彭亞發(fā)

（浙江安防職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，浙江 溫州 325016）

0 引 言

鉛酸電池被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、軍事、日常生活中。鉛酸電池經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會(huì)發(fā)生衰減，要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)電池在當(dāng)前負(fù)荷下以當(dāng)前電流強(qiáng)度放電到最低保護(hù)電壓的剩余放電時(shí)間非常困難。針對(duì)鉛酸電池的剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)，學(xué)者開(kāi)展了諸多研究。如李勃等采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行模糊分類(lèi)及自適應(yīng)求解，并預(yù)測(cè)電池在斷電狀態(tài)下的供電時(shí)間[1]。王宏亮等就鉛酸電池剩余放電時(shí)間建立了改進(jìn)的卡爾曼濾波算法，并結(jié)合該算法提出基于雙卡爾曼濾波的鉛酸電池SOC估算方法[2]?？傮w上看，這些方法都

有一定的局限性。為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鉛酸電池剩余放電時(shí)間，在不考慮鉛酸電池的自放電，即鉛酸電池在不工作時(shí)存在放電現(xiàn)象，以及鉛酸電池工作環(huán)境不變，即不考慮環(huán)境對(duì)鉛酸電池影響的情況下，繪制以固定電流放電時(shí)的放電曲線，針對(duì)放電的不同階段，分析其中的放電規(guī)律，選取不同初等函數(shù)對(duì)放電曲線進(jìn)行擬合，最后計(jì)算出不同初等函數(shù)擬合放電曲線的平均相對(duì)誤差（MRE），擇優(yōu)得到電壓隨放電時(shí)間的最佳擬合曲線。

1 鉛酸電池放電曲線規(guī)律分析

為了分析鉛酸電池放電曲線規(guī)律，在選用初等函數(shù)對(duì)鉛酸電池放電曲線進(jìn)行描述時(shí)，先根據(jù)電壓隨時(shí)間變化值，分別繪制放電曲線，分析放電曲線規(guī)律。通過(guò)對(duì)鉛酸電池固定電流為20A時(shí)的放電情況進(jìn)行實(shí)證分析，將放電曲線劃分為放電初期、中期和末期三個(gè)階段，最后借助MRE值的計(jì)算方法，對(duì)鉛酸電池放電曲線進(jìn)行分階段和整體擬合，并對(duì)擬合結(jié)果加以分析，以期準(zhǔn)確分析鉛酸電池放電規(guī)律。

1.1 MRE值的計(jì)算方法

設(shè)n, n, n分別代表三個(gè)階段所測(cè)電壓樣本點(diǎn)總123數(shù)，先按比例分配，即放電初期應(yīng)選取樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)電中期選取樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為：p=2電末期選取樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)若某一階段存在p＜ n(i=1, 2, 3)，則p=n。剩下213-ninipn個(gè)應(yīng)選采樣點(diǎn)，按照相同方法進(jìn)行分配。

MRE計(jì)算公式為：

其中，Z為根據(jù)模型得到的預(yù)測(cè)剩余放電時(shí)間，Z'為對(duì)應(yīng)實(shí)際測(cè)量的剩余放電時(shí)間，n為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。

通過(guò)以上方法對(duì)20～100A的固定電流放電曲線進(jìn)行分階段和整體擬合，計(jì)算出MRE值（見(jiàn)表1）。

由表1可知，對(duì)鉛酸電池放電曲線進(jìn)行分段處理得到的MRE值要小于整體處理的MRE值，即分段處理模型的精度比整體擬合更高。

1.2 放電規(guī)律分析

鉛酸電池放電規(guī)律主要對(duì)其固定電流20A時(shí)放電曲線的擬合進(jìn)行實(shí)證分析。通過(guò)MATLAB工具箱計(jì)算得到鉛酸電池放電初期不同擬合函數(shù)的MRE值（見(jiàn)表2）。

