丁 彪，鄭傳超，彭子馨，陳團結(jié)

(1.中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司，陜西 西安 710075；2.長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；3.西安西北民航項目管理公司，陜西 西安 710065)

瀝青混合料的疲勞損傷與多種因素相關(guān)，如材料因素、控制方式、荷載大小、試驗方法、加載波形等[1-2]。國內(nèi)外學(xué)者從不同的角度研究了瀝青混合料的疲勞損傷機理，針對不同的研究對象，提出了相應(yīng)的疲勞損傷模型，使得瀝青混合料的疲勞損傷的認識不斷的深化[3- 6]。然而學(xué)者們關(guān)注的重點是瀝青混合料的疲勞壽命與以上各因素之間的關(guān)系，很少去探究試件在疲勞試驗過程中結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的變化。另外，現(xiàn)有瀝青路面設(shè)計規(guī)范把路面結(jié)構(gòu)層層底拉應(yīng)力作為控制指標具有一定的局限性，其主要考慮了車輪荷載作用下路面結(jié)構(gòu)底部的拉應(yīng)力，忽視了路表疲勞對面層開裂的影響，導(dǎo)致了部分研究者認為路面疲勞是由結(jié)構(gòu)層層底往上逐漸擴展。因此，筆者基于瀝青混合料四點彎曲疲勞試驗，建立了相應(yīng)的力學(xué)模型，分析了不同的加載波形情況下小梁的剛度變化狀況，模擬了路面結(jié)構(gòu)層由上下兩邊往中間發(fā)展和由下往上擴展的情況。

1 瀝青混合料疲勞試驗加載波形

1.1 加載波形

車輪在路面上滾動是不斷加載和卸載的過程，在計算過程中，一般將這種周期變化的形式用波來表示，在疲勞試驗中小梁的荷載波形有3種形式，即正弦波、半正弦波和半正矢波[7]。對應(yīng)的表達式和圖形分別如式(1)和圖1。

F(t)=Asinωt

F(t)=A·|sinωt|

(1)

式中：A為振幅；ω=2πf，f為頻率。

圖1 正弦波、半正弦波、半正矢波示意Fig.1 Schematic of sine wave, half sinewave and haversine wave

假設(shè)小梁截面下部受拉時所受的荷載為正，由圖1可見，在正弦荷載作用的一個周期內(nèi)，小梁經(jīng)過加載-卸載-加載-卸載4個階段，前半個周期內(nèi)，小梁截面下部受拉，上部受壓，而后半個周期內(nèi)小梁截面的上部受拉，下部受壓，并且兩者是對稱的。對于半正弦波和半正矢波，在一個周期內(nèi)，小梁的荷載變化經(jīng)過兩個階段，即加載-卸載，此時，小梁的下部始終處于受拉狀態(tài)，而上部始終處于受壓狀態(tài)。

由以上分析可知，小梁的損傷與所選用的加載波形是密切相關(guān)的，當(dāng)小梁為均質(zhì)材料時，采用正弦波進行加載，小梁的疲勞損傷由梁的上下截面同時向中性軸位置擴展；當(dāng)采用半正矢波或者半正弦波進行加載時，損傷會由梁的下部向上擴展。

1.2 不同加載波形對應(yīng)的路面受力狀態(tài)

疲勞試驗中的加載波形需要與路面實際受力狀態(tài)相對應(yīng)，車輪荷載作用下路面受力狀態(tài)如圖2。由圖2可見，當(dāng)車輪行駛至B點時，路表A點、C點和車輪正下方的D點產(chǎn)生拉應(yīng)力，車輪下方的路表B點為壓應(yīng)力；當(dāng)車輪向C點方向行駛時，路表C點處由受拉狀態(tài)變?yōu)槭軌籂顟B(tài)，整個過程可以用正弦波來描述；在車輪荷載用下，當(dāng)路表處產(chǎn)生的拉應(yīng)力較小，即當(dāng)圖2中的A點和C點處的應(yīng)力趨于0時，可以不考慮其影響，即認為路面從層底開始受重復(fù)拉應(yīng)力作用而破壞，該過程可以假設(shè)為半正弦波和半正矢波。

