侯雨雷 魏曉晨 周治宇 曾達(dá)幸

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)是對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行性能分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和前提。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)一直是國(guó)內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。承載能耗與總能耗功率的比例偏低是仿生機(jī)構(gòu)難以應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵問(wèn)題之一，故而，具有明確的物理意義、可用數(shù)學(xué)方程描述、具有可計(jì)算性的功耗性能指標(biāo)的定義對(duì)研究仿生關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有重要意義。

三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為適用于肩關(guān)節(jié)仿生的重要機(jī)構(gòu)之一[1]，其功耗傳遞效率直接影響機(jī)構(gòu)的承載性能。苑飛虎等[2]以六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，分析了位姿對(duì)承載能力與承載性能指標(biāo)的影響。KORAYEM等[3-4]結(jié)合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的具體應(yīng)用，研究了沿固定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)構(gòu)的承載能力。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)瞬時(shí)狀態(tài)下的功耗傳遞能力即為機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)傳遞功率，而功率又能夠反映并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和力的傳遞性能。迄今針對(duì)功率傳遞的分析已取得許多成果。文獻(xiàn)[5-6]將廣義傳遞力矩螺旋引入機(jī)構(gòu)靜力傳遞特性的評(píng)價(jià)中，并定義了機(jī)構(gòu)的傳遞特性和可操作性綜合性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。WANG等[7]基于螺旋理論互易積理論，結(jié)合能效系數(shù)，定義了并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。劉辛軍等[8-10]以5R機(jī)構(gòu)為例，提出了一類與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的靜力傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，解決了在不同形式的運(yùn)動(dòng)旋量和力旋量的組合下，傳遞功率最大值的求解問(wèn)題，增強(qiáng)了文獻(xiàn)[7]所述評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算模型的實(shí)用性與時(shí)效性。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣能夠反映驅(qū)動(dòng)端運(yùn)動(dòng)與執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系，故而，基于雅可比矩陣定義相應(yīng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)，可用于評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的傳遞性能。YOSHIKAWA[11-12]基于雅可比矩陣奇異值分解原理，提出了串聯(lián)機(jī)器人可操作度指標(biāo)，用以分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力的傳遞性能。季曄等[13]通過(guò)對(duì)一種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣進(jìn)行求導(dǎo)分析，繪制出機(jī)構(gòu)承載力與驅(qū)動(dòng)力性能圖譜。

本文以3PSS/S(P表示移動(dòng)副，S表示球副)和3RRR(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，引入功耗比性能指標(biāo)，建立兩種機(jī)構(gòu)的功耗比數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值對(duì)比分析，結(jié)合3PSS/S并聯(lián)樣機(jī)進(jìn)行功耗比實(shí)驗(yàn)，并與理論功耗比曲線進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證功耗比性能指標(biāo)的有效性。

1 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

3PSS/S與3RRR[14]并聯(lián)機(jī)構(gòu)均具有三轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，可作為肩關(guān)節(jié)仿生機(jī)構(gòu)。本文以此兩個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，設(shè)定各自機(jī)構(gòu)參數(shù)及相同的運(yùn)動(dòng)軌跡，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行兩類機(jī)構(gòu)的功耗比性能分析。

1.1 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

圖1所示為3PSS/S球面并聯(lián)仿生肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)[15]，它主要由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、三條對(duì)稱的PSS運(yùn)動(dòng)支鏈和一個(gè)中間球副S支鏈組成，H為中間球副的球心(機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心)。建立固定坐標(biāo)系Hxyz，z軸沿HO1向上為正，x軸在z軸與HA1所決定的平面且垂直于z軸，方向指向桿A1B1所在一側(cè)。建立與動(dòng)平臺(tái)固連的動(dòng)坐標(biāo)系O1uvw，其中，w軸垂直于動(dòng)平臺(tái)向上為正，u軸沿B1O1方向指向B1。h為HO1的間距，ε是定平臺(tái)三棱錐O2C1C2C3的結(jié)構(gòu)參數(shù)，L1為三條支鏈定長(zhǎng)桿的桿長(zhǎng)，L2為與動(dòng)平臺(tái)相連的三個(gè)球副所在外接圓的半徑。

