馮曉東 張佳丹 周倩倩

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000)

0 引言

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種輕質(zhì)、網(wǎng)狀、智能的空間結(jié)構(gòu)體系，這類結(jié)構(gòu)一般由若干個受壓的桿元和受拉的索元組成.根據(jù)桿元接觸與否可將張拉整體結(jié)構(gòu)分為兩類:一類張拉整體結(jié)構(gòu)(桿元不接觸)和二類張拉整體結(jié)構(gòu)(桿元接觸).在任何外力作用之前,由于受拉索元中自應(yīng)力的存在(包括重力)，使得整個結(jié)構(gòu)體系能夠保持自平衡狀態(tài).正是由于這類智能結(jié)構(gòu)存在的一系列潛在優(yōu)點(剛度可協(xié)調(diào)性、主動阻尼共振、形態(tài)可控性)，自20世紀(jì)50年代后，“張拉整體”的概念已經(jīng)深入貫穿于整個科學(xué)和工程領(lǐng)域，包括建筑、土木、航空航天、智能機(jī)器人、生物等學(xué)科.眾所周知，在生物力學(xué)領(lǐng)域，張拉整體模型已被視為研究細(xì)胞骨架力學(xué)特性的合適模型[1-2].如圖1所示的細(xì)胞骨架，實際上是由三種不同的聚合物纖維組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu):微絲(受拉)、微管(受壓)和中間絲(連接微絲和微管).然而由于這些纖維網(wǎng)絡(luò)的幾何和拓?fù)湫螒B(tài)極為復(fù)雜，導(dǎo)致目前現(xiàn)有的張拉整體模型[3-4]不能很好地解決所有問題.因此，在尋找和設(shè)計復(fù)雜的、非對稱的以及自由形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)體系方面，仍有大量工作可以深入研究.

在過去的半個多世紀(jì)，已經(jīng)有不少學(xué)者把注意力集中在張拉整體結(jié)構(gòu)找形上，其中包括對規(guī)則和不規(guī)則張拉整體結(jié)構(gòu)找形的研究.目前，對于此類研究主要有:力密度法，用于張力結(jié)構(gòu)找形及應(yīng)用[5];動力松弛法的提出及非線性問題的解決[6];改進(jìn)的力密度數(shù)值找形計算方法[7-9];利用有限單元法解決結(jié)構(gòu)找形問題[10-11];遺傳算法在張拉整體結(jié)構(gòu)找形中的應(yīng)用[12];自應(yīng)力多模態(tài)下數(shù)值找形方法[13-15];利用平衡方程和幾何相容方程的結(jié)合解決找形問題[16].

微絲 微管 中間絲圖1 一個活細(xì)胞細(xì)胞骨架的聚合物網(wǎng)絡(luò)[1]

大部分現(xiàn)有的找形方法都必須事先假定一系列繁瑣的條件.例如，將力密度系數(shù)作為符號變量[17];為簡化找形步驟假定結(jié)構(gòu)的整體對稱性[18];在動力松弛法中，事先假定若干個單元的長度[6，17].事實上，這些信息在找形之前并不都是那么容易確定的.因此，這類方法對于解決復(fù)雜的、非對稱的張拉整體結(jié)構(gòu)的找形仍很困難. 本文提出了一種新穎的數(shù)值分析方法，目的在于解決一類和二類張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問題.它是將結(jié)構(gòu)體系的力密度矩陣和平衡矩陣分別采用譜分解和奇異值分解后進(jìn)行雙向循環(huán)迭代，最后根據(jù)力密度矩陣和平衡矩陣的最小秩虧條件，求出滿足要求的節(jié)點坐標(biāo)和力密度，通過相當(dāng)小數(shù)量的迭代即可獲得任意穩(wěn)定態(tài)(切線剛度矩陣為正定矩陣)或超穩(wěn)定態(tài)(幾何剛度矩陣為正定矩陣)張拉整體結(jié)構(gòu)的自由形態(tài).目前其他已有的找形方法，需要事先嚴(yán)格定義或假定張拉整體結(jié)構(gòu)的初始節(jié)點坐標(biāo)、單元長度、材料特性、幾何對稱性以及力密度矩陣的半正定性等一系列條件，而文本所呈現(xiàn)的方法不需要這些繁瑣的假定，只需要確定結(jié)構(gòu)的空間維數(shù)、單元類型以及節(jié)點間的幾何拓?fù)潢P(guān)系(節(jié)點和單元的關(guān)聯(lián)性)，這也正是本文相比于其他找形方法的優(yōu)勢所在.

