馮雪峰， 尹繼東

(西南交通大學 數(shù)學學院，成都 611756)

加速壽命試驗(Accelerated life test，ALT)是在進行合理的工程及統(tǒng)計假設的基礎上，利用與物理失效規(guī)律相關的統(tǒng)計模型，通過提高試驗應力來使產(chǎn)品加速失效，再利用加速模型來外推產(chǎn)品在正常應力水平下的各種可靠性指標的一種壽命試驗方法.采用ALT技術可實現(xiàn)對高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性水平的快速評定，它受到了國內外可靠性工作人員的高度重視，并在機械電子，武器裝備及航空航天等領域得到了廣泛應用[1-3].ALT包括恒定應力ALT(簡稱恒加試驗)，步進應力ALT(簡稱步加試驗)和序進應力ALT(簡稱序加試驗).

目前，ALT的研究主要集中在加速模型，ALT數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析以及ALT的優(yōu)化設計方面.在加速模型方面，典型的加速模型有逆冪律(Inverse power)模型，Coffin-Manson模型等.逆冪律模型描述了諸如電壓或壓力這樣的應力與產(chǎn)品壽命之間的關系[4].在ALT數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方面，王炳興等(2002)[5]基于恒加速試驗數(shù)據(jù)研究了Weibull分布下可靠度的漸近無偏估計及漸近置信區(qū)間；Watkins(2008)[6]基于Weibull分布的恒加試驗數(shù)據(jù)提出了一種簡化的極大似然估計方法，研究表明簡化的極大似然估計方法提高了計算效率和模型參數(shù)估計值的穩(wěn)健性；鄭光玉等(2013)[7]在兩參數(shù)廣義指數(shù)分布下研究了自適應逐步Ⅱ型混合截尾恒加試驗的統(tǒng)計分析方法.在ALT的優(yōu)化設計方面，錢萍(2009)[8]提出了航天電連接器綜合應力加速壽命試驗優(yōu)化方案，優(yōu)化方案大大減少了試驗次數(shù)，提高了試驗數(shù)據(jù)的估計精度；陳文華等(2010)[9]以正常應力下產(chǎn)品中位壽命估計值的方差最小化為準則，利用極大似然估計理論和累積失效模型，提出了步加試驗的優(yōu)化方案；李新翼等(2013)[10]建立了廣義指數(shù)分布定時截尾簡單步加試驗的數(shù)學模型，以正常應力水平下一段時間內可靠度估計值的漸進方差最小為準則，研究了試驗的最優(yōu)設計方案等.

在ALT中，恒加試驗的優(yōu)點是統(tǒng)計精度高，理論和方法成熟.常用的Weibull分布的參數(shù)估計方法有極大似然估計(MLE)，最小二乘估計和矩估計法，MLE和LSM相比較而言，雖然用MLE法得到的模型參數(shù)的均方誤差最小，但通常需要采用數(shù)值計算來求解模型參數(shù)的估計值；而LSM的原理簡單且計算復雜度小，在大多數(shù)場合都能得到廣泛的應用.因此，以某型變壓器恒加試驗數(shù)據(jù)為研究對象，采用LSM估計逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型的未知參數(shù)，并利用加速模型對正常應力水平下的各種可靠性指標進行統(tǒng)計推斷.

1 逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型

變壓器在工作期間，電壓是影響其可靠性的最主要因素[4].在電應力作用下，變壓器的壽命T服從雙參數(shù)Weibull分布，其累積分布函數(shù)為

(1)

式(1)中：m>0為形狀參數(shù)，η>0為特征壽命或尺度參數(shù).

逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型假設如下：

A1在電應力水平Si下，產(chǎn)品的壽命服從雙參數(shù)Weibull分布W(mi，ηi)，mi>0和ηi>0 (i=0，1，…，k)分別為應力水平Si下的形狀參數(shù)和特征壽命.

A2在各電壓應力水平Si下，Weibull分布的形狀參數(shù)m是保持不變，即產(chǎn)品的失效機理保持不變.

A3產(chǎn)品的特征壽命ηi與電應力水平Si間滿足對數(shù)線性加速模型：

lnηi=β0+β1·φ(Si)，i=0，1，…，k

(2)

式(2)中：φ(Si)=lnVi，β0，β1為待估參數(shù)；Si是電壓應力水平.

