王凡彬

（1.內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641110；2.四川省數(shù)據(jù)恢復(fù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川內(nèi)江 641110）

眾所周知，復(fù)變函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)分為3類：可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)，本質(zhì)奇點(diǎn)。一般來說，可去奇點(diǎn)較易求得。如果z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，而a≠∞，為復(fù)常數(shù)，則z0就是f(z)的可去奇點(diǎn)。但是極點(diǎn)、本質(zhì)奇點(diǎn)的求得就較為困難?，F(xiàn)行的教材〔1〕也給出了一些方法，但在具體的求解過程中，往往比較麻煩。已有學(xué)者對(duì)求復(fù)函數(shù)的極點(diǎn)及其階數(shù)的新方法進(jìn)行了探討，得到了相關(guān)的一些結(jié)果〔2-6〕；而對(duì)求復(fù)函數(shù)的本質(zhì)奇點(diǎn)新方法的探討，并不多見，甚至可以說是一個(gè)空白。筆者通過研究復(fù)函數(shù)極點(diǎn)、本質(zhì)奇點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，得出了求f(z)的極點(diǎn)及其階數(shù)，求其本質(zhì)奇點(diǎn)的新方法。這些新方法較之現(xiàn)有的結(jié)果，更加方便、快捷。

1 求極點(diǎn)及其階數(shù)的新方法

定理1設(shè)f(z)=φ(z)±ψ(z)，并且z=z0(z0≠∞)是φ(z)的m階極點(diǎn)，而ψ(z)在z=z0解析，則z=z0也是f(z)的m階極點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦=z0是φ(z)的m階極點(diǎn)，則

令k(z)=h(z)±(z-z0)mψ(z)，顯然k(z)在z=z0解析，且

從而z=z0是f(z)的m階極點(diǎn)。

定 理 2設(shè)f(z)=φ(z)ψ(z),

其中h(z)在z=z0解析，且h(z0)≠0。則并且z=z0(z0≠∞)是φ(z)的m階極點(diǎn)，而ψ(z)在z=z0解析，且ψ(z0)≠0，則z=z0也是f(z),g(z)的m階極點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦=z0是φ(z)的m階極點(diǎn)，則

顯然，h(z)ψ(z)在z=z0解析，又由ψ(z0)≠0，知h(z0)ψ(z0)≠0,從而z=z0也是f(z)的m階極點(diǎn)。

其中h(z)在z=z0解析，且h(z0)≠0。則由已知條件知z)在 z=z0解析，且，由前面所證結(jié)果知z=z0也是g(z)的m階極點(diǎn)。

對(duì)z0=∞,也有相應(yīng)的結(jié)果。

定理3設(shè) f(z)=φ(z)±ψ(z),并且z0=∞是φ(z)的m階極點(diǎn)，而ψ(z)在z0=∞解析，即存在，則z0=∞也是f(z)的m階極點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦0=∞是φ(z)的m階極點(diǎn)，則其中h(z)在z0=∞解析，a為有限數(shù)，a≠0,那么

注意

故z0=∞是f(z)的m階極點(diǎn)。

定理4設(shè)并且z0=∞是φ(z)的 m 階 極 點(diǎn) ，而 ψ(z)在 z0=∞ 解 析 ，即=ψ(∞)=a存在，且a≠0，則 z0=∞也是 f(z),g(z)的m階極點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦0=∞是φ(z)的m階極點(diǎn)，則

其中h(z)在z0=∞解析h(z)=h(∞)=b，b為有限數(shù)，b≠0，則

根據(jù)條件，可 知 h(z)ψ(z)在 z0=∞ 解析，而，說明 z0=∞ 也是 f(z)的m階極點(diǎn)。

定理1，定理2，定理3，定理4的優(yōu)點(diǎn)在于，在滿足一定的條件下，我們可以只求出φ(z)的極點(diǎn)及其階數(shù)，就可以求出f(z)的極點(diǎn)及其階數(shù)，簡(jiǎn)化了工作過程，提高了效率。