1 力密度找形法及相應(yīng)的秩虧條件

1.1 基本假定

眾所周知，張拉整體結(jié)構(gòu)的找形過程與索網(wǎng)結(jié)構(gòu)非常類似，這是因為它們都具有相同的基本假定(最后兩個只適用于張拉整體結(jié)構(gòu))，如下列出:

a.結(jié)構(gòu)的幾何拓?fù)潢P(guān)系已知，并且結(jié)構(gòu)的幾何形狀只能通過相應(yīng)的節(jié)點坐標(biāo)來確定；

b.單元之間均為鉸接；

c.不考慮外力作用并且忽略結(jié)構(gòu)自重；

d.不考慮局部或整體彎曲變形；

e.沒有耗散力作用于結(jié)構(gòu)體系.

1.2 張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡方程

對于一個有b個單元、n個自由節(jié)點、nf個固定節(jié)點的d維張拉整體結(jié)構(gòu)(d=2或3)，它的幾何拓?fù)潢P(guān)系可以用關(guān)聯(lián)矩陣CS∈Rb×(n+nf)表示[19-20].假定連接單元k兩端的節(jié)點號分別為i和j(i

(1)

由于固定節(jié)點在數(shù)字標(biāo)記順序上可優(yōu)先于自由節(jié)點，因此可將關(guān)聯(lián)矩陣CS分為如下兩部分：

(2)

式中:C∈Rb×n為自由節(jié)點與單元之間的關(guān)聯(lián)矩陣；Cf∈Rb×nf為固定節(jié)點與單元之間的關(guān)聯(lián)矩陣.

令x，y，z(∈Rn)和xf，yf，zf(∈Rnf)分別代表自由節(jié)點和固定節(jié)點在x-，y-和z-方向的節(jié)點坐標(biāo)向量.并且定義q={q1，q2，…，qb}T∈Rb為力密度系數(shù)矩陣，其中每個組成部分為該單元的力fk和單元長度lk的比值，qk=fk/lk(k=1，2,…,b).因此，整個結(jié)構(gòu)體系的力密度矩陣Q∈Rb×b可以寫成如下形式：

Q=diag(q).

(3)

由此鉸接結(jié)構(gòu)所有自由節(jié)點在每個方向上的平衡方程組可以寫成如下形式：

CTQCx+CTQCfxf=px；

(4.1)

CTQCy+CTQCfyf=py；

(4.2)

CTQCz+CTQCfzf=pz.

(4.3)

式中:px，py，pz(∈Rn)分別代表x-，y-和z-方向作用在自由節(jié)點上的外力向量.

為簡化方程，定義矩陣E∈Rn×n和Ef∈Rn×nf如下：

E=CTQC；

(5.1)

Ef=CTQCf.

(5.2)

由式(5.1)可知，對于任意一個張拉整體結(jié)構(gòu)，矩陣E總是一個對稱的奇異方陣，這是因為矩陣任意一列或行的元素之和都等于0[19].

考慮張拉整體結(jié)構(gòu)本身的特性(無固定節(jié)點)，并且在忽略外力和自重的情況下，整個結(jié)構(gòu)體系可以被看作為一個空間自由體系，它的幾何形狀可由相應(yīng)的節(jié)點坐標(biāo)確定.因此，式(4.1)～式(5.2)可以寫成如下形式：

Ex=0；

(6.1)

Ey=0；

(6.2)

Ez=0.

(6.3)

為簡化起見，可將式(6.1)～(6.3)合并整合為

(7)

將式(5.1)代入式(6.1)～式(6.3)，合并可得張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡方程：

(8)

式中:A∈Rdn×b為張拉整體結(jié)構(gòu)的平衡矩陣.

1.3 兩個必要的秩虧條件

由上述可知，矩陣E和A分別代表了張拉整體結(jié)構(gòu)的力密度矩陣和平衡矩陣.因此，對于一個存在自應(yīng)力的d維張拉整體結(jié)構(gòu)，必須滿足兩個必要但不充分的秩虧條件[19].

第一個秩虧條件是關(guān)于半正定矩陣E，如下：

nE=n-rE=n-rank(E)≥d+1.

(9)

式中nE為矩陣E的秩虧.

