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        MATLAB數(shù)值分析技術(shù)在丁壩建模中的應(yīng)用

        2018-01-17 03:15:31陳曉燕張小霞張新華
        東北水利水電 2018年1期
        關(guān)鍵詞:壩頭丁壩曲面

        陳曉燕,張小霞,張新華

        (1.遼寧省清河水庫管理局,遼寧鐵嶺 112003;2.四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室,四川成都 610065)

        1 研究背景

        隨著計算機科學(xué)的不斷進步,很多理論上解難以解決的問題,都可以通過數(shù)值模擬的方式得到滿足工程實際需要的近似解。常用的數(shù)學(xué)模型多采用C語言或Fortran語言編寫的,在解決工程問題時,通常需要針對具體問題建立對應(yīng)的幾何或地形模型并劃分網(wǎng)格,若能用數(shù)學(xué)函數(shù)準確地反映實際地形將會極大地提高模擬結(jié)果的可靠性,也能更好地解釋一些工程現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原因。

        但是,實際可獲取的地形數(shù)據(jù)總是有限的,而且不一定是規(guī)整的、結(jié)構(gòu)化的。在利用C語言或Fortran語言編制數(shù)值模擬模型中添加精細化的地形模塊比較耗時,不能同步可視化并適時調(diào)整模型。根據(jù)已有數(shù)據(jù)及其具體地形特征,選取適宜的數(shù)值分析方法,并應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)數(shù)據(jù)插值或數(shù)據(jù)擬合,求解插值函數(shù)則更為方便、快捷,并且易于核查分析結(jié)果的準確性。

        2 理論基礎(chǔ)

        2.1 數(shù)值分析方法

        應(yīng)用有限的地形數(shù)據(jù)獲取較為精確的物理模型屬于數(shù)據(jù)擬合問題,在數(shù)值分析中,常被稱為數(shù)值逼近,是為離散數(shù)據(jù)(不論何種途徑得到)建立簡單連續(xù)模型的方法。數(shù)值逼近方法有插值法和擬合法兩種[1],兩種方法又可根據(jù)處理方式或選取的函數(shù)類型不同分為許多具體方法,詳細方法可參考有關(guān)文獻[2~4]。

        2.2 MATLAB簡介

        MATLAB(Matrix Laboratory)是矩陣實驗室的簡稱,和Mathematica,Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。MATLAB主要應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域,具有六大主要特性和優(yōu)點:友好的工作平臺和編程環(huán)境[10],簡單易用的程序語言,強大的科學(xué)計算機數(shù)據(jù)處理能力,出色的圖形處理功能,應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱,實用的程序接口和發(fā)布平臺。

        目前,MATLAB已經(jīng)把工具箱延伸到了幾乎所有科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域。

        3 案列分析

        3.1 研究工況

        張小霞[12]在對自編二維的淺水模型(SWE)驗證時,采用了蔡榮[13]的丁壩定床水槽實驗數(shù)據(jù)。試驗水槽長7.2 m、寬2 m、高約30 cm,水槽底部鋪設(shè)平整,模型河床的縱比降為0.16%。實驗中丁壩布置在水槽中部,結(jié)構(gòu)如圖1所示。丁壩壩體為不透水丁壩,丁壩橫斷面采用梯形斷面,迎水壩坡為1.0∶1.5,背水壩坡為1∶2,壩頭坡面為光滑曲面,壩頭坡1.0∶3.5。流量為15 L/s,尾水水深3.36 cm。

        圖1 實驗丁壩結(jié)構(gòu)示意圖(單位:cm)

        3.2 數(shù)據(jù)分析及模型建立

        為驗證SWE模型中水動力模塊的可靠性,將丁壩結(jié)構(gòu)作進一步分析。以丁壩左上角底部為坐標原點,建立坐標系如圖2所示,其中分別以壩寬、壩長、壩高方向為x,y,z軸。根據(jù)丁壩結(jié)構(gòu)示意圖可以將丁壩分為4個面,其中面1-3為平面,所有參數(shù)可以準確設(shè)置;面4為曲面,曲面4上各點的坐標確定需要進一步分析,由其形狀可以推知曲面4為一個二次曲面,可由Z=f(x,y)表示出來,式中x和y的最高次項都不超過2次。曲面4上有5條特征線分別為圖2中L1-L5,同時有5個邊界點,可以直接由丁壩結(jié)構(gòu)示意圖推求得到,為提高數(shù)值逼近精度又分別增加特征線L1-L4的4個中點,一共構(gòu)成9個特征點,根據(jù)所建坐標模型推求出各點坐標并列于表1。

        圖2 丁壩特征點/線/面示意圖

        3.3 Matlab模型求解

        以上分析表明:需要求解的問題——曲面4的表達式,已知條件——曲面4上的幾個特征邊界點線及曲面4大致符合的函數(shù)類型,所求函數(shù)在已知數(shù)據(jù)空間內(nèi),并且知道函數(shù)為二次曲面函數(shù),結(jié)合插值法和擬合法兩種數(shù)值逼近方法的優(yōu)缺點及適用性,可知該問題更適合用擬合法求解。

        表1 特征點坐標m

        因此,采用MATLAB曲線擬合工具cftool(Curve Fitting Tool)實現(xiàn)對1—9點的二次曲面擬合。通過選用不同的擬合增強方式并調(diào)整x,y的最高項次數(shù)(2次或1次),得到的最佳擬合結(jié)果如圖3所示。

