，

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked control systems, NCS)是近些年來控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一，其在機(jī)器人遙操作、智能家居和工業(yè)控制等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，并取得了巨大成功.但通過網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的控制系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中幾乎不可避免的存在時(shí)延問題[1].在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中，如果忽視時(shí)延問題，將導(dǎo)致控制系統(tǒng)的性能下降，甚至無法穩(wěn)定工作[2].針對(duì)NCS中的時(shí)延問題，近年來國內(nèi)外眾多學(xué)者提出了不少有效的處理方法，如隨機(jī)最優(yōu)控制方法、時(shí)滯系統(tǒng)方法、混雜系統(tǒng)方法和預(yù)測控制方法等[3-16].

在NCS中，時(shí)延的時(shí)變和隨機(jī)特性，使得網(wǎng)絡(luò)時(shí)延表現(xiàn)為采樣周期的非整數(shù)倍.Zhang等[8-9]采用切換系統(tǒng)方法研究了時(shí)變時(shí)延問題.在設(shè)定的切換律下，將時(shí)變時(shí)延系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為確定性系統(tǒng)，但采用確定性方法補(bǔ)償時(shí)變時(shí)延時(shí)具有很大的保守性.預(yù)測控制的多步預(yù)測和滾動(dòng)優(yōu)化方法能夠一次計(jì)算未來多個(gè)控制量，在執(zhí)行器無法得到最新的控制量時(shí)，可以利用已有數(shù)據(jù)包中的預(yù)測值進(jìn)行控制.宋洪波等[10]通過一種改進(jìn)的分布式預(yù)測補(bǔ)償方式，利用反饋數(shù)據(jù)來提高系統(tǒng)的控制性能.葛陽等[11-12]通過利用動(dòng)態(tài)矩陣控制(DMC)算法在網(wǎng)絡(luò)傳輸中的控制量和未來預(yù)測值的冗余信息來代替丟失的數(shù)據(jù)，減少時(shí)延和丟包對(duì)系統(tǒng)性能的影響，改進(jìn)了NCS下的DMC算法.Tang等[13-15]采用廣義預(yù)測控制(GPC)算法對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和丟包問題進(jìn)行了研究.控制器和執(zhí)行器采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)方式，將非整數(shù)倍采樣周期時(shí)延轉(zhuǎn)化為采樣周期的整數(shù)倍，但這種方法人為地增加了時(shí)延，從而導(dǎo)致性能的下降.然而，非整數(shù)倍采樣周期時(shí)延是時(shí)變或隨機(jī)的，采用確定性方法將帶來很大的保守性.因此，針對(duì)非整數(shù)倍采樣周期時(shí)延，研究能夠補(bǔ)償隨機(jī)時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制算法將更有意義.

1 NCS建模

考慮如圖1所示的NCS，其中的被控對(duì)象由以下的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)模型描述

(1)

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of NCS

圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，滿足以下假設(shè)：

1)傳感器節(jié)點(diǎn)為時(shí)間驅(qū)動(dòng)，以固定的采樣周期T對(duì)被控對(duì)象采樣，控制器節(jié)點(diǎn)采用事件驅(qū)動(dòng).

2)執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，但是以更高的頻率讀取緩沖區(qū)，讀取周期為T0=T/N，N為一個(gè)正整數(shù)，為可調(diào)參數(shù).

3)不存在數(shù)據(jù)包丟失，且數(shù)據(jù)包均帶有時(shí)間戳.

πrs=Prob{d(k+1)=s|d(k)=r}

由于時(shí)延小于一個(gè)采樣周期，在[kT,(k+1)T)內(nèi)，有兩個(gè)控制信號(hào)u(k-l),l=0,1被作用.假定控制信號(hào)u(k-l)的作用時(shí)間為nl(k)T0，有n0(k)+n1(k)=N.所考慮的NCS可建模為離散時(shí)間線性系統(tǒng)[8]，即

(2)

在[kT,(k+1)T)內(nèi)，令n(k)=[n0(k)n1(k)]，控制信號(hào)的值取決于nl(k),l=0,1，子系統(tǒng)式(2)動(dòng)態(tài)的由n(k)決定.為了描述相應(yīng)的子系統(tǒng)，在這引入映射關(guān)系ψ:d(k)→σ(k)，即

(3)

式中：n(k)∈{[N0],[N-1 1],…,[0N]}，σ(k)∈{0,1,…,N}.則式(2)可描述為

(4)

其中Hiσ(k)=Hi(d(k)).

