使學(xué)生對學(xué)習(xí)方向的把握更準(zhǔn)確，從而學(xué)生學(xué)習(xí)效果更佳.

（2）知識的展開.

知識的展開環(huán)節(jié)中，《數(shù)學(xué)》由兩個問題導(dǎo)入，分別是問題1和問題2，且這兩個問題都是與變量之間的關(guān)系有關(guān).在這兩個問題研究的基礎(chǔ)上得到“反比例”，并通過例題展示進一步得到“如果兩個變量成反比例，那么其中一個變量是另一個變量的函數(shù)”，再基于前一節(jié)所學(xué)的正比例函數(shù)來研究一般意義下的反比例函數(shù)，從而給出反比例函數(shù)的概念及解析式y(tǒng)=k≠0），最后舉例分析.

而NSM的知識展開環(huán)節(jié)中設(shè)有的模塊包括“調(diào)查研究”“思考時間”“例題與詳解”“小組討論”“課堂練習(xí)”.其通過問題給出讓學(xué)生自我去調(diào)查研究、尋找答案，再給出結(jié)論.由此可見，NSM側(cè)重于學(xué)生自我探究能力的培養(yǎng).另外，安排小組討論，讓學(xué)生組建小團隊去探究并解決問題，這又體現(xiàn)了NSM具有團隊意識培養(yǎng)的思想理念.而這恰恰是我們學(xué)生所欠缺的一種品質(zhì)，且《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）里也寫到，“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，要體現(xiàn)社會發(fā)展的時代性.”［1］而當(dāng)今是一個倡導(dǎo)“合作共贏”的時代，為了與時俱進，響應(yīng)《課標(biāo)》的號召，我國教科書編寫的內(nèi)容也應(yīng)體現(xiàn)“團隊合作”的思想理念，以促使《課標(biāo)》真正地落實到教學(xué)中去，從而促進學(xué)生團隊意識的培養(yǎng).

（3）性質(zhì)的探究過程.

中、新兩種教科書在反比例函數(shù)性質(zhì)的探究方式上既有差異性又有共同性.差異性體現(xiàn)在《數(shù)學(xué)》倡導(dǎo)學(xué)生用列表、描點、連線畫函數(shù)圖像，NSM則提倡讓學(xué)生使用制圖軟件繪制不同的圖像.共同性體現(xiàn)在問題的思考上，都讓學(xué)生通過觀察法探究問題，從而得到結(jié)論.而在具體問題的設(shè)問方式上又有一定的差異性，例如，《數(shù)學(xué)》中給出以下幾個問題：兩個函數(shù)圖像位于哪幾個象限？每一個象限內(nèi)，函數(shù)圖像上的坐標(biāo)是如何變化的？圖像每支無限延伸，會與坐標(biāo)軸相交嗎？NSM則讓學(xué)生討論常數(shù)a＞0和a＜0時，圖像位于哪個象限？觀察圖形是否旋轉(zhuǎn)對稱以及是否會與兩坐標(biāo)軸相交？前者更綜合化，后者則更碎片化.

另外，《數(shù)學(xué)》在反比例函數(shù)的圖像上給出了3個操作性例題、2個想一想、1個思考及4個練習(xí)，而在反比例函數(shù)的性質(zhì)上列舉了2個例題和3個練習(xí)，可見《數(shù)學(xué)》用了大量的篇幅來講解反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，且講解的比較深入，但對圖像操作的要求較低.相比而言，NSM則相對簡單，首先讓學(xué)生用制圖軟件繪制一個反比例函數(shù)圖像，給出3個問題讓學(xué)生思考，從而得出有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)，接著給出相同類型的2個問題讓學(xué)生思考，并讓學(xué)生舉例分析，最后給出5個練習(xí).NSM中性質(zhì)應(yīng)用所占的篇幅不多，更側(cè)重圖形繪制，習(xí)題類型單一.

總之，《數(shù)學(xué)》更側(cè)重訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)整體性、系統(tǒng)性學(xué)習(xí)的能力，NSM則強調(diào)學(xué)生基礎(chǔ)性知識和信息技術(shù)整合運用能力的培養(yǎng).

（4）知識的鞏固.