上述假設是否成立，獲取試驗觀測數(shù)據(jù)后都可以進行檢驗.檢驗方法分別可采用： 范·蒙特福特檢驗法，巴特利特檢驗法和相關系數(shù)檢驗法[11].

2 逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型的假設檢驗

2.1 威布爾分布的假設檢驗

在對各電壓應力Si下的壽命數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析之前，首先要檢驗樣本數(shù)據(jù)是否服從Weibull分布.假設產(chǎn)品的壽命分布為F(t)，則要檢驗假設：

H0：F(t)=F0(t；m，η)=1-exp{-(t/η)m}

基于截尾(定時或定數(shù))樣本數(shù)據(jù)t1≤t2≤…≤tr，采用范·蒙特福特檢驗法[11]來檢驗假設H0是否成立.令

則xi和Zi分別是來自極值分布和標準極值分布的第i個次序統(tǒng)計量，i=1，2，…，r，其中μ=lnη，σ=1/m為未知參數(shù).范·蒙特福特提出統(tǒng)計量：

并證明了在H0成立下，諸Gi漸近獨立且服從標準指數(shù)分布.把Gi均分為兩組，則統(tǒng)計量：

在H0成立下的條件下，漸近服從第一自由度為2(r-r′-1)和第二自由度為2r′的F分布，其中r′=[r/2].對于給定的顯著性水平α，如果

F

F>F1-α/2(2(r-r′-1)，2r′).

則認為H0不成立，否則可認為該截尾樣本來自Weibull分布，其中Fα(f1，f2)是第一自由度為f1，第二自由度為f2的F分布的α分位數(shù).

2.2 形狀參數(shù)不變的假設檢驗

威布爾分布W(mi，ηi)中的形狀參數(shù)mi不變的檢驗可采用巴特利特檢驗法[11]，首先提出假設：

H0：m1=m2=…=mk

根據(jù)巴特利特檢驗統(tǒng)計量的構造，記

2.3 對數(shù)線性加速模型的假設檢驗

試驗應力水平Si與特征壽命ηi間是否滿足對數(shù)線性關系，即對數(shù)電壓lnφi與對數(shù)特征壽命lnηi間是否存在線性關系：

這需要進行檢驗.通常采用相關系數(shù)檢驗法來度量變量間是否存在線性關系及線性關系程度的強弱.首先計算樣本相關系數(shù)：

(3)

在顯著性水平α下，若|r|>rα成立，則認為樣本中φi與yi相關，這意味著選取的對數(shù)線性加速模型可用；若|r|≤rα成立，則認為樣本中φi與yi不相關，這意味著選取的對數(shù)線性方程不能刻畫特征壽命與試驗應力間的關系.

3 逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型的參數(shù)估計

3.1 威布爾分布的參數(shù)估計

對于Weibull分布，恒加試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法有： 最小二乘估計(LSM)，基于次序統(tǒng)計量各類線性估計，極大似然估計(MLE)和圖估計等.LSM具有方法簡單和計算容易的優(yōu)點，因此得到廣泛應用.

若產(chǎn)品的壽命T服從雙參數(shù)Weibull分布，對式(1)兩邊進行兩次對數(shù)變換可得：

ln[-ln(1-FT(t))]=mlnt-mlnη

(4)

若記

(5)

則方程(4)可化為線性方程：

y=mx+b

(6)

式(6)中：b=-μ/σ，μ=lnη，σ=1/m.

利用應力水平Si下的壽命試驗數(shù)據(jù)ti1ti2…tiri，累積失效概率Fi(tij)可用中位秩公式(7)進行計算：

(7)

從而獲得試驗數(shù)據(jù)：

(tij，F(xiàn)i(tij))，j=1，2，…，ri

(8)

根據(jù)式(5)，恒加試驗數(shù)據(jù)就可以轉化到新的坐標系(x，y)下，即式(8)轉化為

(lntij，ln[-ln(1-Fi(tij))])=(xij，yij)

(9)

采用LSM擬合式(9)的試驗數(shù)據(jù)[12]，擬合直線的系數(shù)bi和mi的最小二乘估計值為

(10)

(11)

(12)

3.2 加速模型中β0和β1的估計

設x=φ(S)，y=lnη，則線性回歸模型為

y=β0+β1x+ε

(13)

(14)

相應的回歸方程為

(15)

4 試驗數(shù)據(jù)的可靠性統(tǒng)計分析

為獲得某型變壓器在正常電應力水平15.8 KV下的p分位數(shù)壽命tp和可靠度為R的可靠壽命tR，0的估計，對型變壓器進行3個應力水平的恒加試驗，獲得試驗數(shù)據(jù)如表1所示.現(xiàn)基于表1列舉的恒加試驗數(shù)據(jù)來對型變壓器進行可靠性統(tǒng)計分析.采用的統(tǒng)計分析軟件為R軟件[13].