記XT(k)=[xT(k)uT(k-1)]，則式(4)可描述為

(5)

考慮到實(shí)際控制對(duì)象中的輸入約束的存在，對(duì)式(5)增加了對(duì)控制輸入約束的考慮，即

(6)

針對(duì)具有時(shí)延的NCS，設(shè)計(jì)一個(gè)模式依賴的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制律

u(k+i|k)=Kσ(k|k)X(k+i|k)

(7)

使得無限時(shí)域預(yù)測控制性能指標(biāo)在線最小化，即

(8)

i|k)Ru(k+i|k)]|Mk}

(9)

式中：Kσ(k|k)為狀態(tài)反饋控制器增益；Q，R分別為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣；X(k)=X(k|k)為采樣時(shí)刻k的狀態(tài)測量值；X(k+i|k)為k時(shí)刻對(duì)k+i時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測值；u(k+i|k)為k時(shí)刻滿足式(8)的受控輸入序列在k+i時(shí)刻的值；E{·}為數(shù)學(xué)期望；Mk={x(0),d(0),…,x(k),d(k)}.則閉環(huán)系統(tǒng)可描述為

X(k+i|k)

(10)

注2：式(10)的狀態(tài)空間系數(shù)矩陣由當(dāng)前模式?jīng)Q定.在k時(shí)刻已知時(shí)延模式d(k)，可得n(k)和σ(k)，則狀態(tài)反饋增益Kσ(k)=Kd(k).

定義1對(duì)于任意的初始條件{X(0),d(0)}，如果不等式

(11)

成立，則式(10)是隨機(jī)穩(wěn)定的.

2 穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

以下定理給出了保證式(10)隨機(jī)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器存在的條件和設(shè)計(jì)方法.

定理1考慮式(9，10)，若最小化問題

(12)

(13)

(14)

(15)

證明定義Lyapunov函數(shù)

V(X(k+i|k),σ(k+i|k))=

XT(k+i|k)Pσ(k+i|k)X(k+i|k)

(16)

令σ(k+i|k)=r,σ(k+i+1|k)=s.假設(shè)在采樣時(shí)刻k，對(duì)于所有的X(k+i|k)和u(k+i|k)，i≥0，滿足以下不等式

E{V(X(k+i+1|k),s)-V(X(k+i|k),r)|Mk}≤

(17)

為保證J(k)有界，令E{V(X(∞|k),σ(∞|k))|Mk}=0.將式(17)兩邊從i=0到i=∞求和可得

J(k)≤V(X(k|k),σ(k|k))

(18)

因此，式(9)存在上界.式(10)的優(yōu)化問題則等價(jià)于最小化V(X(k|k),σ(k|k))，即

(19)

則根據(jù)式(19)可得

XT(k|k)γ-1PrX(k|k)≤1

(20)

由式(17)可得

(21)

由Schur補(bǔ)引理可得式(21)等價(jià)于以下不等式

(22)

在采樣時(shí)刻k，考慮式(6).由于XT(k|k)γ-1PrX(k|k)≤1是式(10)的不變橢圓集合[19]，所以有

(23)

由S-procedure和Schur補(bǔ)引理可得

(24)

對(duì)式(24)分別左乘和右乘矩陣diag{I,Yr}，則可知式(24)等價(jià)于式(15).證畢.

定理2在任意時(shí)刻k≥0，如果優(yōu)化問題式(12～15)具有可行解，則式(10)表示的閉環(huán)系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的，且存在式(7)所示的狀態(tài)反饋控制律.