圖1 3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the 3PSS/S parallel shoulder joint mechanism

設(shè)定此三轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)輸出角速度矢量ω=(ωx,ωy,ωz)T、所受外力Fg=(fx,fy,fz)T、外力矩Mg=(Mx,My,Mz)T，則驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量

ν=J-1ω=(v1,v2,v3)T

(1)

輸入力矢量

Fr=JTMg=(F1,F2,F3)T

(2)

式中，v1、v2、v3為三個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的移動(dòng)速度；F1、F2、F3為三個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力；J為速度雅可比矩陣。

機(jī)構(gòu)的輸出功率Po為動(dòng)平臺(tái)分別在x、y、z軸方向的角速度與各自方向上所受力矩乘積的代數(shù)和，即

Po=Mxωx+Myωy+Mzωz

(3)

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)沿既定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)對(duì)動(dòng)平臺(tái)所做功并非全為正功，考慮到驅(qū)動(dòng)電機(jī)的實(shí)際耗能，機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸入功率Pi為各驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出功率絕對(duì)值的代數(shù)和，即

Pi=|F1v1|+|F2v2|+|F3v3|

(4)

為衡量不同位姿下功耗傳遞性能，定義功耗比性能指標(biāo)為

K=Po/Pi

(5)

由定義式可知，K≤1。K值越大，驅(qū)動(dòng)電機(jī)所做有效功越多，機(jī)構(gòu)功耗傳遞性能越佳；反之，驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出功耗轉(zhuǎn)換成的機(jī)構(gòu)輸出功耗越少，機(jī)構(gòu)功耗傳遞性能越差。

1.2 3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

如圖2所示，取3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)球心點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)的中心，按照D-H連桿坐標(biāo)系規(guī)定的方法建立坐標(biāo)系Ox0y0z0、Oxyz和Oxijyijzij(i,j=1,2,3,分別表示第i分支的第j轉(zhuǎn)動(dòng)副)，令ui、vi、wi(i,j=1,2,3)分別表示坐標(biāo)軸zi1、zi2、zi3(i=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的單位矢量。

圖2 3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of the 3RRR parallel mechanism

機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)表示如下：α1為zi1軸與zi2軸的夾角，α2為zi2軸與zi3軸的夾角，β1為zi3軸與OH′(H′為動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn))的夾角，β2為zi1軸與OH(H為定平臺(tái)的中心點(diǎn))的夾角，η1i(i=1,2,3)為zi1軸在下平臺(tái)的投影與z11軸投影所成的角，η2i(i=1,2,3)為zi3軸在上平臺(tái)的投影與z13軸投影所成的角度。

ω′=G-1ωc=(ω1,ω2,ω3)T

(6)

輸入力矩為

(7)

式中，ω1、ω2、ω3為三個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角速度;M1、M2、M3為三個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩;G為運(yùn)動(dòng)雅可比矩陣。

進(jìn)而，3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比表達(dá)式為

(8)

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比數(shù)值計(jì)算

為方便分析，對(duì)于3PSS/S和3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，統(tǒng)一采用RPY角描述其動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)，設(shè)定兩并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間半徑r′=80 mm，其中3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如下：α1=90°，α2=90°，β1=60°，β2=45°，η11=η21=0°，η12=η22=120°，η13=η23=240°，球面機(jī)構(gòu)半徑r1=80 mm。3PSS/S的尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)

(a)φz=10°

(b)φz=20°

(c)φz=30°圖3 動(dòng)平臺(tái)正向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)3PSS/S與3RRR機(jī)構(gòu)功耗比對(duì)比Fig.3 Power consumption ratio comparison between 3PSS/S and 3RRR mechanism when the moving platform rotates in the forward direction