圖2 車輪荷載作用下路面受力狀態(tài)Fig.2 Stress state of pavement under wheel load

2 瀝青混合料剛度損傷模型

2.1 損傷模型的建立

為了模擬四點彎曲小梁疲勞試驗，筆者設(shè)計一個簡支梁模型，小梁的長度為L, 寬度為b, 高度為h，見圖3，且假設(shè)小梁是均質(zhì)的。

圖3 應(yīng)變疲勞小梁荷載Fig.3 Load on the small beam in strain fatigue test

由第1節(jié)的分析可知，小梁的損傷擴展有兩種形式，在正弦波作用下，截面的損傷由兩側(cè)向中性軸位置擴展(圖4)，在半正弦波和半正矢波作用下，截面的損傷由下部向上擴展(圖5)。

圖4 損傷由截面上下兩側(cè)向中性軸位置擴展Fig.4 Damage developing from the upper and lower sides of the cross-section to the neutral axis

圖5 損傷由截面下側(cè)向上擴展Fig.5 Damage extending from lower sides of the section to the upper sides

其中z為中性軸位置，hn為截面中性軸到截面上表面的距離，h0為損傷區(qū)域的高度，當(dāng)h0/h=0時，表示截面未損傷，當(dāng)h0/h=1時，表示截面完全損傷。

2.2 疲勞試驗終止條件

在應(yīng)變疲勞試驗中，一般認為小梁截面的終止勁度與初始勁度減小到一定的比值時即認為小梁截面破壞，勁度在循環(huán)荷載作用下衰變規(guī)律如圖6。

圖6 小梁勁度在循環(huán)荷載作用下的衰變規(guī)律Fig.6 Attenuation rule of small beam stiffness under cyclic loading

本研究中假設(shè)E0為終止勁度，E為初始勁度，考察E0/E為不同的比值時，損傷的擴展對截面剛度的影響。

2.3 小梁剛度

材料力學(xué)中，小梁的截面彎曲剛度以EI來表示，由彈性均質(zhì)梁的撓曲線微分方程導(dǎo)出[8]：

EI=M/(1/ρ)=M/φ

(2)

式中：M為跨中最大彎矩；ρ為截面曲率半徑；φ為截面曲率。

3 小梁相對剛度變化分析

3.1 損傷由上下兩邊往中間擴展時截面相對剛度變化分析

小梁的總高度為h，假設(shè)損傷由上下兩側(cè)向中間擴展時是對稱的，則中性軸位置不變。

由圖4及式(1)可得：

則截面損傷后的剛度為

相對剛度為

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規(guī)律如圖7。

圖7 損傷由上下兩邊向中間發(fā)展時截面相對剛度變化Fig.7 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the upper and lower sides to the middle

3.2 損傷由截面下側(cè)往上擴展時截面的相對剛度變化分析

當(dāng)小梁截面的損傷由下側(cè)往上擴展時(圖5)，小梁截面的中性軸位置也會隨之不斷變化，由小梁截面合力為0的條件得：

整理后得小梁的中性軸位置：

為了便于分析，中性軸與截面上表面的距離采用hn/h來表示，中性軸位置隨損傷擴展時的變化規(guī)律見圖8。

圖8 損傷由小梁截面下側(cè)往上發(fā)展時截面中性軸位置的變化Fig.8 Variation of the neutral axis position of the cross-section when damage develops from the lowers sides to the upper sides

由式(2)得：

則截面損傷后的剛度：

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規(guī)律如圖9。

圖9 損傷由小梁下表面往上發(fā)展時截面相對剛度變化Fig.9 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides

由圖8可見，當(dāng)損傷由小梁的下表面向上逐漸擴展時，小梁中性軸與上表面的距離hn從初始的0.5h先減小然后再增大，最后中性軸又回到0.5h處，在整個變化過程中，hn存在一個極小值，當(dāng)E0/E越小時，極小值越小，并且出現(xiàn)極值點的位置相對較晚。