第二個秩虧條件是關(guān)于平衡矩陣A，同時也是式(8)無解的必要條件，如下：

s=rA=rank(A)

(10)

這個秩虧條件能夠保證結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s=b-rA≥1.獨立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)為m=dn-rA.[21]值得注意的是，由于張拉整體結(jié)構(gòu)是自平衡體系，因此結(jié)構(gòu)的獨立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)包括剛體位移模態(tài)數(shù)和無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)兩部分.其中無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)mim按下式計算：

mim=m-rb；

(11)

(12)

式中：m為獨立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)；rb為剛體位移模態(tài)數(shù)；d為張拉整體結(jié)構(gòu)的空間維數(shù).

2 基于矩陣分析的找形步驟

不同于現(xiàn)有的大部分找形方法，本文所提出的方法不需要事先假定單元長度以及結(jié)構(gòu)的幾何對稱性等條件.換言之，本方法只需要確定結(jié)構(gòu)的空間維數(shù)、單元類型以及節(jié)點間的幾何拓?fù)潢P(guān)系，便可確定張拉整體結(jié)構(gòu)的最終形態(tài)，實現(xiàn)找形的目的.

為了確定每個單元的力密度系數(shù)，根據(jù)單元受力情況，如下定義矢量q0:

(13)

；

(14)

(15)

2.1 力密度矩陣的特征值分解

將力密度矩陣E進(jìn)行特征值分解，如下：

E=HΛHT；

(16)

HHT=In.

(17)

式中:H∈Rn×n為正交矩陣，并且其第i列hi∈Rn為矩陣E的特征向量基；In∈Rn×n為單位矩陣；Λ∈Rn×n為對角矩陣，并且其對角線上的元素為相應(yīng)的特征值，即Λii=λi.

矩陣H的特征向量hi則對應(yīng)于矩陣Λ的特征值λi.

根據(jù)上述分解可知，力密度矩陣E特征值為零的個數(shù)等于其零空間的維數(shù)[22].此時，若定義k為矩陣E特征值小于或等于零的個數(shù)，則有如下兩種情況需要考慮.

圖2 自由形態(tài)張拉整體結(jié)構(gòu)找形流程圖

(18)

(19)

Chi=0；

(20)

det|ld(ld)T|=0；

(21)

(22)

式中:ld為d維空間(假定d=3)中d個特征向量任意組合而成的b個單元的長度向量.

此外，本階段尚需要確定張拉整體結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣KT，其表達(dá)式如下[7，26]:

?E.

(23)

式中：KE為張拉整體結(jié)構(gòu)的線剛度矩陣；KG為與自應(yīng)力模態(tài)有關(guān)的幾何剛度矩陣；e為結(jié)構(gòu)各單元材料的楊氏模量(矢量)；a為結(jié)構(gòu)各單元材料的橫截面面積(矢量)；l0為結(jié)構(gòu)各單元的初始長度(矢量)；I∈R3×3為單位矩陣；?為張量積.

如果切線剛度矩陣是正定的，則整個結(jié)構(gòu)體系在剛體位移被限制的情況下將是穩(wěn)定的.也就是說，對于任意一個非平凡變動d，矩陣KT的二次型是正定的：

dT(KT)d>0；

(24)

或

eig(KT)=eig(KG)=

(25)

式中:rb為式(12)中定義的獨立的剛體機(jī)構(gòu)數(shù)目.

結(jié)合上述兩種情況可知，在空間三維張拉整體結(jié)構(gòu)的找形過程中，最有效的方案就是在前四組特征向量基(分別相應(yīng)于前四個最小的特征值)中選擇三組可能的特征向量，將這些特征值通過本方法逐步減小直至為零，最終求出相應(yīng)的節(jié)點坐標(biāo)矩陣，使得結(jié)構(gòu)體系達(dá)到平衡狀態(tài)，即

(26)

2.2 平衡矩陣的奇異值分解

一旦相應(yīng)的節(jié)點坐標(biāo)被確定，就可以將這些已知值從式(18)代入式(8)中.為了求解式(8)，可將平衡矩陣A進(jìn)行奇異值分解：

A=UVWT；

(27)

(28)

(29)

μ1≥μ2≥…≥μb≥0.

(30)

式中:U∈Rdn×dn和W∈Rb×b均為正交矩陣；V∈Rdn×b為由矩陣A的非負(fù)奇異值組成的對角矩陣，其奇異值大小按式(30)排列.

在迭代找形步驟中，同參數(shù)k在矩陣E的譜分解過程中類似，此時對于s同樣存在以下兩種情況.