表1 鉛酸電池放電曲線擬合MRE值

表2 鉛酸電池放電初期不同擬合函數(shù)的MRE值

由表2可知，采用四種函數(shù)對(duì)鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電初期曲線進(jìn)行擬合時(shí)，擬合效果最好的函數(shù)為：

f (x) = a0+ a1cos(ωx)+ b1sin(ωx)

鉛酸電池以固定20A電流放電初期曲線擬合為：

f (x)=5.76+46.29cos(-8.947x)-79.88sin(-8.947x)

其中，x為放電時(shí)間，f (x)為當(dāng)前時(shí)刻鉛酸電池的端電壓。鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電初期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較如圖1所示。

由圖1可看出，初期擬合效果并不好，主要原因可能在放電初期鉛酸電池電壓不穩(wěn)定，由于鉛酸電池自身原因造成放電電壓驟減之后又出現(xiàn)回升。

圖1 鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電初期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較

鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電中期曲線擬合為：

f (x) = -63.43x3+494.5x2+6337x-4.707×104

其對(duì)應(yīng)的MRE值為0.022 6。鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電中期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較如圖2所示。

圖2 鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電中期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較

由圖2可看出，對(duì)比圖1，圖2的擬合效果顯著提高，鉛酸電池在放電中期擬合曲線與實(shí)際曲線吻合度較高，主要原因可能是，經(jīng)過(guò)放電初期的調(diào)整，鉛酸電池在放電中期電壓不再表現(xiàn)出驟增驟減的現(xiàn)象。

鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電末期曲線擬合為：

f (x) = 1415x2-2.581×104+1.214×105

其對(duì)應(yīng)的MRE值為0.000 05。鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電末期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較如圖3所示。

圖3 鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電末期擬合曲線與實(shí)際曲線的比較

由圖3可看出，對(duì)比圖1和圖2，圖3的擬合效果最好，主要原因是經(jīng)過(guò)放電中期放電，鉛酸電池電壓下降，在放電末期急速下降，該時(shí)段數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因而具有較好的擬合效果。

2 預(yù)測(cè)模型比較分析

為了對(duì)比鉛酸電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)模型的效果，主要對(duì)鉛酸電池放電進(jìn)行初等函數(shù)的整體描述精度，比較預(yù)測(cè)模型的擬合效果。通過(guò)f (x) = -1343+2.402×104-1.036×105函數(shù)進(jìn)行擬合，對(duì)應(yīng)的MRE值為0.049 4。鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電整體擬合曲線與實(shí)際曲線的比較如圖4所示。

圖4 鉛酸電池固定電流20A時(shí)放電整體擬合曲線與實(shí)際曲線的比較

由圖4可看出，以固定電流20A時(shí)放電整體擬合效果并不理想，尤其是放電初期和放電末期的擬合相差較大。

2.1 基于初等函數(shù)擬合的放電時(shí)間預(yù)測(cè)模型

根據(jù)得到的放電曲線模型，可對(duì)鉛酸電池剩余放電時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。電壓為9.8V時(shí)剩余放電時(shí)間的預(yù)測(cè)值見(jiàn)表3。

表3 電壓為9.8V時(shí)剩余放電時(shí)間的預(yù)測(cè)值

首先對(duì)鉛酸電池放電曲線規(guī)律進(jìn)行分析，然后針對(duì)不同階段進(jìn)行分段擬合，在擬合中選取不同的初等函數(shù)，利用MRE得到最佳擬合函數(shù)，根據(jù)得到的最佳擬合函數(shù)對(duì)不同放電電流進(jìn)行放電剩余時(shí)間預(yù)測(cè)[3]。

2.2 基于組合預(yù)測(cè)的任意電流放電曲線預(yù)測(cè)模型

（1）鉛酸電池端電壓與放電電路曲線分析。求解任意電流的放電電壓曲線，分析相同時(shí)間不同鉛酸電池以不同電流進(jìn)行放電時(shí)電壓隨電流變化的曲線，如圖5所示。