表1 恒定應力加速壽命試驗數(shù)據(jù)Table 1 Data of constant-stress accelerated life test

4.1 逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型的檢驗

采用范·蒙特福特檢驗法對表1的恒加試驗數(shù)據(jù)進行Weibull分布的假設檢驗，其檢驗結果如表2所示.

表2 Weibull分布擬合優(yōu)度檢驗結果Table 2 Goodness of fit test results for Weibull distribution

在顯著性水平α=0.1下，F(xiàn)0.95(6，8)=3.58，F(xiàn)0.05(6，8)=0.24，顯然1.365，1.371，0.689介于F0.05(6，8)和F0.95(6，8)之間，因此可以接受原假設H0，即可以認為這批變壓器的壽命服從雙參數(shù)Weibull分布.

4.2 威布爾分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的估計

圖1 分布直線擬合結果Fig.1 Fitting results of distribution line表3 應力水平Si下mi和ηi的最小二乘估計Table 3 Least squares estimators of miand ηi under stress levels Si

電壓水平/KV^mib^i^ηi=exp(-b^i/^mi)35.41.203-6.544229.98242.42.018-6.66027.13946.71.843-4.94314.621

4.3 加速模型的估計

利用式(3)可計算出φ(S)與mη間的相關系數(shù)r=-0.991.在α=0.01顯著性水平下，由于|r|=0.991>0.834 3=R0.01，故可認為假設A3成立.另外，對數(shù)特征壽命關于對數(shù)電壓的散點圖也表明lnηi與φ(Si)高度線性相關，其散點圖如圖2所示.

上述檢驗表明lnηi與φ(Si)高度線性相關，因此采用最小二乘估計法來估計加速模型中的系數(shù)β0與β1，其估計結果如表4所示.

圖2 對數(shù)特征壽命關于對數(shù)電壓的散點圖Fig.2 The scatter diagram of log-characteristicvoltage for log-characteristic life表4 加速模型系數(shù)的估計值Table 4 The estimators of coefficients foracceleration model

加速模型系數(shù)β^0β^1加速模型系數(shù)估計值41.701-10.189

得到加速模型參數(shù)估計值后即可獲得加速模型：

(16)

4.4 正常應力水平下可靠性指標的估計

正常應力水平S0下Weibull分布參數(shù)的估計為

正常應力水平S0下相應的可靠性指標估計結果如表5所示.

表5 正常應力水平下可靠性指標估計Table 5 Estimation of reliability indexes atnormal stress level

正常應力水平S0下可靠度函數(shù)為

R(t)=exp{-(t/5 344.545)1.689}

(17)

其相應的可靠度曲線如圖3所示.

圖3 正常應力水平下可靠度曲線Fig.3 Reliability curve at the normal stress level

5 結 論

采用恒加試驗方法，建立逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型來實現(xiàn)高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性地快速評估，并利用最小二乘估計法對某型變壓器在3個加速應力水平下的恒加試驗數(shù)據(jù)進行可靠性統(tǒng)計分析，得結論：

(1) 不同電壓水平下Weibull分布具有共同的形狀參數(shù)，表明在不同電壓應力水平下變壓器的失效機理不變的假定是合理的.

(2) Weibull分布的對數(shù)特征壽命與對數(shù)電壓間呈高度線性相關關系，其相關系數(shù)的絕對值為|r|=0.991，即Weibull分布的特征壽命與電壓滿足對數(shù)線性加速模型.

(3) 得出了正常應力水平S0下Weibull分布的平均壽命，可靠度為0.8的可靠壽命t0.8，0，p(0.25，0.5，0.75)分位壽命的點估計，從相應的可靠度曲線圖可對變壓器的可靠壽命進行大致估計.