2.2.1 平衡態(tài)(s=1)

由于張拉整體結(jié)構(gòu)的力密度和機(jī)構(gòu)的矢量空間基，是通過計算平衡矩陣零空間得到的[27]，因此在這種情況下，矩陣U和矩陣W應(yīng)有如下形式的零空間：

；

(31)

(32)

式中:m∈Rdn為m個無窮小機(jī)構(gòu)所組成的矢量.

定義機(jī)構(gòu)矩陣M∈Rdn×(dn-rA)如下：

(33)

此時，結(jié)合s=b-rA=1，可將式(32)寫成如下形式：

(34)

如果矢量q1與q0有相同的符號關(guān)系，即

sign(q1)≡sign(q0)，

則矢量q1為滿足齊次方程(8)的唯一自應(yīng)力模態(tài).

2.2.2 非平衡態(tài)(s=0)

在這種情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部不存在自應(yīng)力模態(tài)，式(27)中定義的矩陣A不存在零空間.換言之，V中A的右奇異值μb不等于零.因此，式(8)不存在關(guān)于力密度系數(shù)矢量q的非零解.此時如果將矩陣W的右奇異矢量基wb(對應(yīng)于矩陣V中最小的右奇異值μb)作為近似的q，則矢量q1與q0不一定會有相同的符號關(guān)系.為了解決這個問題，本文采用的找形方法必須逐一試驗矩陣W中的所有列，直到尋找到某個wj(j=b，b-1，…，1)，使得其中的所有元素與q0有相同的符號關(guān)系，即:sign(wj)≡sign(q0).此時，矢量wj可以直接選取作為近似的q.經(jīng)過上述步驟，整個找形過程尋找出了合適的q，使得

Aq≈0.

(35)

綜上所述，本文所提出的找形方法的主要思路就是將式(7)和式(8)進(jìn)行雙向循環(huán)迭代，直至滿足式(14)和式(15)所述的兩個秩虧條件.需要指出的是，對于某個給定的張拉整體結(jié)構(gòu)，根據(jù)本方法所求得的力密度系數(shù)矢量q不是唯一的.換言之，對于相同的關(guān)聯(lián)矩陣C和同樣符號的q0，可能存在其他的矢量q滿足條件.

2.3 設(shè)計誤差評估

根據(jù)張拉整體結(jié)構(gòu)必須滿足自平衡的條件，本文將如下定義的不平衡力矢量υf∈Rdn作為評估計算結(jié)果精度的指標(biāo)：

υf=Aq.

(36)

或者可將不平衡力矢量分別在x-，y-和z-方向上投影：

υx=Ex；

(37)

υy=Ey；

(38)

υz=Ez.

(39)

引入Euclidean范數(shù)，設(shè)計誤差κ可以表述為：

Tol=10-10.

(40)

本文要求設(shè)計誤差κ必須控制在10-10以內(nèi).

3 算例

本節(jié)將通過二個數(shù)值算例(包括一類和二類張拉整體結(jié)構(gòu))來證實本方法的有效性和適用性.研究結(jié)果表明，本文所提出的找形方法對于分析解決穩(wěn)定形態(tài)和超穩(wěn)定形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)是非常適用的.

3.1 截頂四面體

圖3所示為一個由6桿18索組成的三維截頂四面體張拉整體結(jié)構(gòu).先前有學(xué)者在研究這個結(jié)構(gòu)時，強(qiáng)制設(shè)定結(jié)構(gòu)的所有桿元等長，同時結(jié)構(gòu)的所有索元也等長.例如在非線性找形方法[17]和動力松弛法[6]中都曾做過這樣的假定.然而，這一類限制條件在本方法中是不需要的，而僅需要輸入的信息為關(guān)聯(lián)矩陣C、結(jié)構(gòu)的空間維數(shù)以及各單元的類型.與二維張拉整體結(jié)構(gòu)相同，根據(jù)本文所提出的找形方法，自動分配初始力密度矢量如下：

圖3 三維截頂四面體結(jié)構(gòu)

(41)

最終得到的歸一化力密度系數(shù)矢量(相對于桿1的力密度)如表1所示，與文獻(xiàn)[8]相符.與此同時，本結(jié)構(gòu)可能存在的兩個不同的索元長度也被找到并且記錄于表2中.圖4展示了本結(jié)構(gòu)在無指定節(jié)點坐標(biāo)下的幾何形態(tài).

