張昆+羅增儒

【摘要】數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)具有系統(tǒng)性，構(gòu)成它具有三個(gè)環(huán)節(jié)節(jié)點(diǎn)：其一，教師要認(rèn)真獨(dú)立地解題，盡可能窮盡解決數(shù)學(xué)問題的所有方法；其二，基于某些目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)；其三，設(shè)計(jì)方案經(jīng)由課堂教學(xué)實(shí)施后的反思.通過實(shí)例具體說明完善教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)，滲透數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)目標(biāo)的途徑，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)觀念；教學(xué)目標(biāo)

新一輪課改以來，數(shù)學(xué)解題教學(xué)受到了多項(xiàng)詬病.多數(shù)情況下，特別是數(shù)學(xué)教育理論家認(rèn)為，解題教學(xué)總是教師將解題探究好了的方法與過程直接傳遞于學(xué)生，因而與實(shí)現(xiàn)新課程所設(shè)置的諸多教學(xué)目標(biāo)失去了聯(lián)系，甚至于干擾教學(xué)這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).這些是將某些教師（為數(shù)確實(shí)不少）的教學(xué)（技藝）方式上的一些薄弱環(huán)節(jié)無端地與解題教學(xué)價(jià)值（教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在依據(jù)）及其實(shí)現(xiàn)混為一談，這是有失公正的.其實(shí)，與數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理一樣，數(shù)學(xué)解題活動(dòng)是極具創(chuàng)造性的課程資源，甚至于比數(shù)學(xué)概念原理更具培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的教學(xué)價(jià)值，學(xué)生由探究稍微復(fù)雜些的數(shù)學(xué)問題，可以感受到更具直觀的體驗(yàn).問題是，教師必須通過創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)途徑，才能實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)目標(biāo).

1數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的課例

一方面，在數(shù)學(xué)新課程實(shí)施過程中，偏重于利用優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)知識(shí)資源，培養(yǎng)受教育者的創(chuàng)新能力，它需要多方面的素材，這些素材中解題活動(dòng)占有舉足輕重的地位；另一方面，不管是有意還是無意，從某種程度上說，數(shù)學(xué)解題（特別在高考復(fù)習(xí)時(shí)）必定內(nèi)含了數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的成分，部分地具有發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒的功能.因此，解題教學(xué)應(yīng)該有意識(shí)地納入新課程數(shù)學(xué)教育的評(píng)價(jià)目標(biāo)之中，而不能游離于這個(gè)體系之外，才能引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施方向[1].本研究通過解題教學(xué)設(shè)計(jì)指向教學(xué)目標(biāo)的實(shí)例，旨在糾正數(shù)學(xué)解題教學(xué)落后的手段與教學(xué)目標(biāo)之間混淆與混亂的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到厘清解題教學(xué)理念的目的.

課例 （2016年全國(guó)高考天津卷·理21·Ⅱ問）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在極值點(diǎn)x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求證：x1+2x0=3⑤.

教學(xué)方案1師：在過去的解題教學(xué)活動(dòng)中，已經(jīng)生成的解題經(jīng)驗(yàn)是：?jiǎn)栴}的解決總是從問題的條件產(chǎn)生結(jié)論的.對(duì)這個(gè)問題，同學(xué)們有什么想法？

生1：在這四項(xiàng)條件中，條件③應(yīng)該是起著主導(dǎo)性作用的條件，因?yàn)橥ㄟ^它可以將其他條件集中起來[2].因此，可以從條件③入手：

由條件③與條件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3+a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a}=0⑥，……

師：哪位同學(xué)就生1中斷的思路提出新的想法，從而提供思維活動(dòng)展開的動(dòng)力？

生2：結(jié)論⑤作為解題的目標(biāo)，它一定隱含在等式⑥中，如何從等式⑥導(dǎo)出結(jié)論⑤，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該消去等式⑥中一個(gè)與結(jié)論⑤無關(guān)的元素a.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2+（x0-x1）（x0+x1）-2（x0-1）2]=0，繼續(xù)分解因式，知（x0-x1）2（x1+2x0-3）=0 ，由條件④，知x1+2x0-3=0，知結(jié)論⑤成立.

師：大家從生1與生2同學(xué)合作所得到的這種解法中，可以獲得哪些有價(jià)值的東西？

生3：?jiǎn)栴}的條件具有層級(jí)性，在解題時(shí)，必須通過試探與選擇，確定主導(dǎo)性條件，由此啟動(dòng)思維，逐步將輔助性條件納入解題的思路中，這些構(gòu)成了解題思路的關(guān)鍵性的環(huán)節(jié).

