楊樹樹， 寧 勇， 董寧斐

(1.中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京 210007；2.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號處理是以奈奎斯特(Nyquist)采樣定理為基礎的，在該框架下，數(shù)字系統(tǒng)采樣速率必須達到模擬信號帶寬的2倍才能無失真地恢復原始模擬信號[1]。然而，隨著信息需求量的日益增加，信號帶寬越來越寬，信息獲取對采樣速率和處理速度提出了越來越高的要求，人們迫切需要去尋求新的數(shù)據(jù)采集和處理的方法。在這種情況下，針對具有稀疏特性信號的采樣和處理技術的壓縮感知(CS)[2-3]理論應運而生。

目前壓縮采樣系統(tǒng)主要有基于多陪集(MC)[4]的方法、基于調制寬帶轉換器(MWC)[5-7]的方法等，這些方法均采用多通道結構，在頻率支集未知的情況下能夠顯著降低采樣頻率，但是此系統(tǒng)硬件復雜，對通道間的幅相一致性要求較高，系統(tǒng)的穩(wěn)健性差。本文提出了一種基于周期非均勻采樣的多頻帶信號感知技術，它是一種基于單通道結構的壓縮采樣系統(tǒng)[8]，重點解決了上述方法實現(xiàn)時硬件復雜度高、設備要求高的問題。

1 周期非均勻壓縮采樣系統(tǒng)

1.1 理論采樣過程

yi[n]=x(nLTnyq+ciTnyq),1≤i≤p

(1)

以上周期非均勻采樣過程可用圖1表示。

由圖1可知，周期非均勻采樣系統(tǒng)可由p個起始點不同的采樣頻率為fnyq/L的A/D轉換器實現(xiàn)，圖2為周期非均勻采樣時序。

1.2 實際采樣模式

實際應用過程中，為了避免各通道的不一致性，圖1所描述的多通道采樣系統(tǒng)可通過一個由非均勻時鐘控制的A/D轉換器實現(xiàn)，則該采樣系統(tǒng)變?yōu)橐粋€單通道采樣系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3中的非均勻脈沖信號p(t)為周期性的，周期為LTnyq，每個周期內(nèi)包含p個脈沖，即進行p次采樣。一個周期非均勻脈沖信號在一個周期內(nèi)的波形如圖4所示。

圖4中脈沖信號的每個上升沿控制A/D轉換器的一次采樣，各上升沿對應的時間點應該分別為c1Tnyq,c2Tnyq,…,cpTnyq。

2 信號重構

完成對信號的周期非均勻采樣后，需要對數(shù)據(jù)進行信號重構，恢復出原始信號的奈奎斯特采樣序列。

2.1 信號加窗

周期非均勻采樣系統(tǒng)可以采樣得到任意長度的樣本序列，但重構算法在一段時間內(nèi)只能處理有限長的序列，因此，可以利用窗函數(shù)對采樣序列進行分段[9]。適當?shù)募哟疤幚砜梢杂行У胤乐惯吘壭?，并且可以避免頻譜泄露破壞信號頻域的稀疏性。為了完全重構出原信號，首先利用分析窗將接收到的無限長序列分段，經(jīng)過信號處理過程后，再通過綜合窗將各段信號拼接起來，恢復出原來的無限長信號。

為了描述整個分段加窗的處理過程，用y′表示周期非均勻采樣系統(tǒng)的采樣輸出序列，用x表示序列y′所對應的原始信號的奈奎斯特采樣序列。首先將序列y′插零，將相對于奈奎斯特率采樣而言的周期非均勻采樣未采到的位置均補零，得到奈奎斯特速率的序列y。將序列y分段，各段長度為N(N/L為偶數(shù))，重疊率為50%，并將各段序列與分析窗函數(shù)w1相乘，則得到的第j(j=0,1,…)段序列為：

yj(i)=w1(i)y(i+jN/2),i=0,1,…,N-1

(2)

