崔利杰 丁野 任博 李澤

貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法是一種以貝葉斯公式為核心,以先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息為綜合依據(jù),以“辯證”推斷為主要特征的統(tǒng)計(jì)方法[1].運(yùn)用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí),在獲取數(shù)據(jù)信息前,人們將主觀經(jīng)驗(yàn)與樣本信息進(jìn)行綜合作為先驗(yàn)信息,實(shí)現(xiàn)樣本信息的更新,再根據(jù)貝葉斯定理推導(dǎo)出參數(shù)的后驗(yàn)概率分布,最后以后驗(yàn)分布作為基礎(chǔ)進(jìn)行參數(shù)推測(cè).由于利用了先驗(yàn)知識(shí),貝葉斯推斷對(duì)小樣本數(shù)據(jù)具有較好的統(tǒng)計(jì)推斷效果[2?4].

貝葉斯理論經(jīng)常被用于各類事故預(yù)測(cè).如Shahram Heydari等人改進(jìn)了傳統(tǒng)的道路交通事故預(yù)測(cè)方法[5?6],給出了小子樣條件下交通事故貝葉斯預(yù)測(cè)模型,極大地縮小了預(yù)測(cè)誤差;LouiseK.Lloyd和JonathanJ.Forster通過(guò)分析交通流量數(shù)據(jù)[7],以注冊(cè)汽車型號(hào)、路況和汽車行駛里程等數(shù)據(jù)作為分布信息,建立了一套預(yù)測(cè)交通事故發(fā)生率的貝葉斯數(shù)學(xué)方法,取得了良好的效果;賈豐源等人基于貝葉斯理論對(duì)上?？焖俾凡杉氖鹿蕯?shù)據(jù)和相關(guān)檢測(cè)器數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[8],事故預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率達(dá)到了82.78%.

隨著現(xiàn)代航空裝備的技術(shù)含量不斷增加,裝備的制造維護(hù)成本也水漲船高.對(duì)于各國(guó)空軍而言,由于裝備事故所造成的損失也愈加難以承擔(dān).因此,能否有效對(duì)航空裝備的事故進(jìn)行預(yù)測(cè),并及時(shí)采取措施加以防范,是擺在裝備研究人員面前的重要課題.Ralph R Fullwood和Robert E Hall等人結(jié)合航空服務(wù)困難報(bào)告中的事故數(shù)據(jù)[9],運(yùn)用線性回歸的方法對(duì)航空安全趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè);中國(guó)民航大學(xué)的王永剛等人針對(duì)民航事故征候的預(yù)測(cè)[10],建立了基于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型;端木京順和甘旭升等人將灰色模型和均生函數(shù)結(jié)合[11],建立了一套航空裝備的事故預(yù)測(cè)理論.以上模型雖然能夠取得不錯(cuò)的事故預(yù)測(cè)效果,但均存在對(duì)事故數(shù)據(jù)變化不敏感的問(wèn)題,當(dāng)事故數(shù)據(jù)更新時(shí),無(wú)法對(duì)模型進(jìn)行快速修正,容易出現(xiàn)較大偏差.另外,這些預(yù)測(cè)模型對(duì)隨機(jī)波動(dòng)較大的數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)效果不佳.而貝葉斯方法由于結(jié)合樣本信息不斷對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行更新,因而能夠及時(shí)反映出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),迅速對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行修正,提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率.本文將以貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論作為基礎(chǔ),針對(duì)軍用航空裝備的事故預(yù)測(cè)建立數(shù)學(xué)模型,并以美國(guó)某型戰(zhàn)斗機(jī)為例,對(duì)其事故發(fā)生情況進(jìn)行預(yù)測(cè).

1 軍用飛機(jī)事故特點(diǎn)分析

要對(duì)軍機(jī)事故進(jìn)行預(yù)測(cè),首先要對(duì)軍機(jī)的事故數(shù)據(jù)特點(diǎn)有定性認(rèn)識(shí).一般來(lái)說(shuō),投入使用后,其事故規(guī)律一般遵循類似拋物線的“先升后降”的趨勢(shì).這是因?yàn)檠b備在剛交付部隊(duì)時(shí),由于裝備本身的技術(shù)不成熟以及使用維護(hù)人員對(duì)裝備不了解、不熟悉,導(dǎo)致在這個(gè)期間裝備事故呈逐漸上升的趨勢(shì).隨著設(shè)計(jì)方對(duì)裝備的不斷改進(jìn)和使用方對(duì)裝備性能的掌握,裝備的事故數(shù)據(jù)會(huì)逐漸下降.通過(guò)查閱文獻(xiàn)[12],我們對(duì)美國(guó)的F-15與歐洲的“狂風(fēng)”戰(zhàn)機(jī)的事故數(shù)據(jù)(不計(jì)作戰(zhàn)損失)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得出其事故數(shù)據(jù)曲線,在一定程度上印證這種軍機(jī)事故的發(fā)生發(fā)展趨勢(shì).(見(jiàn)圖1、圖2).