生4：?jiǎn)栴}的結(jié)論在解題活動(dòng)中始終具有指向性作用，在探究解題思路時(shí)，結(jié)論的指向性作用可以提示著某些數(shù)學(xué)觀念的生成，從而在這種觀念指導(dǎo)下展開新的思維活動(dòng).

教學(xué)方案2師：生4同學(xué)對(duì)方案1中的收獲的要旨是有價(jià)值的.更有甚者，在探究解題思維活動(dòng)的思路中，我們也可以將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，從而將綜合性的思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化為分析性的思維活動(dòng)，以此可以提高了解題的效率[3].對(duì)于本例，我們也可以運(yùn)用這種觀念嗎？

生5：在“如何運(yùn)用題設(shè)條件f（x1）=f（x0）③”時(shí)，這個(gè)等式中有兩個(gè)自變量x1與x0，使我感到特別不舒服.我想通過消元化去一個(gè)自變量，將條件③這個(gè)等式中的自變量變成一個(gè)，肯定對(duì)問題的解決有幫助，但是……

師：生5提出了一種有價(jià)值的消元的觀念.如何消元？

生6：考慮到結(jié)論⑤，知x1=3-2x0.于是，將x0與x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……

師：怎么辦？

生7：由于計(jì)算復(fù)雜，我沒有完成計(jì)算過程.

師：可以找到途徑簡(jiǎn)化計(jì)算過程嗎？

生8：考慮簡(jiǎn)化（x0-1）3的計(jì)算.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，將其分別代入⑦、⑧，化簡(jiǎn)，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，從而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否則a=3（x0-1）2=0，與條件a>0矛盾），于是，可設(shè)3-2x0=x1⑩，從而結(jié)論⑤成立.

師：通過生6與生8同學(xué)合作的這種解法，你獲得哪些有價(jià)值的東西？

生9：?jiǎn)栴}的條件與結(jié)論是可以轉(zhuǎn)化的一對(duì)矛盾.在探究解題思路時(shí)，往往將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，參與條件的計(jì)算或推理，使我們更容易啟動(dòng)思維，獲得思路.endprint

生10：函數(shù)f（x）與它的自變量x也是一對(duì)矛盾，在談?wù)撟宰兞恐g的關(guān)系時(shí)，往往需要借助于函數(shù)這個(gè)支點(diǎn)來達(dá)到目的，反之亦然.這種解法由⑨導(dǎo)出⑩就是最好的體現(xiàn).還有一對(duì)我們?cè)缫咽煜さ拿埽壕褪且辉c多元的矛盾，我們經(jīng)常將多元化為一元.

師：可以更為一般地說，數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的思維過程是符合辯證法精髓的，辯證法的集中體現(xiàn)就是矛盾法則，矛盾是對(duì)立的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，因而又是統(tǒng)一的，解題活動(dòng)過程就是要找到矛盾統(tǒng)一時(shí)需要轉(zhuǎn)化的條件.

2兩種方案折射出問題內(nèi)含的教學(xué)價(jià)值比較

因?yàn)樵诮忸}教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師引領(lǐng)學(xué)生獲得問題思路的分析手段具有相似性，所以這一個(gè)例子不失一般性.方案1使用的數(shù)學(xué)觀念學(xué)生通過自己解題經(jīng)驗(yàn)的積累，已經(jīng)非常熟悉了：其一，證明的過程就是在從題設(shè)過渡到結(jié)論的數(shù)學(xué)觀念指令下進(jìn)行的，這是非常自然的；其二，目標(biāo)觀念，是產(chǎn)生其中的一個(gè)關(guān)鍵性思維環(huán)節(jié)的動(dòng)力，它是以變量替換常量（即用a=3（x0-1）2等式中的3（x0-1）2替換等式⑥中的a）的結(jié)果，這也是自然而然的.

正如學(xué)生所揭示的，方案2隱含著所需要解決的幾對(duì)矛盾的數(shù)學(xué)觀念：其一，已知（條件）與未知（結(jié)論）的矛盾，它的解決的方法是將未知直接作為已知，⑦式就是這種轉(zhuǎn)化的具體運(yùn)用；其二，函數(shù)與自變量的矛盾，一方面，當(dāng)我們學(xué)習(xí)“反函數(shù)”概念后，就會(huì)明確地意識(shí)到函數(shù)與自變量是相對(duì)的，在某些條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的；另一方面，又是互相依存的，當(dāng)我們討論自變量的問題時(shí)，我們一定要利用函數(shù)這個(gè)支點(diǎn)，本例中的等式⑨就是它的具體體現(xiàn)，反之，討論函數(shù)的關(guān)系時(shí)，也一定要借助于自變量這個(gè)支點(diǎn)；其三，一元與多元的矛盾，例如，條件③就是這對(duì)矛盾的體現(xiàn)，本例中通過結(jié)論的關(guān)系，將二元轉(zhuǎn)化為一元，解決了矛盾.這三對(duì)矛盾的解決構(gòu)成方案2的三個(gè)主要環(huán)節(jié)，這三個(gè)環(huán)節(jié)也就構(gòu)成了啟動(dòng)與推動(dòng)學(xué)生解題思維活動(dòng)的三個(gè)支點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)就是教師需要啟發(fā)學(xué)生妥善處理這三個(gè)支點(diǎn)，而不是將教師找到的現(xiàn)成的思路“奉獻(xiàn)”給學(xué)生.

