王曉瑛,岳霞霞,劉華寧

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安 710127)

1 引言

設(shè)整數(shù)h,q滿足q＞0.經(jīng)典的Dedekind和的定義為

其中

Dedekind和S(h,q)在Dedekindη函數(shù)的研究中起著重要作用,詳見文獻(xiàn)[1,2]或者[3]的第3部分.

Berndt[4]引入了如下的Hardy和

并研究了其性質(zhì).Sitaramachandrarao[5]將Hardy和表示成Dedekind和的如下形式

在文獻(xiàn)[6]中,徐哲峰與張文鵬研究了短區(qū)間上的Hardy和的均值,并得到了如下漸近公式.

命題1.1設(shè)p≥5為素?cái)?shù),為b關(guān)于模p的乘法逆,則有

其中∈為任意小的正數(shù).

Liu[7]也類似的研究了短區(qū)間上的Hardy和,并得到如下命題.

命題1.2設(shè)p≥5為素?cái)?shù),則有

本文將進(jìn)一步研究合數(shù)模上Hardy和的均值,主要結(jié)果如下.

定理1.1設(shè)q≥5為奇數(shù),則有

其中∈為任意小的正數(shù).

首先將在第2節(jié)中把Hardy和的均值表為DirichletL-函數(shù)的均值;然后在第3節(jié)中計(jì)算相應(yīng)的DirichletL-函數(shù)的均值;最后在第4節(jié)中證明定理1.1.

2 Hardy和的均值表為Dirichlet L-函數(shù)的均值

引理2.1設(shè)整數(shù)q,h滿足q≥3與(h,q)=1,則有

證 見文獻(xiàn)[8]中的引理2.

引理2.2設(shè)q≥3為奇數(shù),h為任意整數(shù),滿足(h,q)=1.則有

證 由引理2.1有

定理2.1 設(shè)q≥5為奇數(shù),則有

證 由引理2.2可得

另一方面,設(shè)χ為模m的原特征,整數(shù)r≥1,λ∈[0,1)且由文獻(xiàn)[9]可得特征和的Fourier展式如下

其中

是 Gauss和,e(y)=e2πiy.由此可得

從而

3 Dirichlet L-函數(shù)的均值

引理3.1設(shè)整數(shù)m,r滿足m≥2與(r,m)=1,χ為模m的Dirichlet特征.則有恒等式

證 見文獻(xiàn)[10]中的引理3.

引理3.2設(shè)d為奇數(shù),則有

證 利用Euler乘積公式,有

其中ζ(s)是 Riemann Zeta函數(shù),滿足

定理3.1 設(shè)d為奇數(shù),m|d,k為給定的正整數(shù),則有

證 考慮非負(fù)整數(shù)k.令其中N為滿足m≤N≤m4的參數(shù),且由 Abel恒等式可得

因此有

首先估計(jì)M2,M3與M4.注意到分拆恒等式

則有

因此

同理可得

此外利用Cauchy不等式,有

因此結(jié)合 (3.1)–(3.4)式可得

設(shè)(a,m)=1.由引理3.1有

從而

注意到估計(jì)式r(n)?n∈.利用剩余系的性質(zhì)可得

現(xiàn)在考慮M11.把對(duì)n1和n2的求和式分成下列四種情況討論

不難證明

此外還有

以及

結(jié)合 (3.5)–(3.10)式可得

當(dāng)k≥1時(shí),取N=m3,有

而當(dāng)k=0時(shí),取N=m3,并利用引理3.2可得

4 定理1.1的證明

由定理2.1與定理3.1有

這就證明了定理1.1.

[1]陳國(guó)慧,劉寶利.關(guān)于Dedekind和的一些恒等式[J].數(shù)學(xué)雜志,2014,34(2):198–204.

[2]Rademacher H.Dedekind sums[M].Washington:Math.Assoc.Amer.,1972.

[3]Apostol T M.Modular function and Dirichlet series in number theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

[4]Berndt B C.Analytic Eisenstein series,theta-functions,and series relations in the spirit of Ramanujan[J].J.Reine Angew.Math.,1978,303/304:332–365.

[5]Sitaramachandrarao R.Dedekind and Hardy sums[J].Acta Arith.,1987,48(4):325–340.

[6]Xu Z,Zhang W.The mean value of Hardy sums over short intervals[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A,2007,137(4):885–894.

[7]Liu W.Mean value of Hardy sums over short intervals[J].Acta Math.Acad.Paedagog.Nyh′azi.(N.S.),2012,28(1):1–11.

[8]Zhang W.On the mean values of Dedekind Sums[J].J.Th′eor.Nombres Bordeaux,1996,8(2):429–442.

[9]P′olya G.¨Uber die verteilung der quadratischen reste and nicht-reste[J].G¨ottingen Nachrichten,1918:21–29.

[10]Zhang W.On a Cochrane sum and its hybrid mean value formula[J].J.Math.Anal.Appl.,2002,267(1):89–96.