另外,與民航客機(jī)常年飛固定航線不同,由于事故發(fā)生具有極強(qiáng)的偶然性,且執(zhí)行任務(wù)多樣、飛行環(huán)境復(fù)雜,導(dǎo)致軍用飛機(jī)的飛行事故數(shù)據(jù)在呈現(xiàn)上述總體趨勢(shì)的同時(shí)還具有較大的波動(dòng)性,從圖中也可以看出,事故數(shù)據(jù)浮動(dòng)的隨機(jī)性較強(qiáng).

基于以上思想,我們認(rèn)為軍機(jī)事故的發(fā)生發(fā)展是遵循一定數(shù)學(xué)規(guī)律的,通過(guò)對(duì)事故規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,就能夠以此為基礎(chǔ)建立起關(guān)于事故預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型.

2 貝葉斯事故預(yù)測(cè)理論數(shù)學(xué)模型

2.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論基礎(chǔ)

假定θ是參數(shù)空間Θ上的隨機(jī)變量,它的概率分布為參數(shù) Θ 的先驗(yàn)分布,記為 {π(θ):θ∈Θ}.又因?yàn)棣仁请S機(jī)變量,因此在參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型中,樣本X=(X1,X2,···,X n)T的分布族應(yīng)理解為條件分布族{F(x|θ):θ∈ Θ},不論連續(xù)型還是離散型變量,樣本分布族均可表為條件密度函數(shù){f(x|θ):θ∈Θ},其中f(x|θ)為樣本密度函數(shù).先驗(yàn)分布 {π(θ):θ∈ Θ}與樣本分布族{f(x|θ):θ∈Θ}構(gòu)成貝葉斯參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型.

給定了貝葉斯參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型,即給定了先驗(yàn)分布 {π(θ):θ∈ Θ}與樣本分布族 {f(x|θ):θ∈ Θ}.其中,π(θ)為密度函數(shù).通過(guò)給定的模型,可以確定(θ,X)的聯(lián)合分布.它們的聯(lián)合密度函數(shù)為

X的邊緣密度函數(shù)為

在X=x時(shí),可以求得θ的條件密度函數(shù)為

式(3)即貝葉斯公式.h(θ|x)反映了得到樣本觀測(cè)x后θ的后驗(yàn)分布.h(θ|x)為后驗(yàn)密度函數(shù).Bayes學(xué)派認(rèn)為:后驗(yàn)分布族{h(θ|x),θ∈Θ}是統(tǒng)計(jì)推斷出發(fā)點(diǎn),對(duì)參數(shù)θ作的任何統(tǒng)計(jì)推斷必須且只能基于θ的后驗(yàn)分布[2].

得到了參數(shù)θ的后驗(yàn)分布,還需要對(duì)未知參數(shù)θ給出一個(gè)合適的估計(jì)量,作為問(wèn)題的解.根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論[13?14],用樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷時(shí),誤差總是不可避免的,因此還應(yīng)確定損失函數(shù)定量表達(dá)統(tǒng)計(jì)過(guò)程中的優(yōu)劣程度.

2.2 貝葉斯事故預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型的建立

2.2.1 計(jì)算對(duì)象的確定

本文中,建立數(shù)學(xué)模型的基本思想是“擬合+分布預(yù)測(cè)”的方法.想要找到事故數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)規(guī)律,就必須對(duì)事故數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律的探索.最常用的方法是對(duì)已有的事故數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到一條能夠由數(shù)學(xué)方程描述的曲線.前文中,分析了軍機(jī)事故數(shù)據(jù)大體符合“先升后降”的趨勢(shì),這種趨勢(shì)基本符合二次曲線的形狀特點(diǎn),因此,首先對(duì)已有的事故數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合.