選定3PSS/S與3RRR機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)繞固定坐標(biāo)系x、y、z軸逆向轉(zhuǎn)動(dòng)，定義姿態(tài)角φz分別等于-10°、-20°、-30°，φx、φy同時(shí)在步長(zhǎng)為1°的區(qū)間[-30°,-10°]內(nèi)變化時(shí)，兩并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比變化趨勢(shì)對(duì)比如圖4所示，計(jì)算、整理功耗比均值如表2所示。由表2可知，在上述工作空間范圍內(nèi)，3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比平均值較大，為0.599 5，而3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗比平均值與其相差0.003 5，占比為0.583 8%，由此可見(jiàn)，在此工作空間內(nèi)，兩并聯(lián)機(jī)構(gòu)功耗傳遞性能基本相當(dāng)。

3 3PSS/S并聯(lián)樣機(jī)功耗比實(shí)驗(yàn)及其分析

如圖5所示，3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機(jī)[16]由機(jī)械本體、伺服電機(jī)和控制柜等單元組成。在樣機(jī)動(dòng)平臺(tái)中心安裝陀螺儀傳感器，通過(guò)串口轉(zhuǎn)換器將測(cè)量得到的動(dòng)平臺(tái)角度及角速度數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)反饋至上位機(jī)，進(jìn)而通過(guò)數(shù)據(jù)處理得到負(fù)載對(duì)動(dòng)平臺(tái)的廣義力矩。與此同時(shí)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)控制器的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，獲取驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)的扭矩輸出量。

不妨設(shè)定動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角φx=0°、φy=0°、φz=-15°為初始啟動(dòng)姿態(tài)，在動(dòng)平臺(tái)上放置質(zhì)量為2 kg的圓柱狀負(fù)載，通過(guò)軌跡規(guī)劃，設(shè)定機(jī)構(gòu)移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)的輸入數(shù)據(jù)，如表3所示。在驅(qū)動(dòng)電機(jī)的控制下，三個(gè)移動(dòng)副從位置1到位置9依次運(yùn)動(dòng)，圖6所示為移動(dòng)副在位置2、位置4、位置6、位置8等不同換向位置時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(a)φz=-10°

(b)φz=-20°

(c)φz=-30°圖4 動(dòng)平臺(tái)逆向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)3PSS/S與3RRR機(jī)構(gòu)功耗比對(duì)比Fig.4 Power consumption ratio comparison between 3PSS/S and 3RRR mechanism when the moving platform rotates in the backward direction

3PSS/S平均功耗比K13RRR平均功耗比K2差值絕對(duì)值δ?x,?y∈[-30°,-10°]?z=-10°0.62360.66480.0412?z=-20°0.69410.66490.0292?z=-30°0.77660.66490.1117?x,?y∈[10°,30°]?z=10°0.51510.48970.0254?z=20°0.49500.52090.0295?z=30°0.47190.59160.1197功耗比均值0.59600.59950.0035

在輸入端，通過(guò)控制系統(tǒng)反饋伺服電機(jī)力矩T1、T2、T3以及驅(qū)動(dòng)角速度ω1、ω2、ω3，可得輸入瞬時(shí)功率表達(dá)式為

Pi=|T1ω1|+|T2ω2|+|T3ω3|

(9)

圖5 3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機(jī)功耗比實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.5 Power consumption ratio experimental system of 3PSS/S parallel mechanism

在輸出端，利用陀螺儀測(cè)量動(dòng)平臺(tái)繞固定坐標(biāo)軸x、y、z的轉(zhuǎn)動(dòng)角度φx、φy、φz。為確保測(cè)量數(shù)據(jù)的連續(xù)性，陀螺儀采用每秒100次的測(cè)量頻率，將所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行曲線擬合，得φx、φy、φz的擬合函數(shù)分別為

表3 移動(dòng)副運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)

(a)位置2 (b)位置4

(c)位置6 (d)位置8圖6 不同換向位置時(shí)3PSS/S并聯(lián)樣機(jī)姿態(tài)示意圖Fig.6 Posture diagram of 3PSS/S parallel prototype in different commutation position

(10)

(11)

(12)

進(jìn)而可得動(dòng)平臺(tái)角度變化曲線,如圖7所示。

圖7 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角度變化曲線Fig.7 Angle curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

將所得擬合函數(shù)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得動(dòng)平臺(tái)繞x、y、z各軸的角速度擬合函數(shù):

(13)

(14)

(15)

進(jìn)而繪制得到機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角速度變化曲線,如圖8所示。

圖8 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角速度變化曲線Fig.8 Angular velocity curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

