尹曉麗

(山西大學商務學院 基礎(chǔ)教學部，太原 030006)

0 引言

觀測器是根據(jù)系統(tǒng)的輸出估計系統(tǒng)狀態(tài)的一類系統(tǒng)。上世紀60年代初期，為了對無法直接觀測的控制系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)反饋，文獻[1-4]提出狀態(tài)觀測器的概念和構(gòu)造方法，解決了狀態(tài)不能直接量測的問題。觀測器技術(shù)自提出以來，在控制工程的許多方面得到了實際應用，例如濾波[5]、擾動估計[6]、故障診斷[7]等。

為了降低觀測器的超調(diào)，一些學者試圖利用估計誤差的積分和導數(shù)信息改善觀測器性能：文獻[8]在觀測器設計中采用了誤差的比例積分反饋，改善了觀測器的性能；文獻[9]針對系統(tǒng)存在干擾情況，利用線性矩陣不等式設計了比例積分觀測器,在能量有界的外界干擾情況下,設計了具有干擾抑制的狀態(tài)觀測器,使得干擾對觀測器性能的影響被限制在一定范圍內(nèi)。以上文獻僅用到了誤差的比例和積分信息，未用到誤差的導數(shù)信息。文獻[10-11]利用廣義線性系統(tǒng)作為工具設計了一類PID觀測器，同時用到了誤差的比例，積分和微分信息，但設計過程較為復雜。針對觀測器的設計始終缺少一種像控制中的PID算法那樣能夠充分利用誤差的比例、積分和微分信息獲得比較滿意的性能和設計簡單的算法，本文提出的算法試圖彌補這一缺陷。

1 問題描述

本文考慮如下單輸入單輸出離散線性系統(tǒng)：

(1)

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，u∈R是系統(tǒng)控制輸入，yx∈R是系統(tǒng)量測輸出。

針對系統(tǒng)(1)，設計狀態(tài)觀測器如下：

(2)

其中，z∈Rn是觀測器的狀態(tài)向量，uo(k)是待設計的觀測器調(diào)節(jié)項。yz∈R是觀測器的輸出。

令e=x-z，ye(k)=yx(k)-yz(k)，由(2)和(1)，得到狀態(tài)估計誤差系統(tǒng)如下：

(3)

僅僅利用估計誤差設計uo(k)的觀測器面臨收斂快、超調(diào)嚴重的問題，必須在抑制超調(diào)和加快收斂速度之間尋求一個折中方案，這是該類觀測器性能無法突破的瓶頸。為了提高收斂速度，同時避免超調(diào)，我們必須利用更多的量測誤差信息。因此，利用量測估計誤差及其時滯信息，設計觀測器(2)的調(diào)節(jié)項為：

uo(k)=K1ye(k)+K2ye(k-1)+K3ye(k-2)

(4)

其中，Ki∈Rn×1(i=1,2,3)是待設計參數(shù)矩陣。(4)中ye(k)、ye(k-1)、ye(k-2)的不同線性組合可以近似反映累積誤差、當前誤差、誤差變化率以及誤差變化加速度，選取適當?shù)膮?shù)矩陣K1、K2、K3便可以充分利用誤差的比例、積分、微分信號，以達到在加快收斂速度的同時在一定程度上避免大的超調(diào)。

下面，對觀測器參數(shù)設計進行理論分析?，F(xiàn)將(4)帶入(3)，得：

(5)

(6)

則

(7)

本文的目的是為系統(tǒng)(1)設計狀態(tài)觀測器(2)，使得誤差系統(tǒng)(3) 漸近穩(wěn)定。該問題等價于設計參數(shù)矩陣K使得系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

2 算法設計

本節(jié)將分析具有觀測器反饋項(4)的系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定的條件，并給出(4)的一種簡單參數(shù)設計方法。

(8)

(9)

則系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

證明：構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)：

V(k)=ψT(k)Pψ(k)

(10)

其中，P是待確定的正定矩陣。

(11)

則離散系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定的充要條件是：存在矩陣P>0，使得:

(12)

利用矩陣運算的性質(zhì)可得：

?

(13)

則

因此，若線性矩陣不等式組(8)-(9)成立，即(13)成立，則存在矩陣P>0，使得(12)成立，即離散線性系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，證畢。

(14)

上述過程從理論上分析了觀測器設計方法的可行性。下面，提出一類簡單的參數(shù)設計方法，在實際使用中可以簡化參數(shù)的設計過程，無需進行復雜的數(shù)學計算，直接根據(jù)經(jīng)驗選取參數(shù)并適當調(diào)整，便可獲得滿意的觀測器估計效果。

(15)

其中α、β、γ都是標量，分別代表估計誤差比例項、積分項、微分項的權(quán)重。

設計估計誤差反饋增益

(16)

其中ki代表估計誤差反饋在觀測器不同通道上的增益，一般情況可以全部設置為1。將K的三個列向量作為Ki(i=1,2,3)帶入(4)，即得到系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器(2)。

3 仿真實驗

考慮以下線性系統(tǒng)：

(17)

其中，x∈R3表示狀態(tài)向量，u∈R表示控制信號，w表示擾動信號，y∈R為系統(tǒng)的輸出信號，這里將量測輸出信號設置為狀態(tài)向量的第2個分量，下面將利用觀測器對不能直接量測的第三個狀態(tài)變量進行估計。

系統(tǒng)(17)的參數(shù)配置如表1所示。

表1 系統(tǒng)(17)的參數(shù)配置 (Matlab代碼表示)

系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)全部設置為0，仿真運行時間區(qū)間為：k從0到300。控制器信號取為：

u=0

(18)

擾動信號取為：

(19)

基于在算法設計部分所提方法，可以設計觀測器(2)的待定參數(shù)矩陣，見表2，其中觀測器狀態(tài)變量的初始值均設置為0。我們將觀察擾動發(fā)生后觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計是否快速準確且超調(diào)很小。

表2 觀測器參數(shù)(Matlab代碼表示)

設系統(tǒng)(17)的3個狀態(tài)分量分別為x1、x2、x3，其中x2為系統(tǒng)量測輸出，x1和x3為不可量測的待估計信號。對信號x3進行估計。當擾動導致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化時，觀測器能對不可量測的狀態(tài)分量x3進行估計，并很快收斂到x3的真實軌跡。估計誤差過程中沒有發(fā)生明顯的超調(diào)。還可以根據(jù)(15)式所示的參數(shù)設計方法，適當調(diào)整參數(shù)α、β、γ的值以改變觀測器的收斂速度。該實驗充分說明了本文提出的參數(shù)設計方法是簡單有效，且完全可行的。

4 結(jié)論

本文針對單輸入單輸出離散線性系統(tǒng)給出了一種新的系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設計方法，并從理論上證明了該方法的可行性。同時介紹了一種簡單實用的參數(shù)設計辦法。仿真結(jié)果表明，該觀測器對于系統(tǒng)任意設定的初始狀態(tài)，能以微小的超調(diào)很快達到收斂。該觀測器設計方法可用于改進基于觀測器輸出對被控對象進行控制的控制算法，將具有比較廣闊的應用場景。

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