廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

在學(xué)生眼里,高中數(shù)學(xué)課本非常權(quán)威,非常完美,課本上的都是真理,但是現(xiàn)實(shí)中的課本,還是有些瑕疵的.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中數(shù)學(xué)選修1-1課本》第57頁(yè)的上面給出的拋物線(xiàn)的定義,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說(shuō)是錯(cuò)誤的.

該定義的原文是：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)(parabola).點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).

在此,我要問(wèn)：如果點(diǎn)F在直線(xiàn)l上,軌跡還是拋物線(xiàn)嗎?答案是：不是的.

舉例：

(1)問(wèn)題：已知定點(diǎn)F(0,0),定直線(xiàn)l:x=0,試問(wèn)平面內(nèi)與定點(diǎn)F和定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線(xiàn),此直線(xiàn)的方程是：y=0.

(2)問(wèn)題：已知定點(diǎn)F(0,0),定直線(xiàn)l:y=0,試問(wèn)平面內(nèi)與定點(diǎn)F和定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線(xiàn),此直線(xiàn)的方程是：x=0.

可見(jiàn)課本上面給出的拋物線(xiàn)的定義,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說(shuō)是錯(cuò)誤的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,在原定義里面加入限制條件：點(diǎn)F不在直線(xiàn)l上.

完美無(wú)缺的定義如下：

我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(點(diǎn)F不在直線(xiàn)l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)(parabola).點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).

再舉一個(gè)例子.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中數(shù)學(xué)選修1-1課本》第45頁(yè)的下面給出雙曲線(xiàn)的定義,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說(shuō)是錯(cuò)誤的.該定義的原文是：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)(hyperbola),這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.

在此,我要問(wèn)：如果該“常數(shù)”的值為0,軌跡還是雙曲線(xiàn)嗎?答案是：不是的.

舉例：

(1)問(wèn)題：已知平面內(nèi)有定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),試問(wèn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)0的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線(xiàn),此直線(xiàn)的方程是：x=0.

(2)問(wèn)題：已知平面內(nèi)有定點(diǎn)F1(0,3),F2(0,-3),試問(wèn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)0的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線(xiàn),此直線(xiàn)的方程是：y=0.

可見(jiàn)課本上面給出的雙曲線(xiàn)的定義,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說(shuō)是錯(cuò)誤的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,設(shè)“常數(shù)”為2a,在原定義里面加入限制條件：0＜2a＜|F1F2|.

完美無(wú)缺的定義如下：

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(0＜2a＜|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)(hyperbola),這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.

為了廣大學(xué)生能夠吃透橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義,我專(zhuān)門(mén)命制了兩道例題.

例1 在平面直角坐標(biāo)系中,有F1(-5,0),F2(5,0)兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),分別求出滿(mǎn)足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并且說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么圖形?

(1)|PF1|+|PF2|=26

解：

滿(mǎn)足橢圓的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓,F1(-5,0),F2(5,0)是橢圓的焦點(diǎn),c=5.

解得

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)|PF1|+|PF2|=10

解：

不滿(mǎn)足橢圓的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓,經(jīng)過(guò)分析,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(3)|PF1|+|PF2|=9

解：滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn)P不存在.

解：0＜8＜10=|F1F2|,滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn),F1(-5,0),F2(5,0)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),c=5.

解得

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

(5)|PF1|-|PF2|=8

(6)|PF2|-|PF1|=8

解：

不滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn)P不存在.

解：

不滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(9)|PF1|-|PF2|=10

解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對(duì)值符號(hào),所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(10)|PF2|-|PF1|=10

解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對(duì)值符號(hào),所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(11)|PF1|-|PF2|=0

解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn),是一條直線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)定點(diǎn)F(5,0),

(1)求到定點(diǎn)F(5,0)和定直線(xiàn)x=-5的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形.

解：定點(diǎn)F(5,0)不在定直線(xiàn)x=-5上,滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,拋物線(xiàn)應(yīng)該開(kāi)口朝右,方程為

(2)求到定點(diǎn)F(5,0)和定直線(xiàn)x=5的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形.

解：定點(diǎn)F(5,0)在定直線(xiàn)x=5上,不滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是拋物線(xiàn),而是一條直線(xiàn),是一條過(guò)點(diǎn)F(5,0),同時(shí)還和直線(xiàn)x=5垂直的直線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

另外,我還命制了兩道練習(xí)題,供學(xué)生動(dòng)筆練一練,有助于更好地鞏固這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

練習(xí)題1 在平面直角坐標(biāo)系中,有F1(0,4),F2(0,-4)兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),分別求出滿(mǎn)足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并且說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么圖形.

(1)|PF1|+|PF2|=10;

(2)|PF1|+|PF2|=8;

(3)|PF1|+|PF2|=7;

(5)|PF1|-|PF2|=6;

(6)|PF2|-|PF1|=6;

(9)|PF1|-|PF2|=8;

(10)|PF2|-|PF1|=8;

(11)|PF1|-|PF2|=0.

練習(xí)題2 在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)定點(diǎn)F(0,4).

(1)求到定點(diǎn)F(0,4)和定直線(xiàn)y=-4的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P軌跡是什么圖形.

(2)求到定點(diǎn)F(0,4)和定直線(xiàn)y=4的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P軌跡是什么圖形.

學(xué)生做完練習(xí)題后,自行核對(duì)答案,參考答案如下：

練習(xí)題1：

(1)解：

滿(mǎn)足橢圓的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓,F1(0,4),F2(0,-4)是橢圓的焦點(diǎn),c=4.

解得

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)解：

不滿(mǎn)足橢圓的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(3)解：滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn)P不存在.

(4)解：

滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn),F1(0,4),F2(0,-4)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),c=4.

解得

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

(7)解：

不滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn)P不存在.

(8)解：

不滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(9)解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對(duì)值符號(hào),所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(10)解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對(duì)值符號(hào),所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(11)解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn),是一條直線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

練習(xí)題2：

(1)解：定點(diǎn)F(0,4)不在定直線(xiàn)y=-4上,滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn),經(jīng)過(guò)分析,拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上,方程為

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

(2)解：定點(diǎn)F(0,4)在定直線(xiàn)y=4上,不滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是拋物線(xiàn),而是一條直線(xiàn),是一條過(guò)點(diǎn)F(0,4),同時(shí)還和直線(xiàn)y=4垂直的直線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：