2 求本質(zhì)奇點(diǎn)的新方法

定理5設(shè) f(z)=φ(z)±ψ(z)，并且z=z0(z0≠∞)是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，而 ψ(z)在 z=z0解析，則 z=z0也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦=z0是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，所以不存在。但ψ(z)在z=z0解析，所以存在。故不存在，這說明 z=z0也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

定理6設(shè)，并且 z=z0(z0≠∞)是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，而 ψ(z)在 z=z0解析，且ψ(z0)≠0，則z=z0也是 f(z)，g(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦=z0是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，所以不存在。而ψ(z)在z=z0解析，所以故不存在，所以 z=z0也是 f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

對(duì)z0=∞，我們也有如下相應(yīng)的結(jié)果。

定理7設(shè) f(z)=φ(z)±ψ(z)，并且z0=∞是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，而ψ(z)在z0=∞解析，ψ(∞)≠∞，則z0=∞也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦0=∞是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，所以不存在。而ψ(z)在z0=∞解析，所以存在。故不存在，所以z0=∞也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

定理 8設(shè)是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，而ψ(z)在z0=∞解析，且ψ(∞)=a≠0，a為有限數(shù)，則z0=∞也是f(z),g(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

證明：因?yàn)閦0=∞是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，則不存在。而ψ(z)在z0=∞解析，ψ(∞)=a≠0，則也不存在，即z0=∞也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

定理5，定理6，定理7，定理8的優(yōu)點(diǎn)在于，在滿足一定的條件下，我們可以只求出φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，就可以求出f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。拋掉了ψ(z)，“輕裝前進(jìn)”，提高了工作效率。

3 新方法的應(yīng)用

對(duì)于上述8個(gè)定理的優(yōu)越性，我們通過例題可以看得更清楚。

例 判斷下列函數(shù)的奇點(diǎn)及其類別（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）。

解：，故z=0為f(z)可去奇點(diǎn)。

對(duì)zk=2kπi,k=±1,±2,…,取ψ(z)在zk顯然是解析的。

根 據(jù) 定 理 1，zk=2kπi，k=±1，±2，…，就 是的一階極點(diǎn)。

而zk→∞(k→∞)，故∞為非孤立奇點(diǎn)。

對(duì)z=0，取ψ(z)=ez。ψ(z)在z=0解析，且ψ(0)=1≠0。

根據(jù)定理6，z=0也是的本質(zhì)奇點(diǎn)。

對(duì)z=∞，取ψ(z)在z=∞解析，且ψ(∞)=1。

取φ(z)=ez，

說明z=∞是φ(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

按定理8，z=∞是的本質(zhì)奇點(diǎn)。

（3）對(duì)z=0，sinz在z=0解析。而

z=0為的本質(zhì)奇點(diǎn)。根據(jù)定理5，z=0也是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

故z=∞為sinz的本質(zhì)奇點(diǎn)。根據(jù)定理7，z=∞是f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)。

上述例題如果不用新方法處理，而按教材的方法做的話，相當(dāng)繁雜。因此可見，新方法是值得推廣的。

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論〔M〕.4版.北京：高等教育出版社，2015.

〔2〕劉國(guó)忠.關(guān)于極點(diǎn)級(jí)數(shù)的判定及其留數(shù)計(jì)算的兩個(gè)問題〔J〕.北京師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1990，11（4）：80-84.

〔3〕王文琦.確定復(fù)雜復(fù)變函數(shù)極點(diǎn)階數(shù)的一種方法〔J〕.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，28（1）：19-20.

〔4〕申卯興.一類復(fù)變函數(shù)極點(diǎn)的判定〔J〕.工科數(shù)學(xué)，1992，2（8）：97-98.

〔5〕楊艷紅.復(fù)變函數(shù)零點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)探析〔J〕.甘肅聯(lián)合大