NSM中在章節(jié)的最后一部分設(shè)置了相應(yīng)的習(xí)題，且分為幾個不同層次，比如有回顧練習(xí)、修訂練習(xí)等.NSM首先通過回顧練習(xí)環(huán)節(jié)中的習(xí)題來檢測學(xué)生對前面所學(xué)知識是否掌握，再通過修訂練習(xí)環(huán)節(jié)的習(xí)題來幫助學(xué)生對掌握不夠的知識進行補充.這樣一種查漏補缺的方式促進了學(xué)生對知識的理解，從而使學(xué)生打下扎實的基礎(chǔ).也正是基于這樣基礎(chǔ)下，新加坡在PISA的測試結(jié)果中取得優(yōu)異的成績.反之，《數(shù)學(xué)》在本章節(jié)后面并沒有單獨給出習(xí)題，而是設(shè)置了一個學(xué)生活動環(huán)節(jié)，安排學(xué)生在課外時間探討這個活動.這種設(shè)計雖然可以培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，但具有一定的難度.因此，對于大多數(shù)水平一般的學(xué)生來講都算難題，而且活動問題在很大程度上并沒有牢固學(xué)生的基礎(chǔ)知識.比如2015年P(guān)ISA的測試結(jié)果中中國的平均分是518，排名第十，而其中被測試的城市就有上海.相比之下，可看出上海教科書在某些環(huán)節(jié)的設(shè)置還是值得向新加坡學(xué)習(xí)的.

3.例題和習(xí)題設(shè)置的比較

本文擬從例題、習(xí)題的類型及對應(yīng)的數(shù)量兩個維度對兩種版本教科書的例題和習(xí)題設(shè)置進行比較分析，統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表2.

表2 兩種版本教材中“反比例函數(shù)”例題與習(xí)題類型及對應(yīng)的數(shù)量統(tǒng)計表

從表中可知，《數(shù)學(xué)》和NSM在函數(shù)圖像與性質(zhì)這個知識點上習(xí)題量最高，可見兩種版本教科書都重視函數(shù)圖像與性質(zhì)的知識點；但在求解析式和反比例函數(shù)這兩個知識點上兩者明顯不同，NSM在這兩個知識點都沒有設(shè)置對應(yīng)的習(xí)題.由此表明在此章節(jié)上我國教科書更注重綜合知識的應(yīng)用，而新加坡教科書則側(cè)重于基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能的訓(xùn)練.

而且NSM對例題的設(shè)置具有鮮明的特色，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是例題涉及的知識明確，目標(biāo)性強，每道例題旁邊都標(biāo)注有該題涉及的知識信息；二是例題的解題步驟清晰，有利于學(xué)生的模仿；三是小節(jié)后有同類型的習(xí)題，供學(xué)生鞏固練習(xí)，有利于促進學(xué)生對新知識的理解和運用.

例如，《數(shù)學(xué)》18.3“反比例函數(shù)”的例題與練習(xí)如下：

例題2 已知y是x的反比例函數(shù)，且當(dāng)x=2時，y=9.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)y=5時，求x的值.

練習(xí)18.3（1）

2.下列函數(shù)（其中x是自變量）中，哪些是反比例函數(shù)？哪些不是？為什么？

3.已知y是x的反比例函數(shù)，且當(dāng)x=4時，y=7時.

（1）寫出y關(guān)于x的解析式；

（2）當(dāng)x=5時，求y的值.

4.已知長方形的面積為20平方厘米，它的一邊長為x厘米，求這條邊的鄰邊長y（厘米）關(guān)于x（厘米）的函數(shù)解析式，并寫出這個函數(shù)的定義域.

以上三個習(xí)題從整體上看都用到了反比例函數(shù)概念的知識，但是細看并不屬于同類題.NSM中也有習(xí)題練習(xí)，但都在例題和解答后呈現(xiàn)，學(xué)生模仿習(xí)題即可解答.

用1厘米的刻度分別表示x軸上的一個單位和y軸上的5個單位，畫出y=-5≤x≤5，x≠0）的圖像.

（1）當(dāng)x=1.4時，求y的值；

（2）當(dāng)y=-8時，求x的值.

練習(xí)2 用1厘米的刻度表示x，y軸上的1個單位，繪制y=-5≤x≤5，x≠0）的圖像.

（1）當(dāng)x=2.5時，求y的值；（2）當(dāng)y=-1.2時，求x的值.

通過上面比較可以看出《數(shù)學(xué)》給出的問題比較宏觀，跨越度大，學(xué)生在學(xué)習(xí)上有一定的難度，強調(diào)訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合能力；而NSM給出的問題更常規(guī)化，只需讓學(xué)生演示解題步驟即可.反映出NSM對數(shù)學(xué)基本知識、基本技能的重視.