假設(shè)掌握了某型飛機(jī)n年的事故數(shù)據(jù)

對(duì)事故數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后,得到該機(jī)型的“事故－年份”擬合曲線以及擬合方程,這條曲線反映了該型飛機(jī)的事故趨勢(shì).同時(shí),根據(jù)曲線方程,可以得到每年事故的擬合值

據(jù)此能夠計(jì)算每年事故的實(shí)際發(fā)生數(shù)與擬合值的殘差

在對(duì)具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí),可以對(duì)數(shù)據(jù)擬合狀況進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn),以確認(rèn)選擇的擬合方式是合適的.這里s i表示的是實(shí)際值與擬合值之間的離散程度.由此得到了表達(dá)數(shù)據(jù)擬合效果的統(tǒng)計(jì)量S.在對(duì)第(n+m)年的事故進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)(m=1,2,···),該年發(fā)生事故的擬合值μn+m可以由擬合方程得出,只要確定了該年事故數(shù)據(jù)的殘差s n+m,就能夠給出該年事故數(shù)據(jù)的確切范圍,從而對(duì)事故做出推斷.

要想對(duì)殘差統(tǒng)計(jì)量S作出推斷,有必要了解其統(tǒng)計(jì)規(guī)律.以“狂風(fēng)”戰(zhàn)斗機(jī)的事故數(shù)據(jù)為例,對(duì)圖2中的事故數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到擬合曲線,并據(jù)此計(jì)算每一年的數(shù)據(jù)殘差s i.為得到軍機(jī)殘差分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,將所統(tǒng)計(jì)的殘差值在頻率分布直方圖上表示出來(lái).見(jiàn)圖3.

通過(guò)“狂風(fēng)”戰(zhàn)機(jī)的殘差分布圖可以看出,事故數(shù)據(jù)擬合值與實(shí)際值的殘差s i分布的隨機(jī)性較強(qiáng),分布規(guī)律基本符合均值為0的正態(tài)分布.除此之外,我們還對(duì)F-15、米格-29、F-14等多型軍機(jī)的事故數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)在樣本容量足夠大的條件下,數(shù)據(jù)的分布都更加接近這種分布規(guī)律.因此在這里作出假設(shè):在對(duì)軍機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律分析時(shí),認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量S關(guān)于擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)是滿足正態(tài)分布的,且以每一個(gè)擬合點(diǎn)μi(i=1,2,···,n)作為數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)點(diǎn),s i關(guān)于μi都滿足S～N(0,σ2)的正態(tài)分布律.這里,標(biāo)準(zhǔn)差σ為未知量.由此,我們對(duì)于未知量S的求解就聚焦到σ的確定上來(lái).

2.2.2 先驗(yàn)分布的確定

通過(guò)上文的分析,明確了研究的對(duì)象σ.這里就將σ作為先驗(yàn)信息,通過(guò)樣本觀測(cè),對(duì)σ進(jìn)行分析,進(jìn)而對(duì)統(tǒng)計(jì)量S進(jìn)行確定.

在很多情況下,軍方關(guān)于軍機(jī)事故的數(shù)據(jù)都只有具體事故數(shù),對(duì)于數(shù)據(jù)的其他信息我們所知甚少.根據(jù)已有數(shù)據(jù)提供的信息,無(wú)法確定σ的具體分布形式,根據(jù)貝葉斯假設(shè),先驗(yàn)分布是無(wú)信息先驗(yàn)分布時(shí),在參數(shù)的取值區(qū)域內(nèi)“均勻分布”[2],即

其中,Σ為σ的參數(shù)空間,b為σ的取值上限,a為σ的取值下限,即σ在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布.接下來(lái)要確定σ的取值區(qū)域.由于我們掌握了前n年的數(shù)據(jù)殘差s i(i=1,2,···,n),統(tǒng)計(jì)量S滿足分布S～N(0,σ2).根據(jù)正態(tài)分布的“3σ”法則,變量s i落在[?3σ,3σ]區(qū)間的概率為99.7%,因此我們近似認(rèn)為的取值全部落入[?3σ,3σ]區(qū)間中,又因?yàn)棣遥?,故可以得到σ的區(qū)間為(0,|s i|max/3].因此,就確定了σ的先驗(yàn)分布形式

2.2.3 后驗(yàn)分布的確定

隨著時(shí)間的推移,軍機(jī)的事故數(shù)據(jù)也在不斷積累.意味著我們掌握的先驗(yàn)信息已經(jīng)逐漸“過(guò)時(shí)”了,原有的預(yù)測(cè)模型無(wú)法保證對(duì)事故預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性.這時(shí)需要結(jié)合更新的事故數(shù)據(jù),綜合先驗(yàn)信息得到后驗(yàn)分布,調(diào)整樣本信息的參數(shù),保證事故預(yù)測(cè)嚴(yán)格遵循事故數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,從而提高預(yù)測(cè)精度.