如果我們以解題思維活動(dòng)的自然流暢、水到渠成，產(chǎn)生思路時(shí)學(xué)生思維用腦量的多少為標(biāo)準(zhǔn)，那么方案1絕對(duì)地優(yōu)于方案2，這是我們應(yīng)該同意的；但是，如果我們以發(fā)揮這兩種解法的教育價(jià)值（滲透數(shù)學(xué)觀念）這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來說，那么方案2就要優(yōu)于方案1.

因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)：方案1的數(shù)學(xué)觀念有兩點(diǎn)：其一，數(shù)學(xué)解題就是從已知過渡到未知，從題設(shè)條件過渡到題段結(jié)論；其二，目標(biāo)觀念.但是這兩個(gè)觀念，學(xué)生已經(jīng)通過大量的解題活動(dòng)，刻入學(xué)生的智囊了，不需要再通過這個(gè)例子進(jìn)行鞏固了.方案2所具有的除了方案1產(chǎn)生的數(shù)學(xué)觀念的價(jià)值以外，它重在體現(xiàn)于我們已經(jīng)分析出的三對(duì)矛盾，探究解題思路活動(dòng)的過程，就是充分暴露這些矛盾及其相互轉(zhuǎn)化的過程，經(jīng)由這種轉(zhuǎn)化的思維活動(dòng)，滲透解題活動(dòng)中的某些數(shù)學(xué)觀念，它們變成了學(xué)生駕馭將來面對(duì)新問題的手段.

3選擇某種方案在課堂上實(shí)施教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)

教學(xué)目標(biāo)是選擇某種方案進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵性依據(jù)，決定教學(xué)目標(biāo)的項(xiàng)目要素在于解題方法中內(nèi)含的教學(xué)價(jià)值與學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的具體情況及其需要的配置.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)途徑既不是來源于理論的推演，也不是來源于教師對(duì)流行的教學(xué)過程作形式上的模仿，而更多地來源于教師自己的教學(xué)實(shí)踐——對(duì)知識(shí)性質(zhì)分析與對(duì)學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理過程分析，而知識(shí)發(fā)生的心理過程又是因人而異的，所以，教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)就顯示出極其靈活性的一面.要提高教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)水平，設(shè)計(jì)出恰如其分的課堂教學(xué)目標(biāo)，除了需要教師整合教育教學(xué)的理論，積累教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)以外，歸根結(jié)底，從解題活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)伴隨著知識(shí)的發(fā)生，能夠形成人的某些優(yōu)秀心理品質(zhì)與學(xué)生對(duì)某些核心要素的實(shí)際需要.

就滲透數(shù)學(xué)觀念這項(xiàng)目標(biāo)而言，我們理解了方案2的價(jià)值優(yōu)于方案1的價(jià)值，但是，也不能抽象概括地說，教師在選擇某種方案進(jìn)入課堂教學(xué)時(shí)，就一定要選擇方案2.其實(shí)，選擇還要受到一些關(guān)鍵性條件的限制，例如，其一，當(dāng)我們?cè)谏细咭粚W(xué)生的函數(shù)起始課，需要合適的材料啟發(fā)學(xué)生理解函數(shù)概念成為當(dāng)務(wù)之急時(shí)；其二，即使是在進(jìn)行高考復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)解題課的教學(xué)時(shí)，作為高考?jí)狠S題的第Ⅱ個(gè)問題，已經(jīng)具有相當(dāng)?shù)碾y度，因此，如果所授課的班級(jí)是一個(gè)一般性的學(xué)校，我們也應(yīng)該首選方案1，或者在完成方案1教學(xué)的基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)方案2；其三，即使在一個(gè)普通學(xué)校，如果學(xué)生在一位優(yōu)秀教師長(zhǎng)期教學(xué)熏陶下，方案1真的不足以提高學(xué)生數(shù)學(xué)觀念水平了，此時(shí)，我們就應(yīng)該選擇第二種方法.