由圖5可看出，在放電初期，電壓隨放電電流的增加而增加，之后隨著放電電流的增大，放電電壓逐步減小，在放電中期和放電末期，鉛酸電池端電壓隨放電電流的增大而減小[4]。電壓隨電流的變化比較單一，沒(méi)有放電曲線中出現(xiàn)的驟增和驟減，初等函數(shù)基本可滿足圖5各曲線的描述。

圖5 鉛酸電池端電壓隨電流變化的曲線

（2）基于多項(xiàng)式擬合的任意電流的放電電壓預(yù)測(cè)模型。由于在同一時(shí)刻，只有20～100A 9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，因而采用最簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行擬合。鉛酸電池放電起始時(shí)（0 min）各電流對(duì)應(yīng)的電壓見(jiàn)表4。

表4 鉛酸電池放電起始時(shí)各電流對(duì)應(yīng)端電壓

利用MATLAB工具箱擬合得到，表4的關(guān)系式為：

V = 0.0058I2-0.0454I +11.17

其中，I為電流，V為電壓。由此可計(jì)算0時(shí)刻鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電對(duì)應(yīng)端電壓為：11.085 V。同理，可計(jì)算其他時(shí)刻。鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電對(duì)應(yīng)端電壓見(jiàn)表5。

表5 鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電對(duì)應(yīng)端電壓

鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電曲線如圖6所示。

由圖6可看出，利用多項(xiàng)式擬合求解得到鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電曲線很不平滑，主要因?yàn)殡娏鞑蓸狱c(diǎn)只有20～10A，導(dǎo)致二次多項(xiàng)式精度不高。在實(shí)際測(cè)量中，電壓應(yīng)是光滑的曲線。

圖6 鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電曲線

在得到鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電電流的電壓時(shí)間序列后，就可對(duì)放電曲線進(jìn)行分段擬合，從而最終得到擬合方程為：

鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電曲線擬合MER值見(jiàn)表6。

表6 鉛酸電池固定電流55A時(shí)放電曲線擬合MER值

至此，通過(guò)擬合方程可得到該時(shí)刻任意電流所對(duì)應(yīng)的電壓值，由此可得到鉛酸電池以任意電流的放電曲線。

3 模型的建立與求解

3.1 模型的建立

考慮因變量Y與自變量X的建模問(wèn)題。偏最小二乘回歸的基本方法是：首先在自變量中提出第一成分t1，t1是x1, x2, …, xm的線性組合，且盡可能多地提取原自變量集的變異信息。同時(shí)在因變量中也提取第一成分u1，并要求t1與u1相關(guān)程度達(dá)到最大。然后建立因變量y與t1的回歸，如果回歸方程已達(dá)到滿意的精度，則算法中止；否則繼續(xù)第二對(duì)成分的提取，直到達(dá)到滿意的精度為止。若最終對(duì)自變量集提取r個(gè)成分t1, t2, …, tr，偏最小二乘回歸將通過(guò)建立y與t1,t2, …, tr的回歸式，然后再表示為y與原自變量的回歸方程式，即偏最小二乘回歸方程式[5]。

為了方便起見(jiàn)，因變量組和自變量組的標(biāo)準(zhǔn)化觀測(cè)數(shù)據(jù)陣分別記為F0, E0，即：

偏最小二乘回歸模型建立的具體步驟如下：

（1）分別提取兩變量組的第一對(duì)成分，并使之相關(guān)性達(dá)到最大。假設(shè)從兩組變量分別提出第一對(duì)成分為t1, u1，t1是自變量集x1, x2, …, xm的線性組合：t1=合：u1=Y。為了回歸分析的需要，由兩組變量集的標(biāo)準(zhǔn)化觀測(cè)數(shù)據(jù)陣E0, F0，可計(jì)算第一對(duì)成分的得分

（2）建立y對(duì)t1的回歸及x1, x2, …, x5對(duì)t1的回歸。假定回歸模型為：

其中，α1=(α11, α12, α13, …, α1m)T, β1=(β11, β12, β13,…, β19)T分別是多對(duì)一的回歸模型中的參數(shù)向量，E1,F1是殘差陣?；貧w系數(shù)向量α1, β1的最小二乘估計(jì)為：