假定現(xiàn)在更新了m年的事故數(shù)據(jù)(x n+1,x n+2,···,x n+m),新樣本的加入可能會(huì)改變 “事故－年份”曲線的擬合狀況,因此需要對(duì)數(shù)據(jù)樣本(x1,x2,···,x n,···,x n+m)進(jìn)行重新擬合,得到了一組新的擬合值相應(yīng)地,也得到了一組關(guān)于樣本觀測(cè)值的殘差2,···,n+m).這里,將這m年的殘差看作獨(dú)立同分布樣本.由2.2.1的分析可知應(yīng)當(dāng)同樣滿足分布律S～N(0,σ2),則這m年的殘差數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布概率密度為:

那么由貝葉斯理論,根據(jù)式(3)有

其中,Θ為θ的參數(shù)空間.

分母積分后為常量,故有

由此給出了σ的后驗(yàn)分布形式,根據(jù)式(12),給出了對(duì)σ進(jìn)行信息更新后的數(shù)學(xué)表達(dá),只要據(jù)此求出σ的取值,就能夠?qū)︻A(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的殘差進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而給出預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的取值范圍.

2.2.4 損失函數(shù)的確定

要對(duì)σ進(jìn)行預(yù)測(cè),需要能夠得到σ的具體取值.因此在這里對(duì)σ采取點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)方法.二次損失函數(shù)是參數(shù)點(diǎn)估計(jì)中常用的一種損失函數(shù)[15],其形式為

其中,θ為參數(shù)的實(shí)際值,a為估計(jì)值.在二次損失函數(shù)的條件下,參數(shù)的貝葉斯估計(jì)為

根據(jù)式(14),可以確定σ的點(diǎn)估計(jì)值,進(jìn)而確定預(yù)測(cè)年份s i范圍,對(duì)事故發(fā)生區(qū)間進(jìn)行預(yù)測(cè).

2.2.5 預(yù)測(cè)模型建立流程

根據(jù)前文分析,建立起預(yù)測(cè)模型的建立流程,見(jiàn)圖4.

3 典型軍機(jī)事故預(yù)測(cè)算例

某型戰(zhàn)斗機(jī)是外軍的主力機(jī)種之一,該機(jī)型積累了豐富的事故數(shù)據(jù)資料,研究它的事故預(yù)測(cè)具有很強(qiáng)的代表意義,對(duì)于我國(guó)軍機(jī)事故預(yù)測(cè)研究也具有較好的指導(dǎo)作用.

3.1 歷史事故數(shù)據(jù)擬合統(tǒng)計(jì)

對(duì)事故進(jìn)行預(yù)測(cè),是建立在已經(jīng)掌握了一定歷史數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上的.假定現(xiàn)在掌握了該型飛機(jī)裝備部隊(duì)后第1年到第10年的歷史數(shù)據(jù),由前文分析,首先應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.見(jiàn)圖5.

得到擬合方程

得到擬合曲線后,對(duì)擬合效果進(jìn)行了擬合優(yōu)度檢驗(yàn),結(jié)果證明在顯著性水平α=0.01的條件下,判定成立.因此我們認(rèn)為選取二次擬合是合適的.對(duì)這10年的殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如圖6.

統(tǒng)計(jì)這10年中殘差絕對(duì)值的最大值

3.2 先驗(yàn)信息確定

前文中,做出了先驗(yàn)信息滿足均勻分布的假設(shè).但在實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中,確定樣本的分布信息仍需要積累一定的樣本數(shù)據(jù)作為佐證.為此通過(guò)對(duì)F-15、“狂風(fēng)”戰(zhàn)機(jī)等大量軍機(jī)事故數(shù)據(jù)的擬合統(tǒng)計(jì),結(jié)合該機(jī)型的先驗(yàn)樣本信息,認(rèn)為對(duì)其先驗(yàn)分布的客觀規(guī)律是滿足2.2.2中的選取原則的.由式(8)知:

3.3 后驗(yàn)分布確定及預(yù)測(cè)

掌握了事故數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息,還需要一定的樣本數(shù)據(jù)對(duì)信息進(jìn)行更新.貝葉斯方法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)信息的樣本容量要求不高,在樣本數(shù)量較少的條件下依然能夠進(jìn)行預(yù)測(cè).假定我們現(xiàn)在僅掌握了第11年、第12年兩年的事故數(shù)據(jù),要對(duì)第13年的事故進(jìn)行預(yù)測(cè).由于新數(shù)據(jù)的添加,首先需要對(duì)這12年的事故數(shù)據(jù)進(jìn)行重新擬合,并統(tǒng)計(jì)殘差,如圖7.