        圖3 點1-9二次曲面擬合結(jié)果

        此次擬合回歸平方和SSE=1.45×10-4,決定系數(shù)R2=0.990 3,擬合得到的曲面4的表達式:

        比較圖3和丁壩示意圖圖1,可以發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果形式符合,但存在一定偏差,尤其是壩頭底部的曲線明顯偏向右側(cè),和原實驗中丁壩壩頭底部曲線不符。為調(diào)整擬合圖形,可在丁壩壩頭底部曲線L5上增加2個控制點。為此需要先求出L5的表達式,通過點3,4,5三個點進行二次曲線擬合,最佳擬合結(jié)果如圖4所示,擬合曲線L5的表達式為式(2)。

        圖4 丁壩壩頭底部曲線擬合結(jié)果

        由式(2),推求出曲線L5上兩點10(0.08,0.79,0.00)和11(0.25,0.83,0.00),加上前面表2中列出的9個點,用此11個點對曲面4進行二次擬合,調(diào)整不同的擬合增強方式并改變x,y的最高項次數(shù),得到的最佳擬合結(jié)果如圖5所示,其回歸平方和SSE=1.399×10-4,決定系數(shù)R2=0.992 7,擬合得到的曲面4的表達式為式(3)。比較圖5和丁壩示意圖圖1,發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果符合較好。

        圖5 點1-11二次曲面擬合結(jié)果

        3.4 擬合結(jié)果應(yīng)用情況

        在SWE模型中采用擬合式3求取壩頭各網(wǎng)格點上的高程,得到初始河道地形圖如圖6所示。對丁壩細節(jié)應(yīng)用數(shù)值擬合,并采用MATLAB可視化分析得到了較為準確細致的丁壩結(jié)構(gòu),將圖6與圖1相比較,上述方法具有較高的真實性,應(yīng)用模擬函數(shù)可以構(gòu)建出與上下游壩面以及河底均能平滑相接的地形模型。

        圖6 SWE模型水動力驗證模擬試驗地形圖

        為檢驗丁壩模型對水動力模擬結(jié)果的影響,分別應(yīng)用上述擬合丁壩結(jié)構(gòu)和簡化為立方體結(jié)構(gòu)的丁壩進行河槽水動力計算。除丁壩結(jié)構(gòu)外,其余參數(shù)均按照蔡榮實驗進行設(shè)置。計算區(qū)域長7.2 m、寬2 m,采用非均勻網(wǎng)格,在丁壩位置處網(wǎng)格較密,離丁壩越遠網(wǎng)格尺寸越大。對于擬合丁壩X,Y方向的最小網(wǎng)格均為0.01 m,總網(wǎng)格數(shù)為342×82個,時間步長取為0.001 s/步。對于簡化丁壩采用長0.67 m、寬0.35 m、高0.1 m的立方體,在計算區(qū)域內(nèi)X,Y方向的最小網(wǎng)格均為0.02 m,總網(wǎng)格數(shù)為222×62個,時間步長取為0.01 s/步。

        圖7為模擬流速與蔡榮實驗測得的流速分布圖,其中圖7a為蔡榮實測數(shù)據(jù)。對擬合丁壩水動力模擬和簡化丁壩水動力模擬結(jié)果提取相關(guān)斷面的流速數(shù)據(jù),應(yīng)用tecplot繪制流速矢量分別如圖7b和圖7c所示。整體上SWE模型計算結(jié)果都很好地模擬出了丁壩作用下水流流速分布,與實測保持較高的一致性。在丁壩附近,擬合丁壩的計算流速與實驗更加接近。

        模擬結(jié)果與蔡榮實驗數(shù)據(jù)誤差分析如表2所示。如圖7(a)所示,測量了9個斷面的流速,從左到右依次編號。在有測量數(shù)據(jù)的點(速度為零的點不包括在內(nèi))位上,分別比較擬合丁壩和簡化丁壩計算結(jié)果的相對誤差和絕對誤差,然后取平均求得斷面平均的相對誤差和絕對誤差分別列于表2中。

        圖7 應(yīng)用結(jié)果比較圖

        表2 特征點坐標

        簡化丁壩整體平均流速絕對誤差為0.056 m/s,比擬合丁壩整體平均流速絕對誤差(0.047 m/s)高出近0.01 m/s;相應(yīng)的整體平均相對誤差高出3%。由此可見,應(yīng)用上述擬合所得地形模型進行數(shù)值模擬計算,得到水動力模擬結(jié)果與蔡榮實驗數(shù)據(jù)吻合更好,可降低或避免由于丁壩設(shè)置不妥造成的模擬誤差。

        4 結(jié)語

        針對大型數(shù)值計算中常遇到的物理模型二次曲面擬合問題,以丁壩壩頭曲面為例,應(yīng)用MATLAB中的數(shù)值分析工具成功的擬合了丁壩壩頭曲面,提高了數(shù)值計算的精度和效果。當(dāng)然它也存在一些不利影響,為了保證模擬計算穩(wěn)定,提高物理模型精度的同時必然要求更小的網(wǎng)格尺寸及更短的時間步長,在以上案列中擬合丁壩模擬耗時遠遠高于簡化丁壩模擬耗時。另外,為了取得較好的擬合精度,應(yīng)特別注意,獲取盡量準確的原始數(shù)據(jù)以及體現(xiàn)模型特征的數(shù)據(jù)點。

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