在快速評估高可靠度長壽命產(chǎn)品的可靠性研究方面，盡管取得了一些初步成果，但還存在不足，未來的研究工作可以從兩個方面考慮：

一是為提高模型參數(shù)的估計精度，有必要考慮使用極大似然估計或貝葉斯估計法估計逆冪律-Weibull統(tǒng)計模型的未知參數(shù).

二是僅考慮單應力恒加試驗，然而產(chǎn)品的失效很可能是多種應力共同作用的結果；因此為提高高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性評估的精準度，有必要考慮綜合應力加速壽命試驗方法.

[1] LEVADA S，MENEGHINI M，MENEGHESSO G，et al.Analysis of DC Current Accelerated Life Tests of Ganleds Using a Weibull-based Statistical Model[J].IEEE Trans-actions on Device and Materials Reliability，2005，5(4)： 688-693

[2] 劉志全，李新立，遇今.長壽命航天器機構的加速壽命試驗方法[J].中國空間科學技術，2008，28(4)： 65-71

LIU Z Q，LI X L，YU J.Methods of Accelerated Life Tests for Long-life Spacecraft Mechanisms[J].Chinese Space Science and Technology，2008，28(4)： 65-71

[3] 陳東生，宋永剛，徐強.基于工程可靠性分析的陀螺電機加速壽命試驗設計[J].導彈與航天運載技術，2005 (6)： 38-41

CHEN D S，SONG Y G，XU Q.Gyro Motor Accelerated Life Test Design Based on Engineering Reliability Analysis[J].Missiles and Space Vehicles，2005 (6)： 38-41

[4] NELSON W B.Statistical Models，Test Plans and Data Analysis[J].John Wiley & Sons，2009(2)：397-399

[5] 王炳興.Weibull分布基于恒加壽命試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[J].應用概率統(tǒng)計，2002，18(4)： 413-418

WANG B X.Statistical Analysis for the Weibull Distri-bution Based on Constant Stress Accelerated Life Test Data[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2002，18(4)： 413-418

[6] WATKINS A J，JOHN A M.On Constant Stress Acce-lerated Life Tests Terminated by Type II Censoring at One of the Sress Levels[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2008，38(3)： 768-786

[7] 鄭光玉，師義民.自適應逐步Ⅱ型混合截尾恒加壽命試驗下廣義指數(shù)分布的統(tǒng)計分析[J].應用概率統(tǒng)計，2013，29(4)： 363-380

ZHENG G Y，SHI Y M.Statistical Analysis in Constant-Stress Accelerated Life Tests for Generalized Exponential Distribution Based on Adaptive Type-II Progressive Hybrid Censored Data[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2013，29(4)： 363-380

[8] 錢萍.航天電連接器綜合應力加速壽命試驗與統(tǒng)計分析的研究[D].杭州：浙江大學，2010

QIAN P.Research on Multiple Stress Accelerated Life Test and Statistical Analysis of Aerospace Electrical Connectors[D].Hangzhou：Zhejiang University，2010

[9] 陳文華，劉俊俊，潘駿，等.步進應力加速壽命試驗方案優(yōu)化設計理論與方法[J].機械工程學報，2010 (10)： 182-187

CHEN W H，LIU J J，PAN J，et al.Theory and Method for Optimum Design of Accelerated Life Test Plan under Step-stress[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010 (10)： 182-187

[10] 李新翼，鄭海鷹.廣義指數(shù)分布場合下簡單步進應力加速壽命試驗的最優(yōu)設計[J].溫州大學學報(自然科學版)，2013，34(4)： 12-17

LI X Y，ZHENG H Y.The Optimal Design for the Acce-lerated Life Tests of Simple Step-stress under Generalized Exponential Distributions[J].Journal of Wenzhou University (Natural Science Edition)，2013，34(4)： 12-17

[11] 茆詩松，王玲玲.加速壽命試驗[M].北京： 科學出版社，2000

MAO S S，WANG L L.Accelerated Life Tests[M].Beijing： Science Press，2000

[12] 姜同敏.可靠性與壽命試驗[M].北京： 國防工業(yè)出版社，2012

JIANG T M.Reliability and Life Tests[M].Beijing： National Defend Industy Press，2012

[13] 趙宜平，趙培信.R 統(tǒng)計軟件在統(tǒng)計教學中的應用[J].重慶工商大學學報(自然科學版)，2013，30(3)： 74-76

ZHAO Y P，ZHAO P X.Application of R Statistics Software to Statistics Teaching[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition)，2013，30(3)： 74-76