將所得擬合函數(shù)對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，得動(dòng)平臺(tái)繞x、y、z各軸的角加速度擬合函數(shù):

(16)

(17)

(18)

進(jìn)而可得機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角加速度變化曲線,如圖9所示。

圖9 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角加速度變化曲線Fig.9 Angular acceleration curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

前述所得3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)角度、角速度以及角加速度擬合函數(shù)中，各參數(shù)值如表4所示。

表4 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)擬合函數(shù)參數(shù)Tab.4 Motion fitting function parameters of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

設(shè)定Jx、Jy、Jz為負(fù)載分別在x、y、z三軸方向上產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其表達(dá)式分別為

(19)

(20)

(21)

式中，m為圓柱狀負(fù)載質(zhì)量;r0為負(fù)載半徑;h0為負(fù)載高度。

負(fù)載繞各軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其繞對(duì)應(yīng)軸角加速度的乘積，即為負(fù)載作用于動(dòng)平臺(tái)的廣義力矩沿各軸方向的分量，則廣義力矩沿各軸分量表達(dá)式為

Mx=Jxax

(22)

My=Jyay

(23)

Mz=Jzaz

(24)

結(jié)合式(3)，可得輸出端總瞬時(shí)輸出功率表達(dá)式為

Po=Jxaxωx+Jyayωy+Jzazωz

(25)

根據(jù)式(5)、式(9)、式(25)計(jì)算可得3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)功耗比，并結(jié)合MATLAB曲線擬合功能，求到期望軌跡下實(shí)驗(yàn)功耗比曲線,如圖10所示。

圖10 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)功耗比擬合曲線Fig.10 Fitting curve of experimental power consumption ratio of 3PSS/S parallel mechanism

將所得負(fù)載繞x、y、z軸的角度、角速度擬合函數(shù)代入式(1)中，可得機(jī)構(gòu)理論輸入速度，將式(22)～式(24)所得的廣義力矩代入式(2)中，可得機(jī)構(gòu)理論輸入力矩，根據(jù)式(3)～式(5)功耗比理論計(jì)算模型，可得到理論功耗比曲線,如圖11所示。

圖11 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論功耗比曲線圖Fig.11 Fitting curve of theoretical power consumption ratio of 3PSS/S parallel mechanism

選取不同時(shí)間點(diǎn)理論與實(shí)驗(yàn)功耗比數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如表5所示。

表5 3PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論與實(shí)驗(yàn)功耗比數(shù)值對(duì)比

由表5可見(jiàn)，總體而言功耗比實(shí)驗(yàn)數(shù)值低于理論計(jì)算數(shù)據(jù)，且個(gè)別點(diǎn)差值還較大。究其原因，一方面本文中的功耗比性能指標(biāo)基于機(jī)構(gòu)本體進(jìn)行分析，研究重心在于機(jī)構(gòu)功耗比指標(biāo)及不同構(gòu)型間的比較，因此理論模型中暫未考慮因樣機(jī)構(gòu)件的重力、慣性力等而消耗的能量。此外，所研制實(shí)驗(yàn)樣機(jī)運(yùn)動(dòng)副較多，運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)間總是存在一定間隙，而間隙的存在會(huì)導(dǎo)致碰撞而產(chǎn)生能量損失；同時(shí)，運(yùn)動(dòng)副的摩擦力作用也會(huì)產(chǎn)生能耗。對(duì)比圖10與圖11可見(jiàn)，在相同運(yùn)動(dòng)軌跡下，實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)與理論值變化趨勢(shì)大體相同，一定程度上驗(yàn)證了功耗比指標(biāo)模型的有效性。

4 結(jié)論

(1)基于機(jī)構(gòu)輸入端與輸出端的實(shí)際功耗，提出功耗比性能指標(biāo)，可為關(guān)節(jié)仿生機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)；對(duì)比3PSS/S和3RRR兩種球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在既定工況和軌跡下的功耗比數(shù)值，結(jié)果表明兩種機(jī)構(gòu)的功耗傳遞性能大致相當(dāng)。

