陸中明

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思維訓練營/思想方法
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

“銳角三角函數(shù)”數(shù)學思想面面觀

陸中明

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂、精髓.學習數(shù)學不僅僅要掌握數(shù)學知識，同時還要掌握數(shù)學知識中所隱含的思想方法.本文將對“銳角三角函數(shù)”中蘊含的數(shù)學思想加以分析，以期對提高同學們數(shù)學素養(yǎng)有所幫助.

一、一一對應思想

由相似的直角三角形可以知道，它們的邊與邊的比值隨銳角大小的變化而變化，隨著銳角大小的確定而惟一確定.同樣，借助計算器根據(jù)銳角大小可以求得其三角函數(shù)值，反過來，借助計算器根據(jù)三角函數(shù)值可以求得對應的銳角大小.

例1（2015·陜西）如圖1，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為_______.（用科學計算器計算，結(jié)果精確到0.1°）

圖1

【點評】本題考查了用計算器由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握由三角函數(shù)值求銳角度數(shù)的方法.

二、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想，通過轉(zhuǎn)化，可以把未知的關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的條件，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為相對容易的問題.

例2（2015·桂林）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD的值是_______.

圖2

【點評】本題既考查了對正切概念的掌握，也考查了靈活應用轉(zhuǎn)化思想將問題中不常見的角轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形的銳角進行求解.

三、方程思想

方程思想是一種重要的數(shù)學思想，所謂方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當設(shè)元建立方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思想方式.

例3（2015·云南）為解決江北學校學生上學過河難的問題，鄉(xiāng)政府決定修建一座橋.建橋過程中需測量河的寬度（即兩平行河岸AB與MN之間的距離）.在測量時，選定河對岸MN上的點C處為橋的一端，在河岸點A處，測得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到達B處，在B處測得∠CBA=60°.請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出河的寬度.（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73；結(jié)果保留整數(shù)）

圖3

【解析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，構(gòu)造Rt△ACD和Rt△BCD這兩個直角三角形. 設(shè)CD=x，分別在這兩個三角形內(nèi)，利用已知角的正切，用x表示出AD、BD的值，然后根據(jù)AB=AD+BD，列方程即可求解.

【解答】過點C作CD⊥AB，垂足為D，

∵AB=AD+DB=30，

答：河的寬度為13米.

【點評】本題考查了解直角三角形的實際應用、方程思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知條件列方程.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的數(shù)學思想方法.

例4（2015·綿陽）如圖4，要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長為2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的中軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳.此時，路燈的燈柱BC高度應該設(shè)計為（）.

圖4

【解析】設(shè)燈柱BC的長為h米，過點D作DH⊥AB于點H，過點C作CE⊥DH于點E.

∴四邊形BCEH為矩形.

∵∠DCB=120°，∴∠DCE=30°.

又∵∠CDO=∠CBO=90°，

∴∠DOB=60°.

∵在Rt△DCE中，

∴DE=CD·sin30°=1，CE=CD·cos30°=

在Rt△DOH中，

因此，本題應該選D.

【點評】解答這類問題的關(guān)鍵是通過作垂線構(gòu)造直角三角形，這是添加輔助線的常見方式，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，便于運用三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理來解題.

五、模型思想

從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立銳角三角函數(shù)表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

例5（2015·鹽城）如圖5所示，一幢樓房AB背后有一臺階CD，臺階每層高0.2米，且AC=17.2米.設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α，當α=60°時，測得樓房在地面上的影長AE=10米.現(xiàn)有一只小貓睡在臺階的MN這層上曬太陽.

圖5

（2）過了一會兒，當α=45°時，問小貓能否還曬到太陽？請說明理由.

解：（1）當α=60°時，在Rt△ABE中，

答：樓房的高度約為17.3米.

（2）小貓仍可以曬到太陽.

理由如下：

假設(shè)沒有臺階，當α=45°時，從點B射下的光線與地面AD的交點為點F，與MC的交點為點H.

∵∠BFA=45°，

∴AF=BA=17.3，即此時的影長為17.3米，

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1，

∴CH=CF=0.1（米），

∴大樓的影子才到臺階MC這個側(cè)面上，

∴小貓仍曬到太陽.

【點評】本題考查了有關(guān)銳角三角函數(shù)的應用問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型，尋找直角三角形中合適的邊角關(guān)系解決問題.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區(qū)）