程鉦鴻+屈本寧+黃坤+馬琨

摘要： 本文通過Galerkin方法對經(jīng)典的懸索橋垂向彎曲振動方程進行離散，得到了包含三個二階方程的常微分組。通過該常微分方程組的解析解，研究了車過載荷作用下結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為，并和有限元計算結(jié)果進行對比。研究結(jié)果顯示，Galerkin方法得到的一階、二階振動頻率和有限元結(jié)果一致，但三階模態(tài)的振動頻率比有限元的結(jié)果大；車過載荷作用下，三階模態(tài)截斷得到的解析解在整體運動趨勢和有限元計算結(jié)果一致。因此，要較精確的描述懸索橋的動力學(xué)行為，需要考慮二階和三階模態(tài)。

Abstract： In this paper， a system of second order ordinary differential equations （ODEs） is obtained through applying Galerkin method in the classical mathematical model of bending vibration of the suspension bridges. The ODEs， which include three equations， are used to describe the vibrations of the bridge for the vehicle loads. By comparing the analysis solutions of the ODEs with the solutions of finite element， the conclusions can be found as follow： ①the first two analytical frequencies are good agree with the finite element one， but the third analytical frequency is greater than the finite element one about 10%； ②for the vehicle loads， the analytical solutions describe appropriately the entirety motion. Therefore， when the oscillations of the bridge are researched， it is necessary to take the second and third order modal into account.

關(guān)鍵詞： 懸索橋；Galerkin方法；車過載荷；有限元

Key words： suspension bridge；Galerkin method；vehicle loads；finite element simulation

中圖分類號：U443.38 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）04-0215-05

0 引言

懸索橋是大跨橋梁的首選橋型之一，其力學(xué)性質(zhì)已被廣泛而深入的研究[1]。1888年，T.Melan在他的著作《拱和吊橋理論》首次提出了有加勁梁的懸索橋撓度理論[1]。Reissner等建立了包括彈性主纜、吊桿和加勁梁的懸索橋模型；并考慮了截面的扭轉(zhuǎn)，以及索、梁的大位移和剪切變形的影響。Reissner[2]使用Rayleigh法得到了基頻，說明剪切變形對低階頻率的影響較小，但對高階頻率影響較大。Bleich[3]等人將懸索橋的線性靜態(tài)位移理論擴展到動態(tài)的情況，并假設(shè)加勁梁通過不可伸長的吊桿連接到彈性主纜上。該模型忽略了縱向位移和剪切變形的影響。他們研究發(fā)現(xiàn)主纜初始張力對一階自然頻率具有關(guān)鍵影響，而主梁的剛度對此基頻的影響很小。Hayashikawa和Kim[4]等人使用非線性模型研究了懸索橋的自由垂向振動，并考慮了加勁梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，得到的結(jié)果與Reissner一致。Abdel-Ghaffar[5]通過有限元方法研究了垂向彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合振動，并考慮了橫向變形的影響。結(jié)果顯示，在低頻振動情況下，垂直和扭轉(zhuǎn)的振動不耦合。Abdel-Ghaffa結(jié)果同樣證明，梁的剛度對低頻振動的固有頻率影響很小，但對高頻振動的影響很明顯[5]。Luco和Turmo[6]等人利用經(jīng)典的連續(xù)懸索橋模型，研究主纜軸向剛度和加勁梁彎曲剛度對懸索橋的固有頻率、振型的影響。

在大多數(shù)使用數(shù)學(xué)模型研究懸索橋力學(xué)問題的文獻中，主要討論結(jié)構(gòu)的靜力和自由振動頻率問題，對受迫振動問題較少關(guān)注。事實上，在實際使用過程中，懸索橋受迫振動時的力學(xué)行為對結(jié)構(gòu)的安全使用更為關(guān)鍵。例如，美國Tacoma橋就是在風(fēng)致受迫振動中倒塌的[7，8]。在正常使用環(huán)境中，車過載荷是橋梁受迫振動的主要來源之一。而且，大多數(shù)研究僅使用一階模態(tài)來研究車過載荷對結(jié)構(gòu)的影響。而對于大跨度懸索橋，車過載荷的激勵頻率遠離結(jié)構(gòu)的一階自由振動頻率，但高速行駛的車輛可能激發(fā)結(jié)構(gòu)的較低階模態(tài)的共振。因此較高階模態(tài)在結(jié)構(gòu)振動中的作用會變得顯著。在本文中，我們將采用Galerkin方法對經(jīng)典線性撓度理論模型，進行三階截斷得到一組包含三個二階方程的常微分方程組，并以此為基礎(chǔ)來討論車過載荷對結(jié)構(gòu)的影響。論文剩余部分安排如下：在第二節(jié)，將使用Galerkin方法對偏微分方程進行離散，得到常微分方程組，并對該方程組進行求解。第三節(jié)，使用有限元軟件ANSYS對某大橋進行數(shù)值計算，并和Galerkin方法得到的結(jié)果進行對比討論。最后一節(jié)給出初步結(jié)論。