(2)完成3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機(jī)功耗比實(shí)驗(yàn)，比較其實(shí)驗(yàn)所得功耗比與理論模型計(jì)算功耗比，兩者變化趨勢(shì)相同，驗(yàn)證了功耗比計(jì)算模型的合理性，可為并聯(lián)式肩關(guān)節(jié)工程研制中的能耗預(yù)估提供參考。

[1] YI B J, FREEMAN R A, TESAR D. Force and Stiffness Transmission in a Redundantly Actuated Mechanism: the Case for a Spherical Shoulder Mechanism[J]. ASME, Design Engineering Divison (Publication)DE,1992,45:163-172.

[2] 苑飛虎, 趙鐵石, 趙延治, 等. 并聯(lián)機(jī)構(gòu)承載能力分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2015,26(7):871-877.

YUAN Feihu, ZHAO Tieshi, ZHAO Yanzhi, et al. Analysis of Load Carrying Capacity of Parallel Mechanism[J]. China Mechanical Engineering,2015,26(7):871-877.

[3] KORAYEM M H, BAMDAD M. Dynamic Load-carrying Capacity of Cable-suspended Parallel Manipulators[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2009,44(7/8):829-840.

[4] KORAYEM M H, BAMDAD M, TOURAJIZADEH A, et al. Analytical Design of Optimal Trajectory with Dynamic Load-carrying Capacity for Cable-suspended Manipulator[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2012,60:317-327.

[5] TSAI M J, LEE H W. Generalized Evaluation for the Transmission Performance of Mechanisms[J]. Mechanism and Machine Theory,1994,29(4):607-618.

[6] CHANG W T, LIN C C, LEE J J. Force Transmissibility Performance of Parallel Manipulators[J]. Journal of Robotics System,2003,20(11):659-670.

[7] WANG J S, WU C, LIU X J. Performance Evaluation of Parallel Manipulators：Motion/Force Transmissibility and Its Index[J]. Mechanism and Machine Theory,2010,45(10):1462-1476.

[8] LIU X J, WU C, XIE F. Motion/Force Transmission Indices of Parallel Manipulators[J]. Frontiers of Mechanical Engineering,2011,6(1):89-91.

[9] 陳祥, 謝富貴, 劉辛軍. 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)/力傳遞功率最大值的評(píng)價(jià)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2014,50(3):1-9.

CHEN Xiang, XIE Fugui, LIU Xinjun. Evaluation of the Maximum Value of Motion/Force Transmission Power in Parallel Manipulators[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2014,50(3):1-9.

[10] WU C, LIU X J, WANG L. Optimal Design of Spherical 5R Parallel Manipulators Considering the Motion/Force Transmissibility[J]. Journal of Mechanical Design,2010,132(3):031002.

[11] YOSHIKAWA T. Manipulability of Robotic Mechanisms[J]. The International Journal of Robotics Research,1985,4(2):3-9.

[12] YOSHIKAWA T. Dynamic Manipulability of Robot Manipulators[J]. Journal of Robotic Systems,1985,2(1):113-124.

[13] 季曄, 劉宏昭, 原大寧, 等. 一種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2012,23(3):258-263.

JI Ye, LIU Hongzhao, YUAN Daning, et al. Analyses for Performance Indices of a Four-DOF Parallel Manipulator[J]. China Mechanical Engineering,2012,23(3):258-263.

[14] 周玉林, 劉磊, 高峰. 3自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RRR靜力全解[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2008,44(6):169-176.

ZHOU Yulin, LIU Lei, GAO Feng. Static Full-solutions of Spherical Parallel Mechanism 3-RRR with 3-DOF[J]. Journal of Mechanical Engineering,2008,44(6):169-176.

[15] HOU Y L, HU X Z, ZENG D X, et al. Biomimetic Shoulder Complex Based on 3-PSS/S Spherical Parallel Mechanism[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2014,28(1):29-37.

[16] HOU Y L, LI Z S,WANG Y, et al. Mechanics Unloading Analysis and Experimentation of a New Type of Parallel Biomimetic Shoulder Complex[J]. Chinese Journal of Mechnaical Engineering,2016,29(4):649-658.