得到新的擬合方程

與式(15)相比,擬合方程的參數(shù)確實(shí)發(fā)生了變化.統(tǒng)計(jì)第11、12年的殘差s11、s12:

依據(jù)式(9),有

又因?yàn)?

因此,σ的后驗(yàn)分布為:

由此就確定了σ的后驗(yàn)分布密度函數(shù)形式.由式(14),平方損失下σ的點(diǎn)估計(jì)為:

計(jì)算得到σ的期望?σ為0.92作為σ的預(yù)測(cè)值,根據(jù)擬合方程,將年份13代入式(18)中,計(jì)算第13年事故擬合值為μ13=18.8.則根據(jù)“3σ”法則:

則第13年事故數(shù)的預(yù)測(cè)值

即我們有99.7%的把握認(rèn)為該機(jī)型在第13年發(fā)生的事故數(shù)范圍在[16,22]區(qū)間之間.查閱文獻(xiàn),該機(jī)型在第13年實(shí)際發(fā)生事故為20起,確實(shí)在預(yù)測(cè)區(qū)間之內(nèi).

進(jìn)一步,要想在預(yù)測(cè)區(qū)間的基礎(chǔ)上再縮小預(yù)測(cè)范圍,依然可以依照“3σ”法則來(lái)縮小區(qū)間.

從圖8可以知道,將s13的預(yù)測(cè)區(qū)間縮小到[?2σ,2σ]時(shí),仍有95.5%的把握認(rèn)為預(yù)測(cè)是有效的.在此基礎(chǔ)上,若要將預(yù)測(cè)區(qū)間縮小至[?σ,σ],預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)下降.本算例中,按照[?σ,σ]區(qū)間對(duì)s13進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),得出x13區(qū)間為[18,20],盡管可靠性只有68.3%,但第13年的事故數(shù)仍在預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi).這還是建立在樣本信息只有兩年的基礎(chǔ)之上的.貝葉斯預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性可見(jiàn)一斑.

該算例證實(shí)了本文基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論建立的預(yù)測(cè)方法切實(shí)可行.在對(duì)本模型進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時(shí),甚至可以以最近一年的事故數(shù)據(jù)作為樣本信息對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行更新,從而對(duì)下一年事故進(jìn)行預(yù)測(cè).

4 結(jié)論

本文基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論,建立了一套針對(duì)單一機(jī)型的事故預(yù)測(cè)模型,并以某型戰(zhàn)斗機(jī)事故數(shù)據(jù)為例,對(duì)模型的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證,取得了良好的效果.但是,我們也應(yīng)看到,軍機(jī)的事故數(shù)據(jù)整理是一項(xiàng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ?囿于事故資料來(lái)源的單一,我們無(wú)法保證能夠完全掌握外軍事故資料的完整數(shù)據(jù).本文重點(diǎn)探討運(yùn)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)決策理論建立起事故預(yù)測(cè)模型,即便在有限的數(shù)據(jù)條件下,也能夠佐證預(yù)測(cè)模型的可行性.

隨著我軍裝備技術(shù)的發(fā)展,裝備成本也在不斷提高.高發(fā)的事故率會(huì)導(dǎo)致軍方難以承受高昂的代價(jià),極大地影響部隊(duì)對(duì)新裝備的使用.因此,根據(jù)以往成熟機(jī)型摸索軍機(jī)事故規(guī)律,指導(dǎo)新機(jī)型的事故防范工作,具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.

如今,我軍新一代主戰(zhàn)戰(zhàn)機(jī)正在大規(guī)模裝備航空兵部隊(duì),通過(guò)摸索典型軍機(jī)從交付部隊(duì)開(kāi)始到裝備發(fā)展成熟全過(guò)程的事故發(fā)生規(guī)律,建立起一套行之有效的事故預(yù)測(cè)方法,對(duì)于我國(guó)的軍機(jī)研制單位和使用部隊(duì)具有充分的指導(dǎo)作用,推動(dòng)軍機(jī)事故研究工作不斷發(fā)展,從而為我軍的軍機(jī)安全保障工作提供數(shù)據(jù)支撐和理論支持.

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