由此可知，解題（其他知識(shí)也是一樣）教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師必須在某種標(biāo)準(zhǔn)下選擇一種、或兩種方法真正地進(jìn)入課堂.這種選擇的標(biāo)準(zhǔn)需要整合兩個(gè)方面：其一，數(shù)學(xué)問題資源所提供的教學(xué)價(jià)值；其二，由學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)所處的具體情況.教師要善于比較在對(duì)自己所找到的方案中的每一種方案所隱含的教學(xué)價(jià)值，認(rèn)真地進(jìn)行體會(huì)與甄別，然后，仔細(xì)分析學(xué)生的心理需要，他們已經(jīng)存有的數(shù)學(xué)觀念，在這些數(shù)學(xué)觀念中，穩(wěn)定性、清晰性程度如何？某種解法所能提供的一種新數(shù)學(xué)觀念，這種新的數(shù)學(xué)觀念對(duì)學(xué)生今后自己獨(dú)立解題的重要性程度如何？還有發(fā)展學(xué)生計(jì)算技能方面的考量，等等.

這些構(gòu)成一節(jié)解題教學(xué)設(shè)計(jì)課設(shè)置課堂教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)，解題教學(xué)目標(biāo)的生命所在與力量所系在于發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題所隱含的教學(xué)價(jià)值，教學(xué)價(jià)值是教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在形式，教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)價(jià)值的外在表現(xiàn)[4]，由于每一個(gè)數(shù)學(xué)問題中所隱含的教學(xué)價(jià)值可能是多方面的，這其中的某些價(jià)值在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中已經(jīng)具有了，此時(shí)，盡管是非常好的教學(xué)價(jià)值，我們往往也不將其作為教學(xué)目標(biāo)的一個(gè)項(xiàng)目，某些價(jià)值在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中雖然存在，但是，穩(wěn)定性、清晰性程度不高，我們可以將其設(shè)置為輔助性的教學(xué)目標(biāo)，某些價(jià)值在學(xué)生當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中還不存在，而這種教學(xué)價(jià)值又是學(xué)生必備的品質(zhì)，恰好那個(gè)題目又是這個(gè)教學(xué)價(jià)值的非常好的承載體，那么我們就一定要將其設(shè)置為主導(dǎo)的教學(xué)目標(biāo).

到此，我們可以總結(jié)系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的一般環(huán)節(jié)，這具有三個(gè)方面的節(jié)點(diǎn)：其一，教師要認(rèn)真獨(dú)立地解題，盡可能窮盡解決數(shù)學(xué)問題的所有方法（當(dāng)然一般很難達(dá)到，但教師一定要如此努力.我們特別反對(duì)某些教師自己不解題而使用他人提供的答案的做法，可以預(yù)言，這樣的教師絕不會(huì)有所成就）；其二，基于某些目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（問題性質(zhì)中所隱含的教學(xué)價(jià)值，學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情況，學(xué)生需要鞏固的具體知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)觀念，滲透全新的數(shù)學(xué)觀念，甚至于形成學(xué)生的某些優(yōu)良的心理品格，正當(dāng)興趣的發(fā)生、實(shí)現(xiàn)與加深，情感的皈依等等.這些又構(gòu)成了層級(jí)等次，也需要視具體問題、具體學(xué)生、學(xué)生處于具體的學(xué)習(xí)階段而定，這是考量數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)水平、提升教學(xué)效率的關(guān)鍵一環(huán)），從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)；其三，設(shè)計(jì)方案經(jīng)由課堂教學(xué)實(shí)施后的反思.數(shù)學(xué)教師只有嚴(yán)格地執(zhí)行這三個(gè)環(huán)節(jié)，才能提升教學(xué)設(shè)計(jì)水平，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效性.

4簡(jiǎn)要結(jié)語(yǔ)

教師與學(xué)生通過課堂活動(dòng)兩者都受益，學(xué)生獲得知識(shí)，教師除了加深理解知識(shí)以外，還獲得傳授知識(shí)的技藝.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一種技藝，在于它猶如揉面，要善于掌握松緊、彈性、力度；譬如作曲，要善于掌握節(jié)奏的快慢疾徐、音調(diào)的抑揚(yáng)頓挫；恰似演戲，要善于鋪墊、烘托、煽情，將觀眾的思維吸引進(jìn)入舞臺(tái)的情境，順著演員的思維前進(jìn).教師如果不對(duì)所要教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)透熟于胸，不對(duì)學(xué)生發(fā)生具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié)及其構(gòu)成環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)化的途徑了如指掌，那就不可能做到掌握恰當(dāng)?shù)姆执?、火候；也不可能做到有?jié)律，分輕重、疾徐，從容有致地展開.這正是教師數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的硬工夫、真工夫所在.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介張昆（1965—），安徽合肥人，已在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《課程·教材·教法》等發(fā)表教育教學(xué)論文500余篇.endprint