由圖9可見，小梁截面剛度的變化大致可以分為3個階段：①小梁的剛度下降較大；②小梁的剛度變化較為平緩；③小梁的剛度下降幅度又有所變大，并且E0/E越大，第2階段越明顯。

4 損傷沿截面線性擴展時小梁截面的相對剛度變化分析

以上所討論的損傷是完全的，即認為損傷區(qū)域內(nèi)部各處的損傷都達到了小梁的終止勁度后才會繼續(xù)發(fā)展。而實際小梁的損傷區(qū)域內(nèi)部的損傷嚴重程度有可能是不同步的，即首先損傷的部位最先達到小梁的終止勁度，而后損傷部位的勁度會大些，在本節(jié)中假設(shè)損傷區(qū)域的勁度是線性變化的，分別如圖10和圖11。

圖10 損傷由上下兩邊向中間發(fā)展Fig.10 Damage developing from the upper and lower sides of the section to the middle

圖11 損傷由小梁截面下側(cè)向上發(fā)展Fig.11 Damage developing from the lower sides to the upper sides of the cross-section of the small beam

4.1 損傷由兩側(cè)往中間擴展時截面相對剛度變化

由圖10所示，損傷由上下兩側(cè)往中性軸擴展，模量在上下兩邊最小為E0，沿著損傷區(qū)域向內(nèi)部逐漸增大，到h0/2處為E，在損傷區(qū)域，縱坐標y處的模量為

由式(2)得：

則剛度為

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規(guī)律如圖12。

圖12 損傷由上下向中間發(fā)展時截面相對剛度變化Fig.12 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the upper and lower sides to the middle

4.2 損傷由截面下側(cè)往上擴展時截面的相對剛度變化

由截面合力為0的條件得

整理后得小梁的中性軸位置：

中性軸位置隨損傷擴展時的變化規(guī)律見圖13。

圖13 損傷由小梁下表面往上發(fā)展時截面中性軸位置的變化Fig.13 Variation of the neutral axis position of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides of the small beam

由式(1)和式(2)得

則截面的剛度為

截面的相對剛度隨損傷擴展的規(guī)律見圖14。

圖14 損傷由小梁下表面往上發(fā)展時截面相對剛度的變化Fig.14 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides of the small beam

由圖13可見，隨著損傷的擴展，小梁中性軸與截面上表面的距離hn由0.5h先減小然后再增加；同3.2節(jié)，中性軸在變化過程中會出現(xiàn)一個極小值，E0/E越小，則極小值越??；并且當(dāng)整個截面都損傷后，E0/E越小，中性軸距離截面上表面的距離越近。

由圖14可見，截面的剛度會隨著損傷的擴展而逐漸增大，E0/E越小，則剛度下降的幅度越大。

5 結(jié) 論

瀝青混合料的損傷變化規(guī)律與加載采用的波形相關(guān)，在正弦波作用下，小梁的損傷由上下截面同時向中性軸位置發(fā)展，而在半正矢波或半正弦波荷載作用下，小梁的損傷由截面下側(cè)向上擴展?；跉W拉公式理論，筆者建立了相應(yīng)理論模型對以上兩種情況進行探討，得出了以下結(jié)論：

1)在正弦波作用下，小梁的相對剛度在初始階段下降較快，而后期下降速度較慢。

2)在半正弦波或者半正矢波作用下，小梁的中性軸與截面上表面的距離hn由初始的0.5h逐漸減小，當(dāng)達到一定的值時，又逐漸加大，最后又返回到0.5h處。

3)在半正弦波或者半正矢波作用下，小梁的相對剛度下降分為3個階段，首先下降較快，隨后進入穩(wěn)定變化階段，最后小梁的剛度又會有所下降。

4)分析了損傷沿截面線性擴展時截面的相對剛度變化，當(dāng)損傷由兩側(cè)向中間擴展時，小梁的相對剛度在初期下降較快，隨后變緩；當(dāng)損傷由截面下側(cè)往上擴展時，小梁的中性軸與截面上側(cè)的距離hn由初始的0.5h先減小后增大，截面的相對剛度變化在初始階段下降較大，隨后逐漸變緩，最后下降幅度又會增加。

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