1 懸索橋理論計算

懸索橋由主纜通過吊桿與加勁梁進行連接，通過主纜把豎向力傳遞到主塔進而傳遞給基礎(chǔ)。主纜拉力通過邊纜錨固作用而傳遞到地基上，如圖1所示。

根據(jù)懸索橋撓度理可得經(jīng)典的懸索橋垂向運動微分方程[1，9，10]：endprint

由于阻尼作用，結(jié)構(gòu)的自由振動將快速衰減，因此可僅考慮受迫振動項對懸索橋的影響。此時結(jié)構(gòu)垂向位移為：

從上式可知，結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)三個振動頻率。

2 算例及有限元模擬

本節(jié)將以車輛過橋時的動力學(xué)行為列，來分析解析解的有效性。在此與有限元計算的結(jié)果為比較對象。某懸索橋參數(shù)如下[6，14]：橋長L=1490m，梁抗彎剛度EI=4.167×1011Nm2，主纜拉力的水平分力Hw=4.84×108N，主纜單位長度質(zhì)量mc=7.634×103kgm-1，重力加速度g=9.8ms-2主纜長度Lc=1592m，主纜沿橋方向單位長度恒載G=7.6711×108Nm-1，梁單位長度質(zhì)量md=1.8387×104kgm-1，主梁單位長度恒載gs=1.8019×104Nm-1，單位長度主纜和梁的質(zhì)量和為m=2.6211×104kgm-1，單位長度主纜和梁的重力為W=gc+gs=2.56962×105Nm-1，兩根主纜截面積和Ac=0.9469m2，主纜彈性模量Ec=2×1011Pa，跨中主纜垂度f=149m，懸索橋主纜線形y=4fl-2x（l-x），通過計算得到參數(shù)Lp=1612m，b=33.3897。

本文采用限元軟件Ansys建立橋梁有限元模。將橋梁的梁、塔、主纜以及吊桿分別離散。橋主梁采用beam188單元，按吊桿與橋面連接處進行離散。主纜采用link10單元并設(shè)置為單向受拉桿單元進行模擬，并按照吊桿與主纜連接處進行離散。由于主纜在成橋狀態(tài)下有初始應(yīng)力，建模時候給主纜單元初始應(yīng)變。應(yīng)變大小按照主纜水平拉力Hw與主纜線形計算出各個節(jié)點處的主纜拉力[1，9，15]。

根據(jù)主纜彈性模量和截面積計算各個節(jié)點的應(yīng)變。吊桿也采用link10單元并且設(shè)置為單向受拉桿。有限元模型如圖2、圖3所示。把上述資料數(shù)據(jù)帶入有限元程序可得到各階頻率，以及根據(jù)（8）式計算的近似解析頻率見表1。

通過誤差分析可以發(fā)現(xiàn)，近似解析頻率和有限元模擬頻率在前2階頻率基本一致，高階頻率出現(xiàn)一定誤差。基頻的誤差不到百分之二。在實際工程中結(jié)構(gòu)，一般低頻對結(jié)構(gòu)的影響較大，因此使用Galerkin方法得到的基頻是滿足工程實際要求的。

此外，通過有限元模擬，可以得到各階的模態(tài)。它們和本文采用的三角函數(shù)模態(tài)的對比如圖4、圖5及圖6所示。

由圖4和圖5可以看出，一階和二階模態(tài)與有限元結(jié)果較為吻合。但圖6顯示，高階模態(tài)和有限元的結(jié)果定性上一致，但定量上差別較大。

在計算車過時結(jié)構(gòu)的振動時，取車載（：汽車重力100kN車速分別為36km/h、72km/h和108km/h）。把上述參數(shù)代入（13），可得結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)解析解。取x=745以及x=372.5，可得左起二分之一和四分之一跨主梁的位移時程曲線。它們和有限元模擬的數(shù)值解結(jié)果如圖7至圖12所示。

上述對比可知，近似解析解和有限元的結(jié)果總體上趨勢是一致的。解析解在垂直向上方向的位移和有限元接近，而向下的位移要小于有限元的結(jié)果。事實上，從方程（1）可知，懸索橋的數(shù)學(xué)模型中包含二次非線性項。結(jié)構(gòu)振動時，此二次非線性項將使得振幅出現(xiàn)漂移，結(jié)果是橋面振動中心偏離靜平衡位置[17]。本文得到的解析解沒有考慮非線性項，因此計算的結(jié)果得到的垂向向下的位移小于有限元的結(jié)果。此外，從圖7和圖10可以看出，在車輛低速通過橋梁時，有限元的計算結(jié)果顯示結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了較大幅值的高頻振動，而解析解沒有出現(xiàn)此高頻振動成份。這可能是載荷的頻率和結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)產(chǎn)生了共振或組合共振，進而激發(fā)較大幅值的高頻振動[17]。而且解析解忽略了自由振動的影響，事實上在無阻尼情況下，自由振動會被外載荷激發(fā)。因此，要精確的描述懸索橋的動力學(xué)特性，考慮非線性項以及橋梁阻尼是必要的。該問題我們將另文討論。

3 結(jié)論

本文基于撓度理論建立懸索橋連續(xù)數(shù)學(xué)方程模型，使用Galerkin方法得到了考慮前3階模態(tài)共同作用下，描述懸索橋車過載荷時的二階常微分方程組。通過解析求解該微分方程組，并和有限元的計算結(jié)果進行比較，得到如下結(jié)論：①Galerkin方法得到的一階和二階頻率和有限元結(jié)果一致，但三階模態(tài)的頻率比有限元的結(jié)果大10%；②在車過載荷作用下，三階模態(tài)截斷得到的解析解，很好的描述有限元計算結(jié)果的整體運動趨勢。而且車輛的速度較快時，兩者的結(jié)果符合的越好。

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