由于加窗后yj中補零的位置依然為0，因此實際處理過程中無需對序列y′插零。直接將y′按長度M=pN/L進行重疊率為50%的分段，并將分段后序列中的各元素分別與w1中對應位置的窗函數(shù)元素相乘，可得到序列yj，則yj中的元素為序列yj中所有的非補零位置的元素。因此，yj可以理解為對分段加窗信號xj(i)=w1(i)x(i+jN/2)進行周期非均勻采樣的結果。

分析可知，除去最初的N/2個樣本點和最后的N/2個樣本點，x(k)中的其他樣本點都被映射到xj中的兩個位置：第「|2k/N?-1段序列的第kmod(N/2)+N/2個點，第「|2k/N?段序列的第kmod(N/2)個點。

(3)

式中，i∈0,1,…,N-1，j為整數(shù)。由式(3)可知，為保證信號的完全重構，窗函數(shù)w1、w2需滿足：

w1(i)w2(i)+w1(i+N/2)w2(i+N/2)=1

(4)

式中，i=0,1,…,N/2-1。

2.2 重構過程

將周期非均勻采樣系統(tǒng)的輸出序列y′[n]分為p組新序列yi[n]=y′[np+i-1]，其中1≤i≤p，n=0,1,2,…，則yi[n]=x(nLTnyq+ciTnyq)，其速率為fp=fnyq/L。序列yi[n]的離散時間傅里葉變換可表示為：

exp(j2πfciTnyq),f∈Fp

(5)

式中，Tp=1/fp，F(xiàn)p=-fp/2,fp/2。

(6)

將式(6)表示為矩陣形式，可得：

(7)

Aik=1/Lexp(j2πci(k-1-L/2)/L)

(8)

向量z(f)是L×1維未知向量，其第i個元素為：

zi(f)=X(f+(i-L/2-1)fp)

(9)

將式(7)轉換為時域形式，有：

(10)

頻帶個數(shù)為N的多頻帶信號所對應向量z(f)的聯(lián)合稀疏度K滿足K≤2N。向量z(f)的聯(lián)合支撐集S=suppz(f)可以利用一種連續(xù)-有限(CTF)模塊進行估計，其框架如圖5所示。

令：

(11)

用CTF模塊估計出支撐S后，可求出：

(12)

zi[n]=0,i?S

(13)

(14)

3 仿真實驗

3.1 系統(tǒng)重構成功率

設計一個多頻帶信號周期非均勻采樣系統(tǒng)，參數(shù)設計為：L=256，p=32。ci在[0,L-1]中隨機選取，實驗過程中，假設A/D轉換器的實際有效位數(shù)為13位。

選用由三個符號速率為fd=100 kHz的QPSK信號組成的多頻帶信號進行實驗，分析輸入信號的信噪比對系統(tǒng)重構成功率的影響。

由圖6可知，對于輸入信號的能量系數(shù)為Ei=1,10,106的情況，最小信號與白噪聲之間信噪比為5dB時，最小信號的重構成功率已達到90%以上。而對于輸入信號的能量系數(shù)為Ei=1,10,107的情況，即使輸入信噪比增高，系統(tǒng)重構成功率也保持在93.5%左右不再提高，這是由有效數(shù)字為13位的A/D轉換器引起的量化噪聲導致的。

3.2 系統(tǒng)重構精度仿真

選用由正弦信號，符號速率均為fd=200 kHz的QPSK信號和BPSK信號三個子信號組成的多頻帶信號進行實驗，分析輸入信號的信噪比與重構信號精度的關系。

(15)

3.3 壓縮比對系統(tǒng)性能的影響

定義周期非均勻采樣系統(tǒng)壓縮采樣的壓縮比為β=L/p，因此參數(shù)L=256保持不變，通過改變參數(shù)p改變系統(tǒng)的壓縮比β。

4 結束語

本文介紹了周期非均勻壓縮采樣工作原理，提出了一種基于單通道結構的壓縮采樣系統(tǒng)，對該系統(tǒng)進行了仿真實驗以及性能分析，相對于傳統(tǒng)的多通道壓縮采樣系統(tǒng)而言，該系統(tǒng)能克服傳統(tǒng)多通道壓縮采樣系統(tǒng)硬件復雜度高、設備要求高的問題，易于工程實現(xiàn)?！?/p>

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