其中，α1, β1為模型效應(yīng)負(fù)荷量。

（3）用殘差陣E1, F1代替E0, F0，重復(fù)以上步驟。標(biāo)準(zhǔn)化觀測(cè)數(shù)據(jù)陣E的秩為r≤min(n-1, m)，則存在 r個(gè)成分t1, t2, …, tr，使得

把tk=wkx1+…+wkmxm(k=1, 2, …, r)代入Y=t1β1+…+trβr，即得到因變量的偏最小二乘回歸方程式。

3.2 模型的求解

不同主成分下保留因變量的信息變化如圖7所示。

由圖7可看出，當(dāng)主成分選取4個(gè)時(shí)，主成分保留了99.99%的因變量信息。

圖7 偏最小二乘回歸主成分的選取

由此，最終得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電時(shí)間表達(dá)式為：

t3=881.9385-84.4118V+0.3652T+0.4272t1-0.2372t2

其中，V為鉛酸電池端電壓，T為新電池放電時(shí)間，t1, t2分別為鉛酸電池在衰減狀態(tài)1和衰減狀態(tài)2的放電時(shí)間。

通過(guò)擬合方程可得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電曲線，如圖8所示。

圖8 鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電曲線

通過(guò)回歸方程可得到當(dāng)電壓為9V時(shí)的時(shí)刻為第829min，即從當(dāng)前時(shí)刻第596min后經(jīng)過(guò)233min鉛酸電池放電完畢，電壓下降到9V，因而鉛酸電池在衰減狀態(tài)3還可使用233min。

至此，建立以衰減狀態(tài)3的放電時(shí)間為因變量，以鉛酸電池電壓、衰減狀態(tài)1、衰減狀態(tài)2的放電時(shí)間為自變量的偏最小二乘多元線性回歸模型，求解得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

3.3 模型的優(yōu)勢(shì)

一是依據(jù)放電規(guī)律將鉛酸電池固定電流時(shí)放電過(guò)程劃分為初期、中期和末期三個(gè)階段。對(duì)放電曲線分階段建立基于初等函數(shù)擬合的預(yù)測(cè)模型，并采用MRE檢驗(yàn)多種初等函數(shù)的擬合精度，同時(shí)也直接對(duì)放電曲線進(jìn)行擬合。在得到放電曲線擬合方程后，便可計(jì)算剩余放電時(shí)間，模型根據(jù)鉛酸電池放電規(guī)律對(duì)放電曲線進(jìn)行分段處理，提高了預(yù)測(cè)精度。二是對(duì)在相同時(shí)刻鉛酸電池電壓與電流的關(guān)系進(jìn)行分析，并對(duì)這一關(guān)系進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，即可得到該時(shí)刻任意電流所對(duì)應(yīng)的電壓。在獲取一系列電壓值后，利用所建立的模型，對(duì)放電曲線進(jìn)行初等函數(shù)擬合。在求解任意電流的電壓時(shí)，直接采用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，操作方便簡(jiǎn)單。綜合考慮鉛酸電池衰減對(duì)剩余放電時(shí)間的影響，鉛酸電池在三種衰減狀態(tài)下的放電時(shí)間與鉛酸電池的電壓均有關(guān)系，因而通過(guò)模型比較建立的偏最小二乘多元線性回歸模型更加直觀。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立的偏最小二乘多元線性回歸模型在擬合和預(yù)測(cè)精度上都較傳統(tǒng)方法有明顯的優(yōu)勢(shì)。利用分階段建立基于初等函數(shù)擬合的預(yù)測(cè)，并采用MRE檢驗(yàn)多種初等函數(shù)的擬合精度的方法，讓預(yù)測(cè)模型更加直觀，且易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)編程。該模型的算法還能用于各類(lèi)衰減現(xiàn)象的預(yù)測(cè)，后續(xù)將借助該模型應(yīng)用于其他衰減的預(yù)測(cè)中，從而實(shí)現(xiàn)模型的推廣價(jià)值。

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