E{V(X(k+i+1|k),σ(k+i+1|k))-

V(X(k+i|k),σ(k+i|k))|Mk}≤0

(25)

由式(19，25)可得

E{V(X(k+i|k),σ(k+i|k))|Mk}≤

E{V(X(k|k),σ(k|k))|Mk}≤γ

(26)

對(duì)于所有σ(k+i|k)∈N，由式(10)可知X(k+1|k)=X(k+1|k+1)，則可得

E{V(X(k+1|k+1),σ(k+1))|Mk+1}≤
E{V(X(k+1|k+1),σ(k+1|k))|Mk+1}=
E{E{V(X(k+1|k),σ(k+1|k))|Mk}|Mk+1}≤γ

(27)

所以式(13)在k+1時(shí)刻也是可行的.由式(14，15)與狀態(tài)向量X(k|k)無關(guān)且u(k+1|k+1)=u*(k+1|k)可知，式(14，15)在k時(shí)刻的最優(yōu)解在k+1時(shí)刻是可行的，因此式(12～15)在任意時(shí)刻k≥0都是可行的.由最優(yōu)原理可得

E{V(X(k+1|k+1),σ(k+1|k+1))|Mk+1}≤

E{V(X(k+1|k+1),σ(k+1|k))|Mk}

(28)

由式(17)可得

E{V(X(k+1|k),σ(k+1|k))-V(X(k|k),

σ(k|k))|Mk}≤-E{XT(k|k)QX(k|k))|Mk}

(29)

由于狀態(tài)X(k+1|k+1)=X(k+1)，結(jié)合式(28，29)可得

E{V(X(k+1|k+1),σ(k+1))-V(X(k|k),σ(k))·

|Mk}≤-E{XT(k|k)QX(k|k))|Mk}≤

-λE{‖X(k|k)‖2|Mk}

(30)

式中λ為正定矩陣Q的最小特征值.將式(17)兩邊從k=0到k=∞求和，可得

E{V(X(∞),σ(∞))-V(X(0),σ(0))|M0}≤

(31)

從而可得

σ(0))|M0}<∞

(32)

由定義1可知，閉環(huán)系統(tǒng)式(10)是隨機(jī)穩(wěn)定的.證畢.

3 仿真示例

以此不穩(wěn)定的倒立擺作為被控對(duì)象構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，取傳感器的采樣周期為T=0.3 s，N=3，則執(zhí)行器端讀取緩沖區(qū)的周期為T0=0.1 s，d(k)∈{0,1,2,3}.將被控對(duì)象離散化得

則選取一組時(shí)延模式d(k)的分布，如圖2所示.

圖2 時(shí)延模式d(k)Fig.2 Delay mode d(k)

根據(jù)以上所提的控制律計(jì)算方法，在k時(shí)刻在線求解優(yōu)化問題式(12～15)，可求得每個(gè)采樣時(shí)刻的狀態(tài)反饋控制律u(k)，從而得到如圖3所示的控制信號(hào)，由圖3可知控制信號(hào)滿足輸入約束.在u(k)作用下閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡(圖4)，仿真結(jié)果表明：在所設(shè)計(jì)的具有輸入約束的狀態(tài)反饋控制器的作用下，閉環(huán)NCS隨機(jī)穩(wěn)定.

圖3 控制輸入Fig.3 Control input

圖4 狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectory

4 結(jié) 論

針對(duì)非整數(shù)倍采樣周期時(shí)延NCS，采用執(zhí)行器讀取緩沖區(qū)頻率快于系統(tǒng)采樣頻率的工作模式，將NCS建模為一類馬爾可夫跳變系統(tǒng)，然后運(yùn)用模型預(yù)測控制滾動(dòng)優(yōu)化的思想，推導(dǎo)了系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件，并運(yùn)用線性矩陣不等式方法求解了狀態(tài)反饋控制器.從仿真結(jié)果可以看出：針對(duì)時(shí)延小于一個(gè)采樣周期的NCS，運(yùn)用隨機(jī)系統(tǒng)方法建模和模型預(yù)測控制方法設(shè)計(jì)控制器，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，并且控制輸入滿足輸入約束.

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