整個找形過程經(jīng)過8次迭代后收斂，且設(shè)計誤差κ=1.281 0×10-11

表1 三維截頂四面體結(jié)構(gòu)的力密度系數(shù)

力密度系數(shù)文獻(xiàn)[17]文獻(xiàn)[8]本文q1，q2，…，q121 00001 00001 0000q13，q14，…，q181 37941 15461 1546q19，q20，…，q24-0 6671-0 6671-0 6671

表2 截頂四面體結(jié)構(gòu)找形過程中各參數(shù)的迭代明細(xì)

迭代次數(shù)q1，q2，…，q12q13，q14，…，q18q19，q20，…，q24l1-12c/lsl13-18c/lsκ10 2116950 242427-0 1351530 4010490 5088301 5965×10-220 2118400 244480-0 1309350 4040450 5016178 0669×10-430 2118460 244584-0 1307210 4042810 5012774 0456×10-540 2118460 244589-0 1307100 4042930 5012602 0282×10-650 2118460 244589-0 1307100 4042940 5012591 0168×10-760 2118460 244589-0 1307100 4042940 5012595 0972×10-970 2118460 244589-0 1307100 4042940 5012592 5553×10-1080 2118460 244589-0 1307100 4042940 5012591 2810×10-11

圖4 無指定節(jié)點坐標(biāo)下得到的截頂四面體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)

3.2 十二面體

圖6所示為一個由7桿19索組成的三維十二面體張拉整體結(jié)構(gòu).經(jīng)計算最終得到的歸一化力密度系數(shù)矢量(相對于桿1的力密度)為:

找形過程僅經(jīng)過一次迭代即達(dá)到收斂，且設(shè)計誤差

κ=4.914 9×10-16

滿足條件.

圖7展示了本結(jié)構(gòu)在無指定節(jié)點坐標(biāo)下的幾何形態(tài).在限制該結(jié)構(gòu)的6個剛體位移模態(tài)(rb=6)后，其最終的結(jié)構(gòu)形態(tài)存在一個自應(yīng)力模態(tài)(s=1)和零個無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)(mim=0)，這也意味著該結(jié)構(gòu)體系為靜不定但動定結(jié)構(gòu).

圖5 截頂四面體結(jié)構(gòu)在迭代找形過程中的收斂曲線

如上所述，相比其他找形方法，本文所提出的方法不要求力密度矩陣E為半正定矩陣.在本例中，力密度矩陣E有三個負(fù)特征值，即為半負(fù)定矩陣；這就表明此結(jié)構(gòu)不是超穩(wěn)定的，因此需要確保所有的無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)已被自應(yīng)力模態(tài)所強(qiáng)化.為了簡化計算量，假定所有單元有相同的軸向剛度eiai=5，根據(jù)式(23)計算該結(jié)構(gòu)的切線剛度，其中力密度系數(shù)矩陣按式(42)取值.忽略6個剛體位移模態(tài)所對應(yīng)的前6個零特征值，最終所得切線剛度矩陣KT的非零特征值均列于表3中.可以看出最小的特征值為0.044 0，這表明該結(jié)構(gòu)的確是穩(wěn)定的.

圖6 三維十二面體結(jié)構(gòu)

圖7 無指定節(jié)點坐標(biāo)下得到的十二面體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)

表3 三維十二面體結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣的特征值

特征值特征值λ10 0440λ104 2452λ21 2759λ114 6603λ31 2787λ126 1446λ41 3225λ1314 5749λ51 9081λ1414 9212λ62 4737λ1519 2174λ73 1477λ1619 3417λ83 8934λ1738 4478λ94 0035λ1878 4237

4 結(jié)論

在原始力密度找形方法的基礎(chǔ)上，本文將結(jié)構(gòu)幾何拓?fù)淅碚摵途仃嚪治隼碚搼?yīng)用于張拉整體結(jié)構(gòu)的找形過程，并提出了綜合考慮幾何拓?fù)?、結(jié)構(gòu)剛度、穩(wěn)定性、設(shè)計誤差等諸多因素的張拉整體結(jié)構(gòu)的找形方法.

找形過程由計算機(jī)編制程序?qū)崿F(xiàn)，不用反復(fù)試算，大大縮短了找形周期.該找形方法利用矩陣分析理論將結(jié)構(gòu)的力密度矩陣和平衡矩陣兩者之間的關(guān)聯(lián)反映出來.而且，通過計算結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣的特征值來判斷結(jié)構(gòu)體系的穩(wěn)定類型，結(jié)合不同類型的張拉整體結(jié)構(gòu)模型和相關(guān)軟件對具體實例進(jìn)行計算和分析，表明本文所提出的找形方法對于分析解決穩(wěn)定形態(tài)和超穩(wěn)定形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)是非常適用的.

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