三、結(jié)論與啟示

1.研究結(jié)論

通過以上比較分析可知，在內(nèi)容呈現(xiàn)方面，《數(shù)學(xué)》和NSM在知識的引入上都由前言的生活情境切入，但NSM還明確列舉出學(xué)習(xí)本章需要達到的學(xué)習(xí)目標(biāo).且NSM在知識的展開環(huán)節(jié)中更注重團隊合作學(xué)習(xí).內(nèi)容設(shè)置方面，《數(shù)學(xué)》側(cè)重于掌握反比例函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)圖像與性質(zhì)，知識間的聯(lián)系更系統(tǒng)化、綜合化.NSM則側(cè)重于函數(shù)圖像的繪畫以及根據(jù)函數(shù)解析式求解兩個變量的值，并且，NSM提倡使用制圖軟件繪制函數(shù)圖像.在例題習(xí)題方面，《數(shù)學(xué)》的例習(xí)題比較宏觀，跨越度大，強調(diào)訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合能力；NSM的例習(xí)題則更常規(guī)化，只需讓學(xué)生演示解題步驟即可.

2.對我國教科書編寫的啟示

通過以上比較分析，發(fā)現(xiàn)我國教科書仍存在一些不足之處，而新加坡教科書在某些方面是值得我國借鑒學(xué)習(xí)的.

（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)明確.

目標(biāo)是指引學(xué)生學(xué)習(xí)的方向，明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以使學(xué)生抓住學(xué)習(xí)的重點和難點，有的放矢.《數(shù)學(xué)》前言部分雖然通過問題將學(xué)生帶入新課的學(xué)習(xí)中，但是并沒有明確指出學(xué)習(xí)目標(biāo).而NSM中的前言部分值得我們學(xué)習(xí)和借鑒，其設(shè)置在每章節(jié)最前面的目標(biāo)導(dǎo)引，不僅可以在學(xué)生學(xué)習(xí)完本章后對照目標(biāo)，查漏補缺，進行歸納，這對于學(xué)生初學(xué)和復(fù)習(xí)梳理都是非常有幫助的.

（2）堅持鞏固“雙基”，保持傳統(tǒng)優(yōu)勢.

新加坡教科書的大部分題目起點低，易于學(xué)生嘗試去解決.另外，新加坡教科書中的習(xí)題有一個特點，將一個復(fù)雜問題分解成若干小問題解決，教科書處理習(xí)題更加注重層次化、碎片化.且其例題對應(yīng)一種習(xí)題類型，便于學(xué)生的模仿，從而使學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握的更扎實.可見新加坡的數(shù)學(xué)課程更重視對基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能的熟練運用.而《數(shù)學(xué)》更注重習(xí)題的綜合化、模塊化，對學(xué)生綜合能力的要求相對較高，且例題對應(yīng)的習(xí)題類型也是多樣化，這使得學(xué)生在學(xué)習(xí)上有一定的困難.我國《課標(biāo)》也強調(diào)“雙基”，但是我們應(yīng)該在“雙基”的教學(xué)中，擯棄盲目的重復(fù)練習(xí)等無意義的機械操練，既重視教學(xué)的過程，也重視教學(xué)的結(jié)果，兩者相輔相成.所以新加坡教科書對于習(xí)題的處理方面值得中國教科書借鑒.

（3）提倡信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合.

《標(biāo)準(zhǔn)》在基本理念中指出：“現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容，以及學(xué)與教的方式產(chǎn)生了重大的影響.數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、有探索性的數(shù)學(xué)活動中去.”［1］而NSM以追求信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合為特色，在反比例函數(shù)這節(jié)中就倡導(dǎo)學(xué)生使用制圖軟件繪制函數(shù)圖像，這使得學(xué)生能更簡潔直觀地觀察函數(shù)圖像的變化形態(tài)，也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性提高，并且信息技術(shù)的使用突破了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在時間與空間上的限制，學(xué)生可通過互聯(lián)網(wǎng)隨時隨地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實踐.將信息技術(shù)融入課堂，可創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)個性化學(xué)習(xí).但如何將信息技術(shù)合理地應(yīng)用到學(xué)生的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該是我們目前關(guān)注的焦點，充分借鑒他國的成功經(jīng)驗，以期為我